精典-数学建模案例：最佳灾情巡视路线-非线性仿真技术在零件结构大变形中的应用.docx

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1、非线性仿真技术在零件结构大变形设计中的应用摘要：通过零件本身变形来实现零件之间的连接在产品设计中使用非常普遍广泛，变形的关键在于材料特性，零件本身结构及使其变形的约束条件。本文利用NX 高级仿真中的SOL601,106 Advanced Nonlinear Statics结构非线性静态分析模块，对零件受力发生塑性变形进行仿真分析，对零件结构和设计参数进行了改进，并为确定合理的压接工艺提供依据。关键词：非线性仿真，SOL601,106，塑性变形引文： 通过零件自身的变形产生装配连接的方式，在实际的结构装配中广泛使用，由于无需添加额外装配件，只需要在装配时使其发生塑性变形或弹性变形产生挂台，便可以

2、实现连接，例如常见的塑料件卡扣连接等，不仅节省了物料，同时也大大降低了物流和装配费用，成本低廉。特别是在结构安装的空间和方向上受限的时候，由于结构简洁便于控制，优势尤为明显。 连接器设计的关键问题在于材料的选择，变形结构的设计及工艺的确定。引入仿真之前，这些验证需要投入多种的试验，实验设备，物料准备和试验时间大大限制了产品设计时间。本文以实际工作中采用仿真方法来替代实验验证，并对设计做出优化，得到了满意的效果。正文： 案例所示的金属连接器，结构如图1a所示，压接变形为图1b，理论设计的最大位移为2mm，在外力作用下，连接器的应力超过材料的屈服极限而未到强度极限，此时的零件发生塑性变形，产生挂台

3、，从而起到连接的作用。图1a图1b 在此过程中，材料发生了塑性变形，几何形状发生了大变形，新的接触面也产生，属于非线性大位移大变形问题。对此问题的仿真，本文采用了NX 高级仿真中的SOL601,106 Advanced Nonlinear Statics结构非线性静态分析模块，主要解决的问题是校验设计合理性，确定生产工艺。 整个验证过程一共进行了三组仿真，一是连接器变形导向的仿真，包括形状及公差；二是压接工艺的设计仿真；三是校核整个零件变形后的几何形状。1. 材料的选择 此连接器为金属材料，利用其塑性变形，需超过材料的屈服极限并且在强度极限以内。材料的特性曲线要通过拉伸试验获得，图2 展示了某

4、些材料的特性曲线。在材料价格和加工难度相当的情况下，为生产过程的裕度考虑，应选择如材料3的特性，在屈服极限和强度极限间有一定的范围。本案例中着重对材料1和材料3做了研究，材料1的材料成本低，材料3对设计的要求低。图2 材料应力应变曲线 2.1 连接器变形导向的设计 对连接器的变形部位要做导向设计以保证零件压接的成功率，验证设计除了理想尺寸，同时需给出设计参数的敏感程度分析，以便于公差的设计。由于非线性分析的计算时间和计算机存储量都非常大，在做变形导向的仿真时提取变形段做为分析对象。设定边界条件为固定下表面，载荷为2mm竖直方向的强制位移，1S内完成，时间步长为0.02S，设定接触条件、时间参数

5、，并设定非线性分析的参数。可以通过应力应变分布检查连接器的强度，提取上表面的反作用力作为压接工装的工艺设计依据。 图3 选择变形部分作为分析对象 分析敏感因素首先要识别敏感因子，此案例的变量识别为导角R1、 R2，导向角R3的对称度，尺寸长度L1 、L2和直径D1、 D2，如图3所示。这些因素组合出了多个仿真方案，参数值见表1。表1. 仿真方案设定Sim.Nr.D1D2L1L2R1R2S1AngleWall thicknessMaterialSim.0131.9531.150.162.20.050.0700.240.4Material3Sim.0232.0531.050.12.20.050.0

6、700.40.5Material3Sim.0331.9531.150.162.20.040.0100.240.4Material3Sim.0432.0531.050.12.20.10.0900.40.5Material3Sim.0532.0531.050.12.250.10.0900.40.5Material3Sim.0632.0531.050.12.150.10.0900.40.5Material3Sim.0732.0531.050.162.20.050.0700.340.5Material3Sim.0831.9531.150.12.20.050.0700.30.4Material3Sim.

7、0932.0531.050.12.20.050.070.0250.40.5Material3Sim.1031.9531.150.142.20.050.0700.260.4Material3Sim.1132.0531.10.082.20.050.0700.3950.475Material3Sim.1231.9531.150.142.20.050.0700.260.4Material1Sim.1332.0531.10.082.20.050.0700.3950.475Material1 仿真结果显示，在这些公差范围内，应力应变均未超过强度极限。而敏感系数表现各不相同：1） R2在一定范围内几乎无影响

8、。2） R1对变形部位应力应变分布非常敏感，R1的增大会使整体应力增大。对反作用力无影响。3） L2增加可以降低变形部位应力，对反作用力无影响。4） L1增大对应力分布有影响，由于结构强度的变化，会导致发生塑性变形需要的力减小。5） S1对应力分布稍有影响，但是并不大，对反作用力无影响。6） D1和D2的尺寸主要影响圆环壁厚，对应力分布有一定影响，是影响反作用力的敏感因素。7） D1,D2和L1的共同作用表现在最小壁厚处，最小壁厚会影响零件产生塑性变形需要的力，壁厚会影响变形到位时需要的力。8） 材料不同，应力应变曲线不同，应力应变的分布和相应的反作用力都影响比较大。由此可得出，对案例所设计的

9、零件，需要尽量减小R1的值，L2的尺寸会取上差，对壁厚和最小壁厚也会适当控制，并有他们的值来确定压接所需的力。表二 影响因素仿真结果1) R2影响Sim.01 R2=0.07Sim.03 R2=0.012) R1影响Sim.02 R1=0.05Sim.04 R1=0.13) L2 影响Sim.04 L2=2.2Sim.05 L2=2.254) L1 影响Sim.02 L1=0.1Sim.07 L1=0.165) S1影响Sim.02 S1=0Sim.09 S1=0.0256) Wall thickness 影响Sim.01 Wall thickness =0.4Sim.07 wall thic

10、kness =0.57）最小壁厚处的影响Sim.07 min.wall thickness =0.34Sim.08 min.wall thickness =0.38) 材料影响Sim.11 Material3Sim.13 Material1图4 仿真方案的反作用力结果 2.2 压接工艺的设计 根据确定的尺寸，选取最大圆环壁厚的模型为对象，仿真模型如图5。支撑圆台和气缸头简化为两个刚体，连接器由工作台支撑，气缸头提供竖直方向的推力，行程为2mm，作用在连接器上表面。接触的表面共有三对，定义局部接触为高级非线性，不同的材料根据需要设定不同的摩擦系数。2.2.1 气缸推力的设计 图5 压接工艺仿真模

11、型 提取气缸头上表面的反作用力即为需要的气缸出力，可以得出，材料3时，当前几何设计下发生塑性变形所需的力约为2600kg，变形到位的力约为3000kg，因此设计气缸的推力应以3000kg来设计。 跟理论计算的数值是有差别的，在工艺验证时也证明了这一点。 图6 反作用力与位移的仿真结果2.2.2 定位工装的设计 在压接测试时，对零件的约束也是影响条件之一，在2.2.1的工艺设计中，仅仅做接触表面的接触设置，对材料3是足够的，对材料1却不行。实际生产过程中的一种失效就是材料引起的，对于材料1的状态，则需要额外的约束或者设计去引导变形。Material 3Material 1图7 材料3和材料1的应

12、变分布 通过设计引导变形的方法之一如图8 所示，在导向槽的上根部加沟槽，减小上根部的结构强度，也得到了比较好的效果。 图8 通过加沟槽引导变形2.3 零件变形后的几何形状验证 2.1和2.2的仿真中，边界条件和载荷的设置不同。2.1是为了验证变形导向部位的设计，对变形部位的上下表面做了约束。2.2是对真实工艺过程的仿真，对工作台和气缸做了约束，接触面做了接触设置。因此，还需要对工艺过程下、连接器变形的形状做校核。对几何形状的验证无需提取反作用力，采用轴对称模型做截面的仿真只需十分钟即可完成一个算例，大大减小了运行时间。图9列举了材料1时，增加了沟槽引导的情况下，不同的尺寸参数值压接完毕的几何形

13、状。Sim. Nr.D1D2L1L2L3S1NResult131.9731.100.142.200.120.0000.40231.9731.100.142.200.120.0000.20332.0331.100.142.200.080.0000.40431.9731.100.182.200.120.0000.40532.0331.100.182.200.080.0000.40631.9731.100.142.200.120.0000.20732.0331.100.142.200.080.0000.20831.9731.100.182.200.120.0000.20932.0331.100.18

14、2.200.080.0000.201031.9731.150.142.150.120.0000.4001132.0331.150.182.250.080.0000.4001232.0331.150.182.250.120.0000.4001332.0331.150.142.150.120.0250.4001431.9731.150.182.250.120.0250.4001532.0331.150.142.150.12-0.0250.4001631.9731.150.182.250.12-0.0250.4001732.0031.1250.162.200.090.0000.2801832.003

15、1.1250.162.200.090.0000.380图9 零件压接完毕的几何形状 可以看出，增加的沟槽引导对压接完毕的几何尺寸影响比较大，会导致压台非对称的情况，明显的上翘是由于沟槽偏大，上根部强度不够，而明显的下翘是由于上根部的强度偏大造成的。上根部和下根部的强度是相对的，这不仅是对引导沟槽的机加精度要求提高，对其他尺寸的公差要求也同样的提高了。3. 结论 本文以一个金属连接器为案例，通过3组不同形式的仿真，分析了结构设计中的敏感尺寸参数，验证了最佳压接工艺参数，校核了最终的零件状态。综合分析机加精度、工艺要求和材料成本，最终确定了采用材料3，给出了最经济的公差设计，并且大大缩减了用实际试

16、验进行工艺验证的时间和费用。所采用的设计通过了实验验证，效果良，可以推广应用，以辅助此类零件的设计。建模案例：最佳灾情巡视路线 这里介绍1998年全国大学生数学模型竞赛B题中的两个问题.一、问 题今年夏天某县遭受水灾.为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视.巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线.1 若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的路线.2 假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2h，在各村停留时间t=1h，汽车行驶速度V=35km/h.要在24h内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下最佳的巡视路线

17、.乡镇、村的公路网示意图见图1. 图1二、 假 设1汽车在路上的速度总是一定，不会出现抛锚等现象；2巡视当中，在每个乡镇、村的停留时间一定，不会出现特殊情况而延误时间；3每个小组的汽车行驶速度完全一样；4分组后，各小组只能走自己区内的路，不能走其他小组的路（除公共路外）.三、模 型 的 建 立 与 求 解将公路网图中，每个乡（镇）或村看作图中的一个节点，各乡（镇）、村之间的公路看作图中对应节点间的边，各条公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所给公路网就转化为加权网络图，问题就转化为在给定的加权网络图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一次再回到O点，使得总权（路程或时间）最小，此即最佳

18、推销员回路问题.在加权图G中求最佳推销员回路问题是NP完全问题，我们采用一种近似算法求出该问题的一个近似最优解，来代替最优解，算法如下：算法一 求加权图G（V，E）的最佳推销员回路的近似算法：1 用图论软件包求出G中任意两个顶点间的最短路，构造出完备图， ；2 输入图的一个初始H圈；3 用对角线完全算法产生一个初始H圈；4 随机搜索出中若干个H圈，例如2000个；5 对第2、3、4步所得的每个H圈，用二边逐次修正法进行优化，得到近似最佳H圈；6 在第5步求出的所有H圈中，找出权最小的一个，此即要找的最佳H圈的近似解.由于二边逐次修正法的结果与初始圈有关，故本算法第2、3、4步分别用三种方法产生

19、初始圈，以保证能得到较优的计算结果.问题一 若分为3组巡视，设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线.此问题是多个推销员的最佳推销员回路问题.即在加权图G中求顶点集V的划分，将G分成n个生成子图，使得（1）顶点, i=1，2，3,n；（2） ；（3），其中为的导出子图中的最佳推销员回路，为的权，i，j=1，2，3,n；（4）取最小. 定义 称为该分组的实际均衡度.为最大容许均衡度. 显然，越小，说明分组的均衡性越好.取定一个后，与满足条件（3）的分组是一个均衡分组.条件（4）表示总巡视路线最短.此问题包含两方面：第一，对顶点分组；第二，在每组中求最佳推销员回路，即为单个推销员的最佳推销员问题.

20、由于单个推销员的最佳推销员回路问题不存在多项式时间内的精确算法，故多个推销员的问题也不存在多项式时间内的精确算法.而图中节点数较多，为53个，我们只能去寻求一种较合理的划分准则，对图进行粗步划分后，求出各部分近似最佳推销员回路的权，再进一步调整，使得各部分满足均衡性条件（3）.图2 O点到任意点的最短路图（单位：km） 从O点出发去其他点，要使路程较小应尽量走O点到该点的最短路.故用图论软件包求出O点到其余顶点的最短路，这些最短路构成一棵以O为树根的树，将从O点出发的树枝称为干枝，见图2，从图中可以看出，从O点出发到其它点共有6条干枝，他们的名称分别为，.根据实际工作的经验及上述分析，在分组时

21、应遵从以下准则：准则一：尽量使同一干枝及其分枝上的点分在同一组；准则二：应将相邻的干枝上的点分在同一组；准则三：尽量将长的干枝与短的干枝分在同一组.由上述分组准则，我们找到两种分组形式如下：分组一：（，），（，），（，）；分组二：（，），（，），（，）显然分组一的方法极不均衡，故考虑分组二.对分组二中每组顶点的生成子图，用算法一求出近似最优解及相应的巡视路线.使用算法一时，在每个子图所构造的完备图中，取一个尽量包含图2中树上的边的H圈作为其第2步输入的初始圈.分组二的近似解见表1. 表1（单位：km）小组名称路 线总路线长度路线的总长度IO-P-28-27-26-N-24-23-22-17-1

22、6-I-15-I-18-K-21-20-25-M-O191.1558.5IIO-2-5-6-L-19-J-11-G-13-14-H-12-F-10-F-9-E-7-E-8-4-D-3-C241.9IIIO-R-29-Q-30-32-31-33-35-34-A-B-1-O125.5因为该分组的均衡度=54.2%所以此分法的均衡性很差.为改善均衡性，将第组中的顶点C，2，3，D，4分给第组（顶点2为这两组的公共点），重新分组后的近似最优解见表2.表2（单位：km）编号路 线 路线 长度路线总长度IOP282726N2423221716I15I18K212025MO191.1599.8IIO2567

23、E8E9F10F12H1413G11J19L652O216.4IIIOR29Q303231333534A1BC3D4D32O192.3因该分组的均衡度11.69%所以这种分法的均衡性较好.问题二 当巡视人员在各乡（镇）、村的停留时间一定，汽车的行驶速度一定，要在24h内完成巡视，至少要分几组及最佳的巡视路线.由于T=2h，t=1h，V=35km/h，需访问的乡镇共有17个，村共有35个.计算出在乡（镇）及村的总停留时间为172h+35h=69h，要在24h内完成巡回，若不考虑行走时间，有: (i为分的组数).得i最小为4，故至少要分4组. 由于该网络的乡（镇）、村分布较为均匀，故有可能找出停留

24、时间尽量均衡的分组，当分4组时各组停留时间大约为h，则每组分配在路途上的时间大约为24h-17.25h=6.75h.而前面讨论过，分三组时有个总路程599.8km的巡视路线，分4组时的总路程不会比599.8km大太多，不妨以599.8km来计算.路上时间约为h，若平均分配给4个组，每个组约需h=4.25h6.75h，故分成4组是可能办到的.现在尝试将顶点分为4组.分组的原则：除遵从前面准则一、二、三外，还应遵从以下准则：准则四：尽量使各组的停留时间相等.用上述原则在图2上将图分为4组，同时计算各组的停留时间,然后用算法一算出各组的近似最佳推销员巡回，得出路线长度及行走时间，从而得出完成巡视的近

25、似最佳时间.用算法一计算时，初始圈的输入与分3组时同样处理.这4组的近似最优解见表3. 表3（路程单位：km；时间单位：h）组名路 线路线总长度停留时间行走时间完成巡视的总时间IO2567E8E11G12H12F10F9E7652O 195.8175.5922.59IIOR29Q30Q282726N242322171617K2223N26PO199.2165.6921.69IIIOM252021K18I151413J19L6MO159.1184.5422.54IVORA3331323534B1C3D4D32O166184.7422.74上表中符号说明：加有底纹的表示前面经过并停留过，此次只经过不需停留；加框的表示此点只经过不停留.该分组实际均衡度=4.62%可以看出，表3分组的均衡度很好，且完全满足24h完成巡视的要求.14