35等比数列前n项和(一).ppt
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1、3.53.5 等比数列的前等比数列的前n n项和项和( (一)一)2022年年6月月30日星期四日星期四 1. 1. 等比数列的定义等比数列的定义: 定义:如果一个数列从第定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母比通常用字母 q 来表示来表示. 等比数列的通项公式:等比数列的通项公式: a n = a 1 q n 1 .2. 2. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式:(一)(一)复复 习
2、:习:解决关于国际象棋的传说问题:解决关于国际象棋的传说问题: 也就是求数列:也就是求数列: 1 1,2 2,4 4,8 8, ,2 263 63 的和的和. . S S 64 64 = 1 + 2 + 4 + 8 + = 1 + 2 + 4 + 8 + + 2 + 263 63 . . 两边同时乘以等比数列的公比两边同时乘以等比数列的公比 2 2 , 2 S 2 S 64 64 = 2 + 4 + 8 + 16 + = 2 + 4 + 8 + 16 + + 2 + 263 63 +2+264 64 . .比较这两个式子:比较这两个式子: - - 得,得, S S 64 64 = = 2 26
3、464 1 .1 . 2 26464 1 1 1.84 1.8410101919(粒),假定千粒重为粒),假定千粒重为40g40g,那么麦粒的总重量约为那么麦粒的总重量约为7378.77378.7亿吨,亿吨,若铺在地若铺在地球表面上,可以得出一个球表面上,可以得出一个麦粒麦粒层,厚度约为层,厚度约为9 9毫毫米米国王是拿不出这么多麦子的国王是拿不出这么多麦子的. .(二)(二)新新 课课 讲讲 解解 等比数列的前等比数列的前 n n 项和公式项和公式 设有等比数列设有等比数列 a 1 ,a 2 ,a 3 , ,a n , .它的公比是它的公比是 q q ,它的前它的前 n n 项和为项和为 S
4、 n = a 1 + a 2 + a 3 + + a n . . 由等比数列的通项公式,上式可以写成:由等比数列的通项公式,上式可以写成:S n = a 1+ a 1q+ a 1q 2+ + a 1q n 2+ a 1q n 1 两边同时乘以公比两边同时乘以公比 q q,q S n = a 1q+ a 1q 2+ + a 1q n 2+ a 1q n 1 +a 1q n - - 得,得, ( 1 - q ) S n = a 1 a 1 q n .项和公式为项和公式为的前的前时,等比数列时,等比数列当当naqn1qqaSnn111)(因为因为 a 1 q n = ( a 1 q n- -1 )
5、q = a n q ,所以等比数列的前所以等比数列的前 n 项和公式还可以写成项和公式还可以写成.qqaaSnn11当当 q = 1 时,时,S n = n a 1 . 注:注:(1 1)当已知)当已知 a 1,q,n 时用第一个公式,当时用第一个公式,当已知已知 a 1,q,a n 时用第二个公式时用第二个公式 . . (2 2)如果公比)如果公比 q 是一个字母,在求和时要对是一个字母,在求和时要对公比是否为公比是否为 1 1 进行讨论进行讨论. . (3 3)要把公式记准,通项公式要把公式记准,通项公式 a n 中,中,q 的指的指数是数是 n n -1-1,前前 n n 项和公式项和公
6、式 S n 中,中, q 的指数是的指数是 n n . . (4 4)可以用等比数列前可以用等比数列前 n n 项和公式解决关于项和公式解决关于国际象棋的传说问题,国际象棋的传说问题, 因为因为 a 1 = 1 ,q = 2 ,n = 64 ,所以,所以,1221211646464)(S(三)(三)例例 题题 解解 析析例例1 1 已知等比数列已知等比数列(1)(1)求前求前8 8项之和项之和(2)(2)求第求第5 5项到第项到第1010项的和项的和(3)(3)求此数列前求此数列前2 2n n项中所有偶数项的和项中所有偶数项的和分析:分析:.81,41,21,256255211)211 (21
7、) 1 (88S例例1 1 已知等比数列已知等比数列(2)(2)求第求第5 5项到第项到第1010项的和项的和解:解:确定确定 但首项是但首项是.81,41,21,)2(1098765aaaaaaS,21, 6qn,)21()21(215155a.)21()21(211)21(1 )21(10465S此题也可用此题也可用 解得解得211)21(1 (21211)21(1 (21410410SSS例例1 1 已知等比数列已知等比数列 (3) (3)求此数列前求此数列前2 2n n项中所有偶数项的和项中所有偶数项的和解:解:(3)(3)确定项数为确定项数为n n,公比为,公比为 首项为首项为.81
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