射影定理课件2.ppt

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1、的射影定理直角三角形点在直线上的正射影点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。一条线段在直线上的正射影一条线段在直线上的正射影 线段的两个端点在线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段。这条直线上的正射影间的线段。A ANMNMABA B 点和线段的正射影简称点和线段的正射影简称射影射影?.,.,间的某些关系吗间的某些关系吗你能发现这些线段之你能发现这些线段之系系的角度来考察它们的关的角度来考察它们的关因此可以从射影因此可以从射影等互相垂直等互相垂直与与、与与、与与由于线段由于线段在这个图

2、形中在这个图形中上的高上的高边边为斜为斜是直角三角形是直角三角形如图如图探究探究ACBCCDBDCDADABCDABC341ACBD341图图ACBD341图图.CBDRtACDRt和考察,BCDACD090因为所以,BCDB090.ACDB.CBDACD所以 12.,BDADCDBDCDCDAD即则.BCARtBDCRt和考察,是公共角因为 B,.ABBCBCBDBCABDC则所以 22.ABBDBC即ACBD341图图有由同理,BCACDA 32.ABADAC .,理为直角三角形的射影定因而把这三个等式统称系关射影与其他线段之间的的角形两直角边在斜边上式反映了直角三321上述推理表明射影定

3、理可以从三角形相似的角度给出证明上述推理表明射影定理可以从三角形相似的角度给出证明ABADAC2ABBDBC2DBADCD2CADB.;与与斜斜边边的的比比例例中中项项别别是是它它们们在在斜斜边边上上射射影影两两直直角角边边分分例例中中项项角角边边在在斜斜边边上上射射影影的的比比是是两两直直直直角角三三角角形形斜斜边边上上的的高高理理定定影影射射用勾股定理能证明射影定理吗用勾股定理能证明射影定理吗?AB=AC+BC(AD+BD)=AC+BC即即2ADBD=AC-AD+BC-BDAC-AD=CD， BC-BD=CD2ADBD=2CD CD= ADBD而而AC=AD+CD=AD+ADBD =AD(

4、AD+BD)=ADAB 证明证明ABDCBDADCD2ABBDBC2ABADAC2利用射影定理也能推导出勾股定理利用射影定理也能推导出勾股定理:222ABABBDABADBCAC射影定理只能在射影定理只能在直角三角形直角三角形中应用中应用CADB这里犯糊涂，可不行！可不行！ABCDO351图图.,.,的长的长和和、求求上的射影为上的射影为在直径在直径点点上一上一圆圆如图如图例例BCACCDBDADDABCO823511.,是直角三角形即所以圆周角是半圆上的因为解ABCACBACB090由射影定理可得;,416822CDBDADCD解得;,52201022ACABADAC解得.,54801082

5、BCABBDBC解得证法一证法一：例例2. 如图如图,在在 中中,ABC,EACDEDABCD于于.CBACEFFBCDF:,求证于ACDEABCDCACECD2BCDFABCDCBCFCD2CACFCBCEBCAECF.CBACEFCEADFB 证法二 提示： 四点共圆找角证法二由题意可知所以CEDF四点共圆, .CEADFB0180CEDCFDCDFCEFCEFCDFBDCFCDFDCFB0090,90BCAECF.CBACEF361图图ACBD.:.,3612是直角三角形求证且边上的射影为在顶点中如图ABCBDADCDDABCABC.,090BDCCDAABCDDABCBDCCDA因而所

6、以上的射影为在点因为中和在证明即又因为,DBADCD2.BDCCDA所以.BCDCAD故.:DBCDCDAD所以因为中在.,090ACDCADACD090ACDBCD,090ACBACDBCD则.是直角三角形因此ABC习练(1)在在 中中,CD为斜边为斜边AB上的高上的高,图中共有图中共有6条线段条线段ABCRtAC,BC,CD,AD,DB,AB已知任意两条已知任意两条,便可求出其余四条便可求出其余四条.(2)射影定理中每个乘积式中射影定理中每个乘积式中,含三条线段含三条线段,若已知两条若已知两条 可可求第三条求第三条.(3)解题过程中解题过程中,注意和勾股定理联系注意和勾股定理联系,选择简便

7、方法选择简便方法.你都弄懂了吗？你都弄懂了吗？BDADCD2ABBDBC2ABADAC2作业：作业：习题习题1.4的的1，3题及选作题题及选作题1.ABDC直角直角ABC中已知中已知:CD=60 AD=25 求：求：BD,AB,AC,BC的长的长BD=144,AB=169,AC=65,BC=1563.如图，已知线段如图，已知线段a,b.求作线段求作线段a和和b的比例中项。的比例中项。ab选作题：选作题：习题习题1.4已知：在已知：在RtRtABCABC中，中，ACB=90ACB=90，CDABCDAB于于D D， E E是是ACAC上一点，上一点，CFBECFBE于于F F，求证：，求证：BFDBFDBAEBAE。 证证 ACB=90 RtECB 中 CFBE 由射影定理得又ACB=90 CDAB, 又 FBD=ABE BFDBAE2022-7-1 谢 谢！