数学观、认知心理与数学学习-朱福胜.pdf

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1、数学观、认知心理与数学学习y 39taaJ内容提要：本文在探讨数学观念的基础I：，应Jl J认知心理学原理米研7E数学学习的对象及数学学习的方法和策略。全文共分为章：第一章数学观念；第二章认知学习理论；第三章数学学习。第一章，根据数学自身的特点，结合数学发展的历史，刚辩证的、发展的观点对数学观念进行分析，提出个体的一些见解。第二章，丰要阐述认知学习理论关于知识的获得、知：的保持、知识的应用的有关观点并进行思考。第三章，在上述二章的基础l二，应用理论联系实际的方法，围绕数学应”学什么”与”怎么学”展开讨论，研究了数学学习的主要对象，提出了数学学习方法与策略。，4本文由于作者水平有限，尚有许多不足

2、之处，还望专家批评与指正。作者简介：朱福胜，男，1973年出生，泉州师范学院数学系，助教。关键词：数学观念。认知方法策略Mathematics View，CognitivePsychology And Mathematics LearningSynopsis：Basing on the mathematics view，the essay applies thetheory of cognitive psychology to research the objects of mathematicslearning，as well as its methods and stratagesIt c

3、an be divided intothree parts1Mathematics View：IJTheory on Cognitive Learning；111Mathematics LearningThe first chapter analyzes the mathematics view mad puts forwardsome viewpoint according to the individual characteristics ofmathematics combining with the history of mathematics developmentThe secon

4、d chapter mainly explores some concerning theories ofcognitive learning on the acquisition，preservation and application ofknowledgeThe third chapter,basing on the above two chapters，combing theory with practice，discusses”what to learn”and nhow tolearn”in mathematics learning，explores the main object

5、s ofmathematics learning，and put forward some learning methods andstratages on mathematics learningAny criticism and correction are appreciatedAuthor：Zhu Fusheng，male，1 973一，the Mathematics Departmentof Quanzhou TeacherscollegeassistantKey words：Mathematics view；Cogniton；methods；stratages月Ij盂数学教学活动是

6、师生双方积极主动的交互活动。它以数学教材为中介，通过教师教的活动和学1i学的活动的相互作用，使学生获得数学知U、技能和能力，发展个性品质和形成良好的学习态度。教师的教，其发点和归宿是为了更好地促进学生的学。因为数学教育目标的最后实现，必须通过学生自主地对信息材料进行加工处理，内化为学生自己的知识结构，丰富个体的心理品质。因此，可以这样说，在数学教育中，数学学习规律的研究处于基础和指导的地位。应该指出的是，这里所谈的数学学习主要是指在特定的学校教育情境q，根据教学大纲和教材，学生在教师的指导下有目的、有计划、有步骤地获得数学知识，形成数学技能、培养数学能力的过程。数学学习所要解决的根本问题，是探

7、索在学校教育的条件下，学生的数学知识、技能和能力是怎样获得的，其间有什么规律，并依据规律来指导学生的数学学习。那么，本文又是从哪些方面来阐述数学学习呢?笔者是以认知心理学的角度来探索数学学习规律。本世纪50年代发展起来的认知心理学是以人类认知过程为主要研究对象的心理学学说。认知心理学对于数学学刊实质、数学学习过程、数学学习策略以及数学学习方法的探索具有重要的理论和实践意义。不过，借鉴认知心理学来研究数学学习，应避免生搬硬套、机械融合，应充分考虑到数学作为一门学科，其本身所具有的特性，尽量做到批判性地吸收，并有所超越。另一方面，数学学习必定是 定数学观念下的学习。任何对数学本体缺乏深刻的认识而奢

8、谈数学学习，将会是空洞和肤浅的，数学本质论、数学思想、数学价值观对数学学习的指导意义是基础性的、决定性的。综合上述两方面，正如本文的标题所预示：本文的核心思想在于探讨在一定数学观念指导下，从认知心理学的角度来揭示数学学习的心理规律，并指导学生的数学学习。第一章数学观念研究数学学习离不开对数学观念的思考。因为人们的数学观念决定人们对数学的认知方式也决定了如何从较为深层、本质的意义来指导学生的数学学习。那么宄竟什么是数学?如何获得列数学较为合理的、科学的认口?事实上，很难也小可能给数学F一个确切的定义，而数学观念又是客观存在于人们的意汉之中，并时时刻刻指导人们的数学实践活动。应该说，数学观念是一个

9、开放的，小断发展的观念，它是人类社会活动的产物，是人们在数学实践活动的基础上，埘数学认识的概括。小同的个体从小同的角度来看待数学，就会获得小同的数学观念。我们应善于从哲学的岛艘出发，辩证地埘待各家各派的观点，用矛盾的观点与发展的观点来认识数学。F向j一婪从数学本体论、数学方法论、数学认识论这三个角度，通过剖析小同观点之问的争呜来深化刈数学本质的认识。第一节绝对主义观与可误主义观绝刈主义观，即认为数学真理是绝对可靠，数学是一种而且也许是唯一的一种确定的，币容置疑的客观知识领域。可误主义观则认为数学真理是可以纠正的。决不像上述那样，是不可修正与更改的，绝对主义观断定数学为绝对可靠的知识的根据如下：

10、假设系统中的数学定义为真，逻辑公理为真。逻辑推理规则保持着真理性，即可承认由真理推导出真理。以上述两事实为基础，可知演绎证明中的每个陈述包括它的结论部为真。这就形成了许多数学家所断言的数学真理就是可靠真理的基础，上述观点似乎很严密，但随着现代数学的发展，绝刑主义观点不断受到挑战，表现有：绝刈主义观所假设的数学定义为真，数学公理为真并不总是为真。这己为J力史所证明。例如，古希腊毕达哥拉斯学派将数学知识全部建立在整数基础上，认为宇宙问-。发现象都可归结为整数或整数之比，因而任何两线段都是可公度。后来，毕达哥拉斯学派发现正方形的_埘角线与边长没有公度。由此出现了数学史所谓第一次基础危机，也从而推动了

11、数学的发展。绝对主义观提倡演绎论。认为演绎保证了数学陈述及其结论为真，但并不是所有的数学知识都是由演绎系统通过形式化证明推导出来。如Apple-Haken用计算机证明了四色定理，既然数学知识并不都是从演绎推导出来，那么如何又能保证所有数学的可靠性呢?从上述分析可知，绝刈主义观本身确实存在无法弥补的缺陷，其受到可误主义删严历的批判也理所当然，就像数学家克莱因所指出“现在已经清楚，这一普遍性特有2第一章数学观念研究数学学习离不开对数学观念的思考。因为人们的数学观念决定人们对数学的认知方式也决定了如何从较为深层、本质的意义来指导学生的数学学习。那么宄竟什么是数学?如何获得列数学较为合理的、科学的认口

12、?事实上，很难也小可能给数学F一个确切的定义，而数学观念又是客观存在于人们的意汉之中，并时时刻刻指导人们的数学实践活动。应该说，数学观念是一个开放的，小断发展的观念，它是人类社会活动的产物，是人们在数学实践活动的基础上，埘数学认识的概括。小同的个体从小同的角度来看待数学，就会获得小同的数学观念。我们应善于从哲学的岛艘出发，辩证地埘待各家各派的观点，用矛盾的观点与发展的观点来认识数学。F向j一婪从数学本体论、数学方法论、数学认识论这三个角度，通过剖析小同观点之问的争呜来深化刈数学本质的认识。第一节绝对主义观与可误主义观绝刈主义观，即认为数学真理是绝对可靠，数学是一种而且也许是唯一的一种确定的，币

13、容置疑的客观知识领域。可误主义观则认为数学真理是可以纠正的。决不像上述那样，是不可修正与更改的，绝对主义观断定数学为绝对可靠的知识的根据如下：假设系统中的数学定义为真，逻辑公理为真。逻辑推理规则保持着真理性，即可承认由真理推导出真理。以上述两事实为基础，可知演绎证明中的每个陈述包括它的结论部为真。这就形成了许多数学家所断言的数学真理就是可靠真理的基础，上述观点似乎很严密，但随着现代数学的发展，绝刑主义观点不断受到挑战，表现有：绝刈主义观所假设的数学定义为真，数学公理为真并不总是为真。这己为J力史所证明。例如，古希腊毕达哥拉斯学派将数学知识全部建立在整数基础上，认为宇宙问-。发现象都可归结为整数

14、或整数之比，因而任何两线段都是可公度。后来，毕达哥拉斯学派发现正方形的_埘角线与边长没有公度。由此出现了数学史所谓第一次基础危机，也从而推动了数学的发展。绝对主义观提倡演绎论。认为演绎保证了数学陈述及其结论为真，但并不是所有的数学知识都是由演绎系统通过形式化证明推导出来。如Apple-Haken用计算机证明了四色定理，既然数学知识并不都是从演绎推导出来，那么如何又能保证所有数学的可靠性呢?从上述分析可知，绝刈主义观本身确实存在无法弥补的缺陷，其受到可误主义删严历的批判也理所当然，就像数学家克莱因所指出“现在已经清楚，这一普遍性特有2的观念：不会错的推论主体1800年以来崇高的数学和人类的自豪一

15、一是一个自负的幻想，数学的非可靠性和可疑性取代之过去的可靠性和自负感数学的现状是刈卣到如今仍根深蒂固，广负赞誉的完善的数学真理和逻辑的一个嘲讽”。可误主义观认为数学知识是可纠正的且永远要接受更正。总体来说，这种观点反映I见代数学的发展情况。反过来，若认为数学是毫不确定且经常错误，这似乎又止向另一极端。那么如何对可误主义观进行再反思?即怎样才是更为合理的数学真理删呢?其结论为：1可误主义观的基本立场是比较科学的，但同时又应看到，绝对主义观所信奉的观点在一个相对的系统内部，即假定其定义、公理发逻辑规则为真的情况下，数学还是具有无可辩驳的相对真理性及确定性。绝划主义观也曾经促进了数学的发J醍，刈数学

16、确定性的追求也起到小可低估的作用。例如，现代数学的分支之一群论就是借助于绝刑主义观所提倡的数学方法“假设一一演绎方法”去从事可能的对象的研究，任何刈象只要满足系统中的公理，就一定满足系统中的各个定理。2可误主义观所持的观点“数学知识永远要接受更正”并小意味着以往的数学An识是错误的。这绝不像物理学上哥白尼的“太阳中心说”取代亚里士多德托勒密的“地球中心说”那样，是以一种科学的观点否定另一种非科学的观点。事实上，就像郑敏信教授所指出“数学的发展并不是以破坏或取消原有理论的方式进行，而是用深化或推广原有理论的方式，用以前的发展作准备而提出新的概括理论的方式进行的”。例如，函数的概念就经历了代数函数

17、、解析函数、变量函数、映射函数的演变过程，这是一个逐步深化与推广的过程。3数学真理观由“可靠性”向“非可靠性”的转化，并不意味着数学发展的退步及人类理性的丧失，恰恰相反，它使我们看到知识的发展，意识到人类认知的局限性，领会“真理相对性”的含义，它让我们坚信人类数学智慧的无穷创造性并激励人们刈数学终极真理的不断追求。第二节经验论与先验论如果说绝列主义观与可误主义观所争论的焦点是数学真理的可靠性问题，那么经验论与先验论争论的焦点则是数学真理的实在性问题即数学知识是否具有“实亿性”?经验论者认为数学是对客舰世界数量关系与空间形式的反映。其基本舰点有：数学概念、数学知识起源于经验。数学真理可用经验来判

18、断。即数学真理来自刈客观世界的观察。先验论者则认为数学是个体的主观意识的自由产物，与经验无关，3的观念：不会错的推论主体1800年以来崇高的数学和人类的自豪一一是一个自负的幻想，数学的非可靠性和可疑性取代之过去的可靠性和自负感数学的现状是刈卣到如今仍根深蒂固，广负赞誉的完善的数学真理和逻辑的一个嘲讽”。可误主义观认为数学知识是可纠正的且永远要接受更正。总体来说，这种观点反映I见代数学的发展情况。反过来，若认为数学是毫不确定且经常错误，这似乎又止向另一极端。那么如何对可误主义观进行再反思?即怎样才是更为合理的数学真理删呢?其结论为：1可误主义观的基本立场是比较科学的，但同时又应看到，绝对主义观所

19、信奉的观点在一个相对的系统内部，即假定其定义、公理发逻辑规则为真的情况下，数学还是具有无可辩驳的相对真理性及确定性。绝划主义观也曾经促进了数学的发J醍，刈数学确定性的追求也起到小可低估的作用。例如，现代数学的分支之一群论就是借助于绝刑主义观所提倡的数学方法“假设一一演绎方法”去从事可能的对象的研究，任何刈象只要满足系统中的公理，就一定满足系统中的各个定理。2可误主义观所持的观点“数学知识永远要接受更正”并小意味着以往的数学An识是错误的。这绝不像物理学上哥白尼的“太阳中心说”取代亚里士多德托勒密的“地球中心说”那样，是以一种科学的观点否定另一种非科学的观点。事实上，就像郑敏信教授所指出“数学的

20、发展并不是以破坏或取消原有理论的方式进行，而是用深化或推广原有理论的方式，用以前的发展作准备而提出新的概括理论的方式进行的”。例如，函数的概念就经历了代数函数、解析函数、变量函数、映射函数的演变过程，这是一个逐步深化与推广的过程。3数学真理观由“可靠性”向“非可靠性”的转化，并不意味着数学发展的退步及人类理性的丧失，恰恰相反，它使我们看到知识的发展，意识到人类认知的局限性，领会“真理相对性”的含义，它让我们坚信人类数学智慧的无穷创造性并激励人们刈数学终极真理的不断追求。第二节经验论与先验论如果说绝列主义观与可误主义观所争论的焦点是数学真理的可靠性问题，那么经验论与先验论争论的焦点则是数学真理的

21、实在性问题即数学知识是否具有“实亿性”?经验论者认为数学是对客舰世界数量关系与空间形式的反映。其基本舰点有：数学概念、数学知识起源于经验。数学真理可用经验来判断。即数学真理来自刈客观世界的观察。先验论者则认为数学是个体的主观意识的自由产物，与经验无关，3其基本观点是“个数学州象是存在的，就等于说它是可构造的”。经验论者将数学定义为“研究现实世界的空间形式和数量关系”的科学。毫无疑问，对于传统数学丽言，上述的定义比较完善地概括当时的数学发展水平，它也使得人们对数学有一个完整全面的认识。从这一点看，这个定义是科学的，且有积极意义的。冈而，在19世纪中叶之前，经验论的观点还是能够被大多数哲学家和数学

22、家所普遍接受的。随着数学的4i断发展、分支不断扩展，数学概念的抽象化柙度加深，数学形式的多样化，使得先验论者刈经验论者的基本观点提出质疑，反驳数学知泌的经螗性。其理山主要有：1，现代数学研究埘象个再仅仅是现实世界的“空问形式”和“数最关系”，许多数学概念并非来源于埘世界的观察，而是建立在先前形成的概念基础上。例如，逻辑代数是论述“概念运算”和“命题运算”的学问，它是建立在元集(0，1)上的也=舌“或”、“非”、“与”三种运算的代数系统。2现代数学所研究“空州形式”和“数量关系”与传统数学的“空faJ形式”利“数量关系”有了质的区别。如希尔伯特在几何基础里，虽然沿用欧几里得的术语：点、线、面，但

23、这三个基本概念既没有定义，也没有作直观的解释，而只与所选择的公理有关。在他看来，欧几里得关于点、线、面的定义，在数学上并不重要。3现代数学的一些概念是无法用现实经验来判断的。例如，非欧几何中的平行公理，在现实中观察4；到，也无法验证。就像虚数和四元数的发现一样，既没有原型可供纂写，又没有经验可供抽象。由上分析可知，先验论的观点有其合理之处。但如果一味强调数学知识的先验性，那是否意味着数学知识与现实经验全无联系，经验论的评判标准不值一提?显然这也是不正确的。两者的争论是关于数学的形式与内容的争论。经验论者更强调数学知识的内容，先验论者更强调数学知识的形式，事实上，内容与形式是辩证统的，小可分割的

24、。我们所应持有的观点是：数学在形式上是完全自出的，形式可以先于内容仔在，但数学内容必须符合人类活动经验，有助于人类改造经验世界，形式必须服务于内容，这样的形式才会有意义。第三节数学真理的发现数学真理是如何发现，其发现有什么规律吗?这涉及到现代数学方法论研究的个关键问题。也涉及到历史上不同的科学哲学观点逻辑实证主义和证伪主义。逻辑实证主义的哲学腻则是经验证实原则，将“经验证实原则”作为科学与非科学的分界标准，认为只有能被经验证实的命题才是科学的命题。在方法论上逻辑实证-4-其基本观点是“个数学州象是存在的，就等于说它是可构造的”。经验论者将数学定义为“研究现实世界的空间形式和数量关系”的科学。毫

25、无疑问，对于传统数学丽言，上述的定义比较完善地概括当时的数学发展水平，它也使得人们对数学有一个完整全面的认识。从这一点看，这个定义是科学的，且有积极意义的。冈而，在19世纪中叶之前，经验论的观点还是能够被大多数哲学家和数学家所普遍接受的。随着数学的4i断发展、分支不断扩展，数学概念的抽象化柙度加深，数学形式的多样化，使得先验论者刈经验论者的基本观点提出质疑，反驳数学知泌的经螗性。其理山主要有：1，现代数学研究埘象个再仅仅是现实世界的“空问形式”和“数最关系”，许多数学概念并非来源于埘世界的观察，而是建立在先前形成的概念基础上。例如，逻辑代数是论述“概念运算”和“命题运算”的学问，它是建立在元集

26、(0，1)上的也=舌“或”、“非”、“与”三种运算的代数系统。2现代数学所研究“空州形式”和“数量关系”与传统数学的“空faJ形式”利“数量关系”有了质的区别。如希尔伯特在几何基础里，虽然沿用欧几里得的术语：点、线、面，但这三个基本概念既没有定义，也没有作直观的解释，而只与所选择的公理有关。在他看来，欧几里得关于点、线、面的定义，在数学上并不重要。3现代数学的一些概念是无法用现实经验来判断的。例如，非欧几何中的平行公理，在现实中观察4；到，也无法验证。就像虚数和四元数的发现一样，既没有原型可供纂写，又没有经验可供抽象。由上分析可知，先验论的观点有其合理之处。但如果一味强调数学知识的先验性，那是

27、否意味着数学知识与现实经验全无联系，经验论的评判标准不值一提?显然这也是不正确的。两者的争论是关于数学的形式与内容的争论。经验论者更强调数学知识的内容，先验论者更强调数学知识的形式，事实上，内容与形式是辩证统的，小可分割的。我们所应持有的观点是：数学在形式上是完全自出的，形式可以先于内容仔在，但数学内容必须符合人类活动经验，有助于人类改造经验世界，形式必须服务于内容，这样的形式才会有意义。第三节数学真理的发现数学真理是如何发现，其发现有什么规律吗?这涉及到现代数学方法论研究的个关键问题。也涉及到历史上不同的科学哲学观点逻辑实证主义和证伪主义。逻辑实证主义的哲学腻则是经验证实原则，将“经验证实原

28、则”作为科学与非科学的分界标准，认为只有能被经验证实的命题才是科学的命题。在方法论上逻辑实证-4-主义者明确指出了证明(检验)的方法”与“发现的方法”的区分，并认为科学方法论的研究仅限于证明(检验)的方法的范围，而发现的问题则完全属于心理学的范围。对此不可能作出任何理性的或逻辑的分析，从而也就根奉不存在任何真正意义上的“发现的方法”。由于逻辑实证主义在西方学术界曾长期占据主导地位，因而，关于数学发现方法的研究就一度陷入了停顿状态。后来，山于逻辑实证主义在理论上并不能自圆其说，而且漏洞百出，补不胜补，就逐渐被证伪主义所取代。证伪主义的哲学原则是“经验证伪原则”，断言经验不能证实理论，j能证伪理论

29、。其理IjI是：科学理论都是普遍性命题，它们具有普遍有效性，是小能通过几个只体的经验事例来实。因而，证伪主义以“经验证伪原则”作为划分科学与F科学的标准，即认为凡足能被经验证伪的命题才是科学的命题宙则是非科学命题。证伪主义的兴起唤醒了数学发现方法研究的复兴，卣接推动波利q、拉卡托斯等人研究的发展。波利亚既古认了能有效地解决一切问题或从事数学发现的“万能力法”的存在，也否认了根本不存在任何关于发现方法的观点。在上述的两极刘立之问，波利亚事实上开拓了第三种可能性，即我们可以而且应当去从事刈新的研究T作具有启发与指导意义的一般方法或模式的研究。波利亚由此开展数学启发法一一关于“发现和发明的方法和规律

30、”的研究，为数学方法论研究的现代复兴提供必要的理论基础，并在很大程度决定了这种研究的性质。拉卡托斯正是在波利亚的研究工作基础上，将证伪主义由一般科学领域推广应用到了数学领域，发展了自己的特殊理论一一数学发现的逻辑。他认为数学发展的逻辑就是一种证明与反驳的方法。其核一tl,思想在于：我们应当借助于反例去对所给出的“证明进行分析”，使隐蔽的前提明朗化，从而达到对原先的猜测进行改进的目的。由于反例的得出是剐原来的猜测进行批判的结果，而所旧的证明分析则是对原来的不严格的论证或思想实验进行批判，因此，批判的方法就可说是数学发现的逻辑的精髓所在。通过对数学发现研究的历史发展的分析，我们必须辩证地、发展地看

31、待实汪主义与证伪主义关于数学发现的观点：由于数学的特殊性，即数学既远离经验但又小是与现实经验毫不相联因此既要充分肯定证实在数学研究中的作用，又要认识到数学真理的发现不应仅仅局限于经验证实的基础上。我们应清楚地看到，猜想与反驳在数学研究中的作用及“否定”在数学发展中的合理因素，但又不能充分夸大证伪原则，因为当理论与经验发生矛盾时，也有可能是经验错了，而不是理论是错的。如1906年德国物理学家考夫曼用高速电予实验检验相对论时，得出的结论是否定的跌至许多科学家冈此刑相对论有所动摇。然而十年后，另外两位德国科学家发现考犬曼的实验装置有毛病，所以他的实验结果是错误的。数学的发现其出发点是朴素的猜想，然后是“证明”与“反驳”的交互作用，旱现一种螺旋式上升的态势，从而小断5一