2022年2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 .pdf

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1、20XX 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 第一试一、选择题： （本题满分42 分，每小题7分）1已知2ba，4)1 ()1(22abba，则ab的值为（）A 1. B1. C21. D21. 【答】 B. 由4)1()1(22abba可得abbbaa4)1()1 (22，即04)(2)(3322abbababa，即222222()2()40ab

2、aabbab，即2240abab，所以1ab2已知ABC的两条高线的长分别为5 和 20, 若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（）A 5. B6. C7. D 8. 【答】 B. 设ABC的面积为S， 所求的第三条高线的长为h， 则三边长分别为hSSS2,202,52 显然20252SS，于是由三边关系，得,252202,522202hSSSShSS解得3204h所以h的最大整数值为6, 即第三条高线的长的最大值为6.3方程)2)(324(|1|2xx的解的个数为（）A 1 个B2 个C3 个D 4 个【答】 C. 当1| x时， 方程为)2)(324(12xx， 即0349)

3、324(2xx， 解得13x，243 3x，均满足1| x当1| x时 ， 方 程 为)2)(324(12xx， 即0347)324(2xx， 解 得332x，满足1| x综上，原方程有3 个解.4 今有长度分别为1，2， , ， 9 的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组” 的组数有（）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - A 5 组

4、. B7 组 .C9 组. D11 组. 【答】 C. 显然用这些线段去拼接成正方形，至少要 7 条当用 7 条线段去拼接成正方形时，有 3 条边每边都用 2 条线段连接， 而另一条边只用1 条线段， 其长度恰好等于其它3 条边中每两条线段的长度之和当用 8 条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等又因为45921，所以正方形的边长不大于45114由于4352617；5362718；546372819；64738291；65748392所以，组成边长为7、8、10、11 的正方形，各有一种方法；组成边长为9 的正方形，有5 种方法。故满足条件的“线段组”的组数为14 595

5、如图，菱形 ABCD 中，3AB，1DF，60DAB，15EFG，BCFG， 则AE（）A21. B6. C132. D31. 【答】D. 过 F 作 AB 的垂线，垂足为H60DAB，2FDADAF，30AFH，1AH，3FH，又15EFG，EFGAFHAFGEFH45153090，从而 FHE 是等腰直角三角形，所以HEFH 3，31HEAHAE6已知2111zyx，3111xzy，4111yxz，则zyx432的值为（）A1. B23. C2. D25. 【答】 C. 由已知等式得2zyxzxxy，3zyxxyyz，4zyxyzzx，所以29zyxzxyzxy于是，25zyxyz，23z

6、yxzx，21zyxxy所以35xy，3yz，35xy，即xyz53。代入2111zyx，得2153511xxx，解得1023x所以2523543532432xxxxzyxHGCBADFE名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 二、填空题： （本题满分28 分，每小题7分）1在 ABC 中，已知AB2，322, 2 ABBC，则A【答】15。延长 AB 到 D，使 BD BC，连线段CD，则12DBCD

7、ABCA，所以 CA CD。作ABCE于点 E，则 E 为 AD 的中点，故111()(22 32)23222AEDEADABBD，(22 3)(23)3BEABAE. 在 RtBCE 中，3cos2EBEBCBC，所以30EBC，故1521ABCA2二次函数cbxxy2的图象的顶点为D，与 x 轴正方向从左至右依次交于A，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若 ABD 和 OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点） ，则cb2【答 】 2由已知，得),0(cC，)0,24(2cbbA，)0,24(2cbbB，)44,2(2cbbD过 D 作ABDE于点 E， ， 则ABDE2， 即cbcb

8、444222， 得cbcb42422，所以042cb或242cb又042cb，所以242cb又OBOC，即242cbbc，得2422cbcb3能使2562n是完全平方数的正整数n 的值为【答】11. 当8n时，)21 (225628 nnn，若它是完全平方数，则n 必为偶数若2n， 则65225622n； 若4n， 则17225624n； 若6n， 则522 5 626n；若8n，则2225628n。所以，当8n时，2562n都不是完全平方数当8n时，)12(2256288nn，若它是完全平方数，则128n为一奇数的平方。设28)12(12kn（k 为自然数），则)1(210kkn由于k和1k

9、一奇一偶，所以1k，于是2210n，故11n4如图，已知AB 是 O 的直径，弦CD 与 AB 交于点 E，过点 A 作圆的切线与CD 的延长线交于20XX 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 3 页（共 8 页）DEBAC名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 点 F， 如果CEDE43，58AC， D 为 EF 的中点，则 AB【答】24. 设yAExCE,4，则xEFxDEDF6,3连

10、 AD ，BC因为AB 为 O 的直径， AF 为 O 的切线，所以DAFACDEAF,90又因为 D 为 RtAEF 的斜边 EF 的中点，DFDEDA，AFDDAF，AFDACD，58ACAF在 RtAEF 中，由勾股定理得222AFAEEF，即3203622yx设zBE，由相交弦定理得BEAEDECE，即21234xxxyz，yzy33202又DEAD，AEDDAE又BECAEDBCEDAE,，BECBCE，从而zBEBC在 RtACB 中，由勾股定理得222BCACAB，即22320)(zzy，32022yzy联立，解得16,8 zy所以24BEAEAB第二试（A）一、 （本题满分20

11、 分） 已知三个不同的实数cba,满足3cba，方程012axx和02cbxx有一个相同的实根，方程2x0 xa和02bcxx也有一个相同的实根求cba,的值解依次将题设中所给的四个方程编号为，设1x是方程和方程的一个相同的实根，则, 0, 01121121cbxxaxx两式相减，可解得bacx11,5 分设2x是方程和方程的一个相同的实根，则,0,0222222bcxxaxx两式相减，可解得12cbax。所以121xx,10 分又方程的两根之积等于1，于是2x也是方程的根，则01222axx。DFBOACE名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

12、精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 又0222axx，两式相减，得1) 1(2axa,15 分若1a，则方程无实根，所以1a，故12x于是1,2cba又3cba，解得3,2bc,20 分二（本题满分25 分） 如图， 在四边形ABCD 中， 已知60BAD，90ABC，120BCD，对角线BDAC,交于点S， 且SBDS2，P为AC的中点求证： （1）30PBD；（2）DCAD证明（1）由已知得90ADC，从而DCBA,四点共圆，AC为直径，P为该圆的圆心,5 分作BDPM于点M，

13、知M为BD的中点，所以BPM12BPD60A，从而30PBM,10 分（2）作BPSN于点N，则12SNSB又BDMBDMSBDS21,2，SNSBSBSBDMDSMS21232，,15 分RtPMSRtPNS，30NPSMPS，又PBPA，所以1152PABNPS，故DCADAC45，所以DCAD,25分三 （本题满分25 分） 已知pnm,为正整数，nm设(,0)Am，( ,0)B n，(0,)Cp，O 为坐标原点若90ACB，且)( 3222OCOBOAOCOBOA（1）证明：3pnm；（2）求图象经过CBA,三点的二次函数的解析式解（1）因为90ACB，ABOC，所以2OCOBOA，即

14、2pmn由)(3222OCOBOAOCOBOA，得)(3222pnmpnm,5分又)(2)(2222mpnpmnpnmpnm)(2)(22mpnpppnm)(2)(2pnmppnm)(pnmpnm，从而有3pnm，即3pnm,10分（2）由2pmn，3pnm知nm,是关于 x 的一元二次方程NMSDCPAB名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 0)3(22pxpx的两个不相等的正整数根，从而04)3(

15、22pp，解得31p。又p为正整数，故1p或2p,15 分当1p时，方程为0142xx，没有整数解当2p时，方程为0452xx，两根为4, 1 nm综合知：2,4, 1pnm,20 分设图象经过CBA,三点的二次函数的解析式为)4)(1(xxky，将点)2,0(C的坐标代入得)4(12k，解得21k所以，图象经过CBA,三点的二次函数的解析式为22321)4)(1(212xxxxy,25 分第二试（B）一 （本题满分20 分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二（本题满分25 分） 如图， 在四边形ABCD 中， 已知60BAD，90ABC，120BCD，对角线BDAC,交于点S，且DS2SB求

16、证：DCAD证明由已知得90ADC，从而DCBA,四点共圆，AC为直径设P为 AC 的中点，则P为四边形ABCD 的外接圆的圆心,5 分作BDPM于点M，则 M 为 BD 的中点 ,所以BPM12BPD60A，从而30PBM,10 分作BPSN于点N，则12SNSB又BDMBDMSBDS21,2，SNSBSBSBDMDSMS21232，,15分RtPMSRtPNS，30NPSMPS，又PBPA，所以1152PABNPS，所以DCADAC45，所以DCAD,25分三 （本题满分25 分） 已知pnm,为正整数，nm设(,0)Am，( ,0)B n，(0,)Cp，O 为坐NMSDCPAB名师归纳总

17、结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 标原点若90ACB，且2OA2OB2OC3(OAOBOC） 求图象经过CBA,三点的二次函数的解析式解因为90ACB，ABOC，所以2OCOBOA，即2pmn由)(3222OCOBOAOCOBOA，得)(3222pnmpnm,5分又)(2)(2222mpnpmnpnmpnm)(2)(22mpnpppnm)(2)(2pnmppnm)(pnmpnm，从而有3pnm，即3pnm,

18、10分又2pmn，故nm,是关于 x 的一元二次方程0)3(22pxpx的两个不相等的正整数根，从而04)3(22pp，解得31p。又p为正整数，故1p或2p,15分当1p时，方程为0142xx，没有整数解当2p时，方程为0452xx，两根为4, 1 nm综合知：2,4, 1pnm,20分设图象经过CBA,三点的二次函数的解析式为)4)(1(xxky，将点)2,0(C的坐标代入得)4(12k，解得21k所以，图象经过CBA,三点的二次函数的解析式为22321)4)(1(212xxxxy,25分第二试（C）一 （本题满分20 分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二 （本题满分25 分） 如图，已

19、知P为锐角ABC内一点，过P分别作ABACBC,的垂线，垂足分别为FED,，BM为ABC的平分线，MP的延长线交AB于点N如果PFPEPD，求证：CN是ACB的平分线名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 证明如图 1， 作BCMM1于点1M，ABMM2于点2M，BCNN1于点1N，ACNN2于点2N设NMNP，11/MMPDNN， 111MNDN,5分若11MMNN， 如图 2， 作1MMNH， 分别

20、交PDMM ,1于点1,HH， 则1NPHNMH，NMNPMHPH1，MHPH1，111NNMHHHPHPD11111)1()(NNMMNNNNMM若11MMNN，则1111)1 (NNMMMMNNPD若11MMNN，同理可证11)1(NNMMPD,15 分2/ NNPE，12NMPMNNPE，2)1 (NNPE2/MMPF，NMNPMMPF2，2MMPF,20 分又PFPEPD，2211)1()1(NNMMNNMM又因为BM是ABC的平分线，所以12MMMM，21)1()1(NNNN显然1，即01，21NNNN，CN是ACB的平分线,25分三 （本题满分25 分）题目和解答与（B）卷第三题相同. N2N1M1M2DEFNMCBAPH1HN1M1DNMP名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -