62一元二次不等式及其解法.ppt

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1、一元二次不等式及其解法【知识梳理】【知识梳理】1.1.必会知识必会知识 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)一元二次不等式的特征一元二次不等式的特征: :一元二次不等式的二次项一元二次不等式的二次项( (最高次项最高次项) )系数系数_0._0.不等于不等于(2)(2)一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系: :判别式判别式=b=b2 2-4ac-4ac00=0=000)+bx+c(a0)的图象的图象一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的根的根有两个相异实有两个相异实根根x x1 1

2、,x,x2 2(x(x1 1x00=0=000(a0)+bx+c0(a0)的解集的解集_R Raxax2 2+bx+c0)+bx+c0)的解集的解集_ _x|xxx|xxxx2 2 x|xxx|xx1 1 x|xx|x1 1xxx0(a0)+bx+c0(a0)中中, ,如果如果二次项系数二次项系数a0a0(x-a)(x-b)0或或(x-a)(x-b)0(x-a)(x-b)0型不等式解法型不等式解法不等式不等式解集解集ababab( (x-a)(x-bx-a)(x-b)0)0 x|xx|xabxb_( (x-a)(x-bx-a)(x-b)0)0_ x|bx|bxaxax|xax|xax|xbx|

3、xaxax|axbx|axb 3.3.必用技法必用技法 核心总结看一看核心总结看一看(1)(1)常用方法常用方法: :配方法配方法, ,因式分解因式分解. .(2)(2)数学思想数学思想: :数形结合思想数形结合思想. .(3)(3)记忆口诀记忆口诀: :一元二次不等式解集口诀一元二次不等式解集口诀. .大于取两边大于取两边, ,小于取中间小于取中间【小题快练】【小题快练】1.1.思考辨析思考辨析 静心思考判一判静心思考判一判(1)(1)若不等式若不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0.(a0.() )(2)(2)若不等式若不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0的解集是的解集是(-

4、,x(-,x1 1)(x)(x2 2,+),+),则方程则方程axax2 2+bx+bx+c=0c=0的两个根是的两个根是x x1 1和和x x2 2.(.() )(3)(3)若方程若方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)没有实数根没有实数根, ,则不等式则不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0的解集的解集为为R.(R.() )(4)(4)不等式不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0在在R R上恒成立的条件是上恒成立的条件是a0a0且且=b=b2 2-4ac0.(-4ac0.() )【解析】【解析】(1)(1)正确正确. .由不等式由不等式axax2 2+b

5、x+c0+bx+c0.a0.(2)(2)正确正确. .由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知结论是由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知结论是正确的正确的. .(3)(3)错误错误. .只有当只有当a0a0时才成立时才成立, ,当当a0a0+bx+c0的解集为空集的解集为空集. .(4)(4)错误错误. .还要考虑还要考虑a=0a=0的情况的情况, ,不等式不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0在在R R上恒成立的条件上恒成立的条件是是a=0,b=0,c0a=0,b=0,c0或或a0a0-3x-100的解集是的解集是( () )A.(-2,5) B.(5,+)A.(-2,

6、5) B.(5,+)C.(-,-2) D.(-,-2)(5,+)C.(-,-2) D.(-,-2)(5,+)【解析】【解析】选选D.xD.x2 2-3x-10=(x-5)(x+2)0,-3x-10=(x-5)(x+2)0,所以所以x5x5或或x-2.x-2.故原不等式的解集为故原不等式的解集为(-,-2)(5,+).(-,-2)(5,+).(2)(2)(必修必修5P815P81习题改编习题改编) )关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程mxmx2 2(1(1m)xm)x+m=0+m=0没有实数根，则没有实数根，则m m的取值范围是的取值范围是_._.【解析】【解析】若方程若方程mxmx2

7、2(1(1m)x+m=0m)x+m=0没有实数根，没有实数根，则则 解得解得mm1 1或或答案：答案：( (,1)1)22m0,(1 m)4m0, 1m.31()3，3.3.真题小试真题小试 感悟考题试一试感悟考题试一试(1)(2014(1)(2014大纲版全国卷大纲版全国卷) )设集合设集合M=x|xM=x|x2 2-3x-40,N=x|0 x5,-3x-40,N=x|0 x5,则则MN=(MN=() )A.(0,4 B.0,4) C.-1,0) D.(-1,0A.(0,4 B.0,4) C.-1,0) D.(-1,0【解析】【解析】选选B.B.因为因为M=x|-1x4,N=x|0M=x|-

8、1x4,N=x|0 x x5,5,所以所以MN=x|0 x4.MN=x|0 x4.(2)(2013(2)(2013重庆高考重庆高考) )关于关于x x的不等式的不等式x x2 2-2ax-8a-2ax-8a2 20)0)的解集为的解集为(x(x1 1，x x2 2) )，且，且x x2 2-x-x1 1=15=15，则，则a=_a=_【解析】【解析】. .由题意知由题意知, , 不等式不等式x x2 2-2ax-8a-2ax-8a2 20)0)的解集为的解集为( (2a,2a,4a),4a),因为因为x x2 2-x-x1 1=15,=15,所以所以4a4a( (2a)=15,2a)=15,解

9、得解得5a.2考点考点1 1 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法【典例【典例1 1】(1)(2015(1)(2015珠海模拟珠海模拟) )不等式不等式-2x-2x2 2+x+3+x+30 0的解集是的解集是_(2)(2)解关于解关于x x的不等式的不等式:ax:ax2 2(a(a1)x1)x10.10a0和和a0a0两种情况求解两种情况求解【规范解答】【规范解答】(1) (1) 不等式不等式-2x-2x2 2+x+3+x+30 0可化为可化为2x2x2 2-x-3-x-30 0，即即(2x-3)(x+1)(2x-3)(x+1)0,0,解得解得x x-1-1，或，或所以不等式的解集是所以不

10、等式的解集是(2)(2)当当a a0 0时，原不等式可化为时，原不等式可化为x x1011.x1.原不等式可化为原不等式可化为(ax(ax1)(x1)(x1)01)1a1时，不等式的解集为时，不等式的解集为1x |x1.a当当a0a1x|x1；当当0a10a1时，不等式的解集为时，不等式的解集为1x | xx1a或；1x |1xa；【互动探究】【互动探究】本例本例(2)(2)的不等式改为的不等式改为x x2 2-(a+1)x+a0,-(a+1)x+a0,求其解集求其解集. .【解析】【解析】原不等式可化为原不等式可化为(x-1)(x-a)0,(x-1)(x-a)1a1时时, ,解集为解集为x|

11、1xa.x|1xa.当当a=1a=1时时, ,解集为解集为 . .当当a1a1时时, ,解集为解集为x|ax1.x|ax1a1时时, ,解集为解集为x|1xa;x|1xa;当当a=1a=1时时, ,解集为解集为 , ,当当a1a1时时, ,解集为解集为x|ax1.x|ax00，即，即 时，方程时，方程x x2 22ax2ax3 30 0的两根为的两根为 且且x x1 1xx2 2. .所以所以3a3a3a3或2212xaa3xaa3 ， ，22xaa3xaa3.或综上知，当综上知，当 时，不等式的解集为时，不等式的解集为x|xx|x或或x ;x ;当当 时，不等式的解集为时，不等式的解集为R.

12、R.a3a3或2aa32aa33a3【加固训练】【加固训练】设二次不等式设二次不等式axax2 2bxbx1010的解集为的解集为则则abab的值为的值为_【解析】【解析】由题意知，方程由题意知，方程axax2 2bxbx1 10 0的两根为的两根为1 1，则有则有解得解得 所以所以abab6 6，1( 1)3 ， ，13，b11,a3111,a3 a3,b2, 考点考点2 2 一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题知知考情考情一元二次不等式的恒成立问题以及三个一元二次不等式的恒成立问题以及三个“二次二次”间的联系及综合间的联系及综合应用是高考的热点应用是高考的热点, ,而且常与函数

13、等知识交汇命题而且常与函数等知识交汇命题, ,考查应用分类讨论、考查应用分类讨论、数形结合、转化思想解决问题的能力数形结合、转化思想解决问题的能力. .明明角度角度命题角度命题角度1:1:形如形如f(x)0(f(x)0)(xR)f(x)0(f(x)0)(xR)求参数的取值范围求参数的取值范围【典例【典例2 2】(2013(2013重庆高考重庆高考) )设不等式设不等式8x8x2 2-ax+3a0-ax+3a0对对xRxR恒成立恒成立, ,则则a a的取值范围为的取值范围为. .【解题提示】【解题提示】因为不等式恒成立因为不等式恒成立, ,所以判别式小于等于零所以判别式小于等于零, ,直接求解即

14、直接求解即可可. .命题角度命题角度2:2:形如形如f(x)0(f(x)0(参数参数ka,b)ka,b)求求x x的取值范围的取值范围【典例【典例3 3】(2015(2015兰州模拟兰州模拟) )对任意的对任意的k-1,1,k-1,1,函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+ +(k-4)x+4-2k(k-4)x+4-2k的值恒大于零的值恒大于零, ,则则x x的取值范围是的取值范围是. .【解题提示】【解题提示】把二次函数的恒成立问题转化为把二次函数的恒成立问题转化为y=k(x-2)+xy=k(x-2)+x2 2-4x+40-4x+40在在k k-1,1-1,1上恒成立上恒成立, ,再利用一

15、次函数函数值恒大于再利用一次函数函数值恒大于0 0所满足的条件即所满足的条件即可求出可求出x x的取值范围的取值范围. .【规范解答】【规范解答】因为任意因为任意k-1,1,k-1,1,函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+(k-4)x-2k+40+(k-4)x-2k+40恒成立恒成立, ,所以所以f(k)=k(x-2)+xf(k)=k(x-2)+x2 2-4x+40-4x+40为一次函数为一次函数, ,所以所以所以所以解得解得x1x3,x3,所以所以x x的取值范围为的取值范围为(-,1)(3,+).(-,1)(3,+).答案答案: :(-(-,1),1)(3,+(3,+) )f( 1)0

16、,f(1)0,221 (x2)x4x40,(x2)x4x40, 命题角度命题角度3:3:形如形如f(x)0(xa,b)f(x)0(xa,b)求参数范围求参数范围【典例【典例4 4】(2015(2015兰州模拟兰州模拟) )对任意对任意x-1,1,x-1,1,函数函数f(x)=f(x)=x x2 2+(k-4)x+4-2k+(k-4)x+4-2k的值恒大于零的值恒大于零, ,求求k k的取值范围的取值范围. .【解题提示】【解题提示】表示出对称轴表示出对称轴, ,然后根据区间分类讨论求解然后根据区间分类讨论求解. .【规范解答】【规范解答】函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+(k-4)x+4

17、-2k+(k-4)x+4-2k的对称轴为的对称轴为当当 即即k k6 6时时,f(x),f(x)的值恒大于零等价于的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k-4)f(-1)=1+(k-4)(-1)+4-2k(-1)+4-2k0 0，解得，解得k k3 3，故，故kk ; ;当当 即即2k62k6时时, ,只要只要即即k k2 20 0，故，故kk . .k44kx.22 4k12，4k112 ，24k4k4kf()()k442k0,222当当 即即k k2 2时时, ,只要只要f(1)=1+(k-4)+4-2kf(1)=1+(k-4)+4-2k0 0即即k k1 1，故有故有k k1,1,综上可知

18、综上可知, ,当当k k1 1时，对任意时，对任意xx-1,1-1,1，函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+(k-4)x+4-2k+(k-4)x+4-2k的值恒大于零的值恒大于零. . 4k12，悟悟技法技法解不等式恒成立问题的技巧解不等式恒成立问题的技巧(1)(1)对于一元二次不等式恒成立问题对于一元二次不等式恒成立问题, ,恒大于恒大于0 0就是相应的二次函数的就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在图象在给定的区间上全部在x x轴上方轴上方, ,恒小于恒小于0 0就是相应的二次函数的就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在图象在给定的区间上全部在x x轴下方轴下方. .另外常

19、转化为求二次函数的最值另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值或用分离参数法求最值. .(2)(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元解决恒成立问题一定要搞清谁是主元, ,谁是参数谁是参数, ,一般地一般地, ,知道谁的知道谁的范围范围, ,谁就是主元谁就是主元, ,求谁的范围求谁的范围, ,谁就是参数谁就是参数. .通通一类一类1.(20151.(2015武汉模拟武汉模拟) )一元二次不等式一元二次不等式 对一切实数对一切实数x x都都成立，则成立，则k k的取值范围是的取值范围是_232kxkx08 【解析】【解析】由一元二次不等式由一元二次不等式 对一切实数对一切实数x x都成都成

20、立，则立，则 解得解得-3-3k k0 0综上，满足一元二次不等式综上，满足一元二次不等式 对一切实数对一切实数x x都成立的都成立的k k的取值范围是的取值范围是(-3(-3，0).0).232kxkx08 2k0,3k4 2k()0,8232kxkx08 2.(20152.(2015济宁模拟济宁模拟) )在在R R上定义运算上定义运算:xy=x(2-y),:xy=x(2-y),若不等式若不等式(x+m)x1(x+m)x1对一切实数对一切实数x x恒成立恒成立, ,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是. .【解析】【解析】由题意得由题意得:(x+m)x=(x+m)(2-x)1,:(x+

21、m)x=(x+m)(2-x)0,+(m-2)x+(1-2m)0,因为对任意的实数因为对任意的实数x x不等式都成立不等式都成立, ,所以其对应的一元二次方程所以其对应的一元二次方程:x:x2 2+(m-2)x+(1-2m)=0+(m-2)x+(1-2m)=0的根的判别式的根的判别式=(m-2)=(m-2)2 2-4(1-2m)0,-4(1-2m)0,解得解得:-4m0.:-4m0-2x+a0对任意实数对任意实数x2,3x2,3恒成恒成立立, ,则实数则实数a a的取值范围为的取值范围为. .【解析】【解析】令令f(x)=xf(x)=x2 2-2x+a=(x-1)-2x+a=(x-1)2 2+a

22、-1,+a-1,所以所以f(x)f(x)在区间在区间(1,+(1,+) )上单上单调递增调递增, ,又不等式又不等式x x2 2-2x+a0-2x+a0对任意实数对任意实数x2,3x2,3恒成立恒成立, ,所以所以f(2)0f(2)0恒成立恒成立, ,即即4-4+a0,4-4+a0,解得解得a0.a0.故实数故实数a a的取值范围是的取值范围是a0.a0.答案答案: :a0a04.(20154.(2015洛阳模拟洛阳模拟) )若已知不等式若已知不等式2x-1m(x2x-1m(x2 2-1)-1)对满足对满足|m|2|m|2的一切的一切实数实数m m的取值都成立的取值都成立, ,则则x x的取值

23、范围为的取值范围为. .【解析】【解析】构造变量构造变量m m的函数求解的函数求解:2x-1m(x:2x-1m(x2 2-1)-1)即即:(x:(x2 2-1)m-(2x-1)0-1)m-(2x-1)0构造关于构造关于m m的函数的函数f(m)=(xf(m)=(x2 2-1)m-(2x-1),|m|-1)m-(2x-1),|m|2 2即即-2-2m m2.2.(1)(1)当当x x2 2-1-10 0时，则时，则f(2)f(2)0,0,从而从而2x2x2 2-2x-1-2x-10 0解得解得: :又又x x2 2-1-10 0，即，即x x-1-1或或x x1 1，所以，所以1313x22 1

24、31x;2 (2)(2)当当x x2 2-1-10 0时时, ,则则f(-2)f(-2)0 0可得可得-2x-2x2 2-2x+3-2x+30,0,从而从而2x2x2 2+2x-3+2x-30,0,解得解得 又又-1-1x x1 1，从而，从而(3)(3)当当x x2 2-1=0-1=0时时, ,则则f(m)=1-2xf(m)=1-2x0 0，从而，从而 故故x=1;x=1;综上有综上有: :答案：答案：1771xx,22 或 71x 1.2 1x,27113x22 7113x22 自我纠错自我纠错1414 解一元二次不等式解一元二次不等式【典例】【典例】已知不等式已知不等式axax2 2+b

25、x+c0+bx+c0的解集为的解集为 则不等式则不等式cxcx2 2+bx+a0+bx+a0的解集为的解集为_._.1x |x23，【解题过程】【解题过程】【错解分析】【错解分析】分析上面解题过程，你知道错在哪里吗？分析上面解题过程，你知道错在哪里吗？提示：提示：忽视了对忽视了对a,b,ca,b,c符号的判断，根据给出的解集，除知道符号的判断，根据给出的解集，除知道和和2 2是方程是方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的两根外，还应知道的两根外，还应知道a0,a0,然后通过根与然后通过根与系数的关系进一步求解系数的关系进一步求解. .13【规避策略】【规避策略】1.1

26、.确定符号确定符号根据不等式的解集确定二次项系数的符号根据不等式的解集确定二次项系数的符号. .2.2.准确转化准确转化正确利用根与系数的关系得到正确利用根与系数的关系得到a,b,ca,b,c的关系的关系, ,做好不等式的等价转化做好不等式的等价转化, ,构造关于系数构造关于系数a,b,ca,b,c的方程组的方程组. .3.3.写出解集写出解集规范正确地解出不等式规范正确地解出不等式, ,写出解集写出解集. .【自我矫正】【自我矫正】由于不等式由于不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0的解集为的解集为可知可知a a0 0，且，且 2 2是方程是方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的两根的两根, ,所以所以所以所以所以不等式所以不等式cxcx2 2+bx+a+bx+a0 0可化为可化为 由于由于a a0,0,所以所以 即即2x2x2 2+5x-3+5x-30 0，1x |x23，13 ，1b1c2,()2,3a3a 52ba,ca.33 225axaxa033 ，225xx1 033 ，解得解得所以所求解集为所以所求解集为答案：答案：13x,2 1x | 3x.2 1x | 3x2