微分几何课后习题答案第四版梅向明黄敬之编.pdf

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1、1 曲面的概念r1.求正螺面r= ucos v,usinv, bv 的坐标曲线.r解u-曲线为r=ucosv0,usin v0,bv0=0,0，bv0u cosv0,sin v0,0，为r曲线的直母线；v-曲线为r=u0cos v,u0sinv,bv 为圆柱螺线r证明双曲抛物面ra（u+v）, b（u-v）,2uv的坐标曲线就是它的直母线。r证u-曲线为r= a（u+v0）, b（u-v0）,2uv0= av0, bv0,0+ ua,b,2v0表示过点 av0, bv0,0以a,b,2v0为方向向量的直线;rv-曲线为r=a（u0+v）, b（u0-v）,2u0v=au0, bu0,0+va,

2、-b,2u0表示过点(au0, bu0,0)以a,-b,2u0为方向向量的直线。r3求球面r=acossin,acossin,asin上任意点的切平面和法线方程。解r=asincos,asinsin,acos，r=acossin,acoscos,0 x acoscosy acossin asinsinacoscosz asinacos0 0任意点的切平面方程为 asincos acossin即 xcoscos+ ycossin+ zsin- a = 0 ；法线方程为x acoscosy acossinz asin。coscoscossinsinx2y24求椭圆柱面221在任意点的切平面方程，并

3、证明沿每一条直母线，ab此曲面只有一个切平面 。x2y2解椭圆柱面221的参数方程为 x = cos, y = asin, z = t ,abrasin,bcos,0,rt0,0,1。所以切平面方程为：xacosasin0ybsinbcos0z t0 0，即 x bcos+ y asin a b = 01此方程与 t 无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。a35 证明曲面r u,v,的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常uv数。a3a3xyuv证ru1,0,2，rv0,1,2。切平面方程为：3z 3。uva

4、u vuv3a2与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。于是，四面体的体积为：uv13a393V 3|u |3|v|a是常数。6|uv|2 曲面的第一基本形式r1. 求双曲抛物面ra（u+v）, b（u-v）,2uv的第一基本形式.解rua,b,2v,rva,b,2u, E ru2 a2 b2 4v2,F rurv a2 b2 4uv,G rv2 a2 b2 4u2,I =(a2 b2 4v2)du22(a2 b2 4uv)dudv (a2 b2 4u2)dv2。r求正螺面r= ucos v,usinv, bv 的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。解ruco

5、sv,sin v,0,rvusin v,ucosv,b，E ru21，F rurv 0，G rv2 u2 b2，I =du2 (u2 b2)dv2，坐标曲线互相垂直。在第一基本形式为I =du2 sinh2udv2的曲面上，求方程为 u = v 的曲线的弧长。解 由条件ds2 du2 sinh2udv2,沿曲线 u = v 有 du=dv ，将其代入ds2得ds2 du2 sinh2udv2=cosh2vdv2， ds = coshvdv , 在曲线 u = v 上， 从v1到v2的弧长为|coshvdv|sinhv2sinhv1|。v1v24 设曲面的第一基本形式为 I =du2 (u2 a

6、2)dv2， 求它上面两条曲线 u + v =0 ,uv = 0 的交角。分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E 1，Fv 0，G u2 a2，曲线 u + v = 0 与 u v = 0 的交点为 u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为E 1，Fv 0，G a2。曲线 u + v = 0 的方向为 du = -dv , u v = 0 的方向为u=v , 设两曲线的夹角为，则有cos=Eduu GdvuEdu2 Gdv21 a2。2221 aEu Gv5求曲

7、面 z = axy 上坐标曲线 x = x0,y =y0的交角.r解曲 面 的 向 量 表 示 为r=x,y,axy, 坐 标 曲 线 x = x0的 向 量 表 示 为rrr= x0,y,ax0y ，其切向量ry=0，1，ax0；坐标曲线 y =y0的向量表示为r=x ,y0,axy0， 其切向量rx=1， 0， ay0， 设两曲线 x = x0与 y =y0的夹角为， 则有cos rxrya2x0y0=2222| rx| ry|1 a x01 a y06. 求 u-曲线和 v-曲线的正交轨线的方程.解 对于 u-曲线 dv = 0,设其正交轨线的方向为u:v ,则有Eduu + F(duv

8、 + dvu)+ G d vv = 0,将dv =0代入并消去du得u-曲线的正交轨线的微分方程为 Eu + Fv = 0 .同理可得 v-曲线的正交轨线的微分方程为 Fu + Gv = 0 .7. 在曲面上一点,含 du ,dv 的二次方程 Pdu2+ 2Q dudv + Rdv2，确定两个切方向 （du ： dv） 和 （u ： v） ， 证明这两个方向垂直的充要条件是 ER-2FQ + GP=0.证明因为 du,dv 不同时为零， 假定 dv0， 则所给二次方程可写成为 P(2Qdu2)+dv2QduduuduuRduu+ R=0 ,设其二根,则=，+=又根据二方向垂dvdvvdvvPd

9、vvPduuduu直的条件知 E+ F(+)+ G = 0dvvdvv将代入则得 ER - 2FQ + GP = 0 .8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为 Edu2=Gdv2.证用分别用、d 表示沿 u曲线，v曲线及其二等分角线的微分符号，即沿 u曲线u，v，沿 v曲线u，v沿二等分角轨线方向为 du:dv ,根据题设条件,又交角公式得(Eduv Fdvu)2(Fduv Gdvv)2(Edu Fdv)2(Fdu Gdv)2，即。EGEu2ds2Gv2ds2展开并化简得 E(EG-F2)du2=G(EG-F2)dv2,而 EG-F20，消去 EG-F2得坐标曲线的二等分角线的微分方

10、程为 Edu2=Gdv2.9 设 曲 面 的 第 一 基 本 形 式 为I=du2 (u2 a2)dv2， 求曲面上三条曲线 u = av, vuu=avV=1ov=1 相交所成的三角形的面积。解 三曲线在平面上的图形（如图）所示。曲线围城的三角形的面积是01a1u=-avS=u2 a2dudv u2 a2dudvaua0uau=2u a dudv=2(1) u2 a2duau0022aa1a2a=(u2 a2)2 u u2 a2 a2ln(u u2 a2)|03a3=a22 2 ln(12)。3r10求球面r=acossin,acossin,asin的面积。解r=asincos,asinsi

11、n,acos，r=acossin,acoscos,0E =r2=a2,F=rr= 0 ,G =r2=a2cos2.球面的面积为：2422S =22da cosd 2a022cosd 2a sin|2 4a2.22rr11.证明螺面r=ucosv,usinv,u+v和旋转曲面r=tcos,tsin,t21(t1, 02)之间可建立等距映射=arctgu + v , t=u21.分析 根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射= arctgu +v , t=u21,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式.证

12、明 螺面的第一基本形式为 I=2du2+2 dudv+(u2+1)dv2, 旋转曲面的第一基t2)dt2 t2d,在旋转曲面上作一参数变换=arctgu + v , t本形式为 I=(12t1=u21, 则其第一基本形式为:u21u2122(1)du (u1)(du dv)2222uu11 uu211du2 2dudv (u21)dv2=2du2+2 dudv+(u2+1)dv2= I .=(21)du22u1 u所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射=arctgu + v , t =u21.3 曲面的第二基本形式r1. 计算悬链面r=coshucosv,coshusinv,u的第一基本形式,第

13、二基本形式.解ru=sinhucosv,sinhusinv,1,rv=-coshusinv,coshucosv,0ruu=coshucosv,coshusinv,0,ruv=-sinhusinv,sinhucosv,0,rvv=-coshucosv,-coshusinv,0,E ru2= cosh2u,F rurv=0,G rv2=cosh2u.所以 I = cosh2udu2+ cosh2udv2.n=ru rvEG F2=1coshucosv,coshusinv,sinhusinv,cosh2uL=coshusinh 12 1, M=0, N=coshusinh 12=1 .所以 II =

14、 -du2+dv2。22. 计算抛物面在原点的2x3 5x12 4x1x2 2x2第一基本形式,第二基本形式.52解 曲面的向量表示为r x1,x2,x12 2x1x2 x2,2rx11,0,5x1 2x2(0,0)1,0,0,rx20,1,2x1 2x2(0,0)0,1,0,rx1x10,0,5,rx1x20,0,2,rx2x20,0,2, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,22I=dx12 dx2, II=5dx12 4dx1dx2 2dx2.r3. 证明对于正螺面r=ucosv,usinv,bv,-u,v处处有 EN-2FM+GL=0

15、。解ru cos v,sin v,0, rv u sin v,u cos v,b，ruu=0,0,0,ruv=-uucosv,cosv,0,rvv=-ucosv,-usinv,0,E ru21，F rurv 0，G rv2 u2 b2， L= 0, M =bu b22, N = 0 .所以有 EN - 2FM + GL= 0 .4. 求出抛物面z 1(ax2 by2)在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率.2解rx1,0,ax(0,0)1,0,0,ry0,1,by(0,0)0,1,0,rxx0,0,a,rxy0,0,0adx2 bdy2ryy0,0,b,E=1,F=0,G=1,L=a,M=

16、0,N=b,沿方向 dx:dy 的法曲率kn.22dx dy5. 已知平面到单位球面(S)的中心距离为 d(0d1),求与(S)交线的曲率与法曲率.解 设平面与(S) 的交线为(C), 则(C)的半径为1 d2,即(C)的曲率为k 11 d2,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于1 d2,所以(C)的法曲率为kn k1 d2=1 .6. 利用法曲率公式kn量成比例。证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径 R 的倒数 1/R。即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向 du:dvIILdu2 2Mdudv Ndv211LMN1kn()，即

17、第一、第二或-，所以22IRREFGREdu 2Fdudv GdvII,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、 第二类基本I类基本量成比例。7求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。r证明对于正螺面r=ucosv,usinv,bv，ru cos v,sin v,0, rv u sin v,u cos v,b，ruu=0,0,0，rvv=-ucosv,-usinv,0，L= (ru,rv,ruu)EG F2=0,N= (ru,rv,rvv)EG F2=0 .所以 u 族曲线和 v 族曲线都是渐近线。 而 u 族曲线是直线，v 族曲线是螺旋线。8. 求曲面z xy2的渐近线.解 曲面的向量表

18、示为r x, y, xy2,rx1,0, y2, ry0,1,2xy,rxx0,0,0,rxy0,0,2y,ryy0,0,2x,E rx21 4y4,F rxry 2xy2,G ry21 4x2y2.L 0,M 2y1 4x y y224,N 2x1 4x y y224.渐近线的微分方程为Ldx2 2Mdxdy Ndy2,即4ydxdy 2xdy2 0,一族为 dy=0, 即y c1,c1为常数. 另一族为 2ydx=-xdy, 即lnx2y c2,或x2y c,c为常数.9. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证 在每一条曲线(C)的主法线曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量与

19、(C)的主法向量所确定的平面,与曲线(C)的密切平面重合,所以每一条曲线(C)在它的主法线曲面上是渐近线.rrrrrr方法二：任取曲线:r r(s)，它的主法线曲面为S :(s,t) r(s)t(s)，rrrrrrrrrrrr&s(s)t(s) t() (1t)t，t，st t(1t)rrr在曲线上，t = 0 ,st,曲面的单位法向量n rrrstEG F2rrrrr，即n ，所以曲线在它的主法线曲面上是渐近线.10. 证明在曲面 z=f(x)+g(y)上曲线族 x=常数, y=常数构成共轭网.r证 曲面的向量表示为r=x,y, f(x)+g(y),x=常数,y=常数是两族坐标曲线。rrrr

20、x1,0, f,ry0,1,g.rxx0,0, f,rxy0,0,0,ryy0,0,g,r因为M rxyrrrxryEGF2 0,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x=常数, y=常数构成共轭网。r11.确定螺旋面r=ucosv,usinv,bv上的曲率线.解ru cos v,sin v,0, rv u sin v,u cos v,b，ruu=0,0,0，rvv=-ucosv,-usinv,0，ruv=-sinv,cosv,0,E ru21，F rurv 0，G rv2 u2 b2， L=0, M=bu b22,N=0,曲率线的微分方程为:dv210 dudv0bu2 b2du2u2 b2 0

21、,即dv 021u b2du,积分得两族曲率线方程:v ln(u u2 b2) c1和v ln( u2 b2u) c2.12.求双曲面 z=axy 上的曲率线.解E 1 a2y2,F a2x2y2,G 1 a2x2,L 0,M a1 a x a y2222,N=0 .dy2由1 a2x2 dxdya2x2y2a1 a x a y2dx21 a2x2=0 得(1 a2y2)dx2 (1 a2x2)dy2,积分22020得两族曲率线为ln(ax 1 a2x2) ln(ay 1 a2y2) c.abuv13.求曲面r (u v),(u v),上的曲率线的方程.222a2 b2 v2 a2 b2 uv

22、a2 b2 u2,F ,G ,L 0,解E 4442,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是:2EG FabM=(a2 b2 u2)dv2(a2 b2 v2)du2,积分得:ln(u a2 b2 u2) ln(v a2 b2 v2) c.14.给出曲面上一曲率线 L,设 L 上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角,求证 L 是一平面曲线.证法一：因 L 是曲率线,所以沿 L 有dn ndr,又沿 L 有?n=常数,求微商得n n 0,而n / dn / dr与正交,所以n 0,即-n=0,则有=0,或n=0 .若=0, 则 L 是平面曲线； 若n=0 ， L 又是曲面的渐近线，

23、 则沿 L ，n=0 ，这时 dn=0，n为常向量，而当 L 是渐近线时，=n，所以为常向量，L 是一平面曲线.rrr&证法二：若n，则因ndr，所以n，所以 dn，由伏雷rrr内公式知 dn（）而 L 是曲率线，所以沿 L 有 dn，所以有=0,从而曲线为平面曲线；r rr& 0,因为 L 是曲率线，所n n若不垂直于n， 则有?n=常数,求微商得&r rrr&以沿 L 有dndr，所以n 0，所以n 0，即-n=0 ，若=0，则rrr rr问题得证；否则n=0 ，则因n 0，有n，dnd（-），矛盾。15如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。证 曲线的密切平面与曲面的

24、切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角，由上题结论知正确。16求正螺面的主曲率。r解 设正螺面的向量表示为r=ucosv,usinv,bv.r解ru cos v,sin v,0, rv u sin v,u cos v,b，uu=0,0,0，rvv=-ucosv,-usinv,0，ruv=-sinv,cosv,0,E ru21，F rurv 0，G rv2 u2 b2，L= 0, M =bu b22, N = 0,代入主曲率公式a2（EG-F）-（LG-2FM+EN）N+ LN-M= 0 得=2。22(u a )22N22N所以主曲率为1aa, 。22222u au a17确定抛物面

25、 z=a(x2 y2)在（0，0）点的主曲率.rrrrrx1,0,2axry0,1,2ay，r x, y,a(x2 y2)，解 曲面方程即ryy0,0, 2a，rrrrxx0,0,2a，rxy0,0,0, ryy0,0, 2a。在（0，0）点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,2N=2a .所以N-4aN+4a2=0 ，两主曲率分别为1= 2 a ,2= 2 a .18. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证 曲面上的给定点处两主曲率分别为1、2，任给一方向及与其正交的方向+2，则这两方向的法曲率分别为n() 1cos22sin2，n(2) 1cos2

26、(2) 2sin2(2) 1sin22cos2，即n() n() 12为常数。219.证明若曲面两族渐近线交于定角,则主曲率之比为常数.证 由n1cos22sin2得tg2 1,即渐进方向为21 arctg 常数.1,2=-arctg 1.又-2+1=21为常数,所以为1为常数,即1为22220. 求证 正螺面的平均曲率为零.证由第 3 题或第 16 题可知.21. 求双曲面 z=axy 在点 x=y=0 的平均曲率和高斯曲率.证 在点 x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=0,H=LG 2FM NE 0,22(EG F )LN M2K =-a2.2EG F22.

27、证明极小曲面上的点都是双曲点或平点.证法一：由 H=122=0 有1=2=0 或1=-20 .若1=2=0,则沿任意方向,n() 1cos22sin2=0 ,即对于任意的IILdu2 2Mdudv Ndv2 0,所以有 L=M=N=0,对应的点为平点.du:dv ,kn22IEdu 2Fdudv Gdv若1=-20,则 K=120 ,即 LN-M2 0 ,G 0 ,所以 LN 0 。若LN M2=0，则 L = M = N = 0 ，曲面上的点是平点，若LN M2 a 0 , b+acos 0,所以 LN -M2的符号与30 ,曲面上的点为椭圆点，223即圆环面外侧的点为椭圆点；当-，曲面上的

28、点为双曲点, 即圆环面内侧223的点为双曲点；当=或时，LN -M2=0，为抛物点，即圆环面上、下两纬22圆上的点为抛物点。cos的符号一致,当 0和25若曲面的第一基本形式表示为I 2(u,v)(du2 dv2)的形式，则称这个曲面的坐标曲线为等温网。试证：旋转曲面r g(t)cos,g(t)sin, f (t)上存在等温网。证旋转曲面r g(t)cos,g(t)sin, f (t)的第一基本形式为g2 f2g2 f222做参数变换u v=,则在新参数下，dt，I g (t)(dt d)，2gg2I g2t(u)(du2 dv2),为等温网。26两个曲面S1、S2交于一条曲线（C） ，而且（

29、C）是S1的一条曲率线，则（C）也是S2的一条曲率线的充要条件为S1、S2沿着（C）相交成固定角。证两个曲面S1、S2交于曲线（C） ，n1、n2分别为S1、S2的法向量，则沿交线（C） ，n1与n2成固定角的充要条件为n1n2=常数，这等价于 d(n1n2)=0,即rdn1n2+n1dn2=0 ,而（C）是S1的一条曲率线，因此 dn1与（C）的切向量 dr共线，则与n2正交，即 dn1n2=0，于是n1dn2=0，又 dn2n2，所以n1 dn2=rdn1n2=0 的充要条件为 dn2/ dr，即（C）是S2的曲率线。27证明在曲面(S)上的一个双曲点 P 处，若两条渐近线都不是直线，则它

30、们之中，一条在点 P 的挠率是 K,另一条在点 P 的挠率是- K，其中 K 是(S)在 P 点的高斯曲率。证 曲面在双曲点 P 处，有两条渐近线过点P，沿渐近线有n=，且II=0，于是有 dn=d.则dn2 d2 III 2HII KI KI，即d2 Kds2,或2d2() K，所以有() 2 K, K。ds28证明如果曲面上没有抛物点，则它上面的点和球面上的点是一一对应的。rrr证 设给出的曲面(S):r=r(u,v)上的点r(u,v)与(u,v)D 内的点一一对应，其球 面像上的点为n=n(u,v),由于nu nv k(ru rv),所以|nu nv| k |ru rv|=| LN M2|EG F2，当曲面(S)上没有抛物点时，LN-M0,则nu nv20。说明球面像上的点n(u,v)与区域 D 内的点一一对应， 因此曲面(S) 上的点与球面像上的点一一对应。