2022年2021届一轮复习人教版二项式定理学案 .pdf

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1、第 3 节二项式定理考试要求1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 知 识 梳 理1.二项式定理(1)二项式定理： (ab)nC0nanC1nan1b Crnanrbr Cnnbn(nN*)；(2)通项公式： Tr1Crnanrbr，它表示第 r1 项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n， Cnn. 2.二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即CknCnkn增减性二项式系数 Ckn当 kn12(nN*)时，是递增的当 kn12(nN*)时，是递减的二项式系数最大值当 n 为偶数时，中间

2、的一项2Cnn取得最大值当 n 为奇数时，中间的两项12Cnn与12Cnn取得最大值3.各二项式系数和(1)(ab)n展开式的各二项式系数和：C0nC1nC2n Cnn2n. (2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0nC2nC4nC1nC3nC5n 2n1. 微点提醒 (ab)n的展开式形式上的特点(1)项数为 n1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即 a 与 b 的指数的和为 n. (3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1 直到 n. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - -

3、- - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - (4)二项式的系数从 C0n，C1n，一直到 Cn1n，Cnn. 基 础 自 测1.判断下列结论正误 (在括号内打“”或“”) (1)Cknankbk是二项展开式的第k 项.() (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.() (3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b 无关.() (4)(ab)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同 .() 解析二项

4、式展开式中Cknankbk是第 k1 项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故 (1)(2)均不正确 . 答案(1)(2)(3)(4)2.(选修 23P31T4改编)(xy)n的二项展开式中，第m 项的系数是 () A.CmnB.Cm1nC.Cm1nD.(1)m1Cm1n解析(xy)n展开式中第 m项的系数为 Cm1n(1)m1. 答案D 3.(选修 23P35练习 A1(3)改编)C02 019C12 019C22 019 C2 0192 019C02 018C22 018C42 018 C2 0182 018的值为 () A.2 B.4 C.2 019 D.2 0182 019 解析

5、原式22 01922 0181224. 答案B 4.(2018 全国卷) x22x5的展开式中 x4的系数为 () A.10 B.20 C.40 D.80 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 解析Tr1Cr5(x2)5r2xrCr52rx103r，由 103r4，得 r2，所以 x4的系数为C252240. 答案C 5.(2019 东营调研 )已知(x1)10a1a2xa3x2 a11x10.若数

6、列 a1， a2， a3， ，ak(1k11，kN)是一个递增数列，则k 的最大值是 () A.5 B.6 C.7 D.8 解析由二项式定理知， anCn110(n1，2，3，11). 又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第6 项，所以 a6C510，则 k 的最大值为 6. 答案B 6.(2018 浙江卷 )二项式3x12x8的展开式的常数项是 _. 解析该二项展开式的通项公式为Tr1Cr8x8r312xrCr812rx84r3.令84r30， 解得 r2，所以所求常数项为C281227. 答案7 考点一通项公式及其应用多维探究角度 1求二项展开式中的特定项【例11】 (1)(2019

7、北京海淀区二模)(x21)1x25的展开式的常数项是() A.5 B.10 C.32 D.42 (2)3x123x10的展开式中所有的有理项为_. 解析(1)由于1x25的通项为 Cr51x5r (2)rCr5 (2)r xr52，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 故(x21)1x25的展开式的常数项是C15 (2)C55(2)542. (2)二项展开式的通项公式为Tk1Ck1012kx102k

8、3. 由题意102k3Z，且 0k10，kN. 令102k3r(rZ)，则 102k3r，k532r，kN，r 应为偶数 . r 可取 2，0，2，即 k 可取 2，5，8，第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为454x2，638，45256x2. 答案(1)D(2)454x2，638，45256x2规律方法求二项展开式中的特定项， 一般是化简通项公式后， 令字母的指数符合要求 (求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数 r1，代回通项公式即可 . 角度 2求二项展开式中特定项的系数【例 12】 (1)(多项式是积的形式 )(2017 全国卷) 11x2(1x

9、)6的展开式中 x2的系数为 () A.15 B.20 C.30 D.35 (2)(多项式是和的形式 )已知(1ax)3(1x)5的展开式中含 x3的系数为 2，则 a等于() A.23 B.2 C.2 D.1 (3)(三项展开式问题 )(x2xy)5的展开式中， x5y2的系数为 () A.10 B.20 C.30 D.60 解析(1)因为(1x)6的通项为 Cr6xr， 所以 11x2(1x)6展开式中含 x2的项为 1 C26x2和1x2 C46x4，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - -

10、- - - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 因为 C26C462C262652130，所以 11x2(1x)6展开式中 x2的系数为 30. (2)(1ax)3(1x)5的展开式中 x3的系数为 C33a3C35(1)3a3102， 则 a38，解得 a2. (3)法一(x2xy)5(x2x)y5，含 y2的项为 T3C25(x2x)3 y2. 其中(x2x)3中含 x5的项为 C13x4 xC13x5. 所以 x5y2的系数为 C25C1330. 法二(x2xy)5表示 5 个 x2xy 之积. x5y2可从其中 5 个因式中，两个取因式

11、中x2，剩余的 3 个因式中 1 个取 x，其余因式取 y，因此 x5y2的系数为 C25C13C2230. 答案(1)C(2)B(3)C 规律方法1.求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并，通常要用到方程或不等式的知识求解. 2.求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可. 3.三项展开式特定项： (1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项 (系数)问题的处理方法求解； (2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所

12、有可能情形. 【训练1】 (1)(2017 全国 卷改编 )(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为_. (2)在(13x)7xax6的展开式中，若 x2的系数为 19，则 a_. 解析(1)由二项式定理可得，展开式中含x3y3的项为x C35(2x)2(y)3y C25(2x)3(y)240 x3y3，则 x3y3的系数为 40. (2)(13x)7xax6的展开式中x2的系数为 C67(3x)6C16(x)5ax1C67x2C16x2a，则 aC16C6719，解得 a2. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资

13、料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 答案(1)40(2)2 考点二二项式系数与各项的系数问题【例 2】 (1)(ax)(1x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为32，则 a_. (2)(2019 汕头质检 )若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2 a9(x1)9，且(a0a2 a8)2(a1a3 a9)239，则实数 m 的值为 _. 解析(1)设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，令 x1，得 16(a1)a0a1a2a3a4a5，令 x1，得 0a0a1a2a3

14、a4a5.，得 16(a1)2(a1a3a5)，即展开式中 x 的奇数次幂的系数之和为a1a3a58(a1)，所以 8(a1)32，解得 a3. (2)令 x0，则(2m)9a0a1a2a9，令 x2，则 m9a0a1a2a3a9，又(a0a2a8)2(a1a3a9)2(a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39，(2m)9 m939，m(2m)3，m3 或 m1. 答案(1)3(2)1 或3 规律方法1.“赋值法 ”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n，(ax2bxc)m (a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法. 2.若 f(x)a0a1xa2x2a

15、nxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为 a0a2a4f(1)f(1)2，偶数项系数之和为a1a3a5f(1)f(1)2. 【训练 2】 (1)(2019 烟台模拟 )已知 x32xn的展开式的各项系数和为243，则展开式中 x7的系数为 () A.5 B.40 C.20 D.10 (2)(2018 湘潭三模 )若(1x)(12x)8a0a1x a9x9，xR，则 a1 2a2 22名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，

16、共 14 页 - - - - - - - - - a9 29的值为 () A.29B.291 C.39D.391 解析(1)由 x32xn的展开式的各项系数和为243，令 x1 得 3n243，即 n5， x32xn x32x5，则 Tr1Cr5 (x3)5r2xr2r Cr5 x154r，令 154r7，得 r2，展开式中 x7的系数为 22C2540. (2)(1x)(12x)8a0a1xa2x2a9x9，令 x0，得 a01；令 x2，得 a0a1 2a2 22a9 2939，a1 2a2 22a9 29391. 答案(1)B(2)D 考点三二项式系数的性质多维探究角度 1二项式系数的最

17、值问题【例 31】 (2019上海崇明区二模 )二项式3x13xn的展开式中只有第11 项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为() A.3 B.5 C.6 D.7 解析根据3x13xn的展开式中只有第11 项的二项式系数最大，得n20，3x13xn的展开式的通项为Tr1Cr20 ( 3x)20r13xr( 3)20r Cr20 x204r3，要使 x 的指数是整数，需r 是 3 的倍数， r0，3，6，9，12，15，18，x 的指数是整数的项共有7 项. 答案D 角度 2项的系数的最值问题【例 32】 已知(3xx2)2n的展开式的二项式系数和比(3x1)n的展开式的二项

18、式系数和大 992，则在 2x1x2n的展开式中，二项式系数最大的项为_，系数的绝对值最大的项为 _. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 解析由题意知， 22n2n992，即(2n32)(2n31)0，故 2n32，解得 n5.由二项式系数的性质知，2x1x10的展开式中第 6 项的二项式系数最大， 故二项式系数最大的项为T6C510(2x)51x58 064. 设第 k1 项的系数的绝对值最大

19、，则 Tk1Ck10 (2x)10k 1xk(1)kCk10 210k x102k，令Ck10 210kCk110 210k1，Ck10 210kCk110 210k1，得Ck102Ck110，2Ck10Ck110，即11k2k，2（k1）10k，解得83k113. kZ，k3. 故系数的绝对值最大的项是第4 项，T4C310 27 x415 360 x4. 答案8 06415 360 x4规律方法1.二项式系数最大项的确定方法：当n 为偶数时，展开式中第n21项的二项式系数最大， 最大值为2Cnn； 当 n 为奇数时，展开式中第n12项和第n32项的二项式系数最大，最大值为12Cnn或12C

20、nn. 2.二项展开式系数最大项的求法如求(abx)n(a，bR)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，An1，且第 k 项系数最大，应用AkAk1，AkAk1，从而解出 k 来，即得 . 【训练 3】 已知 m为正整数， (xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若 13a7b，则 m() A.5 B.6 C.7 D.8 解析由题意可知， aCm2m，bCm2m1. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -

21、 - - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 13a7b，13（2m）！m！m！7（2m1）！m！（m1）！，即1372m1m1，解得 m6. 答案B 思维升华 1.二项式定理及通项的应用(1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用.有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理. (2)运用二项式定理一定要牢记通项Tk1Cknankbk，注意(ab)n与(ba)n虽然相同，但用二项式定理展开后， 具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题 . (3)在通项 Tk1Cknankbk(n

22、N*)中，要注意有 nN*，kN，kn，即 k0，1，2，n. 2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0， 1. 易错防范 1.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C0n，C1n，Cnn，它只与各项的项数有关，而与a，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b 的值有关 . 2.切实理解 “常数项 ”“有理项 ”(字母指数为整数 )“系数最大的项 ”等概念 . 基础巩固题组(建议用时： 35 分钟) 一

23、、选择题1.已知 x1x7的展开式的第 4 项等于 5，则 x 等于() 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - A.17B.17C.7 D.7 解析由 T4C37x41x35，得 x17. 答案B 2.已知(1x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等， 则奇数项的二项式系数和为 () A.29B.210C.211D.212解析由题意， C3nC7n，解得 n10.则奇数项的二项式系数和

24、为2n129. 答案A 3.(2019 广州测试 )使 x212x3n(nN*)展开式中含有常数项的n的最小值是 () A.3 B.4 C.5 D.6 解析Tr1Crn(x2)nr12x3r12rCrnx2n5r，令 2n5r0，得 n52r，又 nN*，所以 n 的最小值是 5. 答案C 4.(2018 邯郸二模 )在x3xn的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则 x3的系数为 () A.15 B.45 C.135 D.405 解析令x3xn中 x 为 1，得各项系数和为4n，又展开式的各项的二项式系数和为 2n，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，4n2n64，解得 n

25、6，二项式的展开式的通项公式为Tr1Cr6 3r x632r，令 632r3，求得 r2，故展开式中 x3的系数为 C26 32135. 答案C 5.(2019 枣庄二模 )若(x2a) x1x10的展开式中 x6的系数为 30，则 a 等于() 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - A.13B.12C.1 D.2 解析x1x10展开式的通项公式为Tr1Cr10 x10r1xrCr10 x102r

26、，令 102r4，解得 r3，所以 x4项的系数为 C310，令 102r6，解得 r2，所以 x6项的系数为 C210，所以 (x2a) x1x10的展开式中 x6的系数为 C310aC21030，解得 a2. 答案D 6.(13x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，求|a0|a1|a2|a3|a4|a5|() A.1 024 B.243 C.32 D.24 解析令 x1 得 a0a1a2a3a4a5|a0|a1|a2|a3|a4|a5|1(3)5451 024. 答案A 7.已知 C0n2C1n22C2n23C3n 2nCnn729，则 C1nC2nC3n Cnn等于() A.

27、63 B.64 C.31 D.32 解析逆用二项式定理得C0n2C1n22C2n23C3n2nCnn(12)n3n729，即 3n36，所以 n6，所以 C1nC2nC3nCnn26C0n64163. 答案A 8.若(1xx2)na0a1xa2x2 a2nx2n，则 a0a2a4 a2n等于() A.2nB.3n12C.2n1D.3n12解析设 f(x)(1xx2)n，则 f(1)3na0a1a2a2n，f(1)1a0a1a2a3a2n，由得 2(a0a2a4a2n)f(1)f(1)，所以 a0a2a4a2nf(1)f(1)23n12. 答案D 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - -

28、- - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 二、填空题9.(2017 山东卷 )已知(13x)n的展开式中含有x2项的系数是 54，则 n_. 解析(13x)n的展开式的通项为Tr1Crn(3x)r，令 r2，得 T39C2nx2，由题意得 9C2n54，解得 n4. 答案4 10.(2018 石家庄调研 )(1x)n的二项展开式中，仅第6 项的系数最大，则n_. 解析(1x)n的二项展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以n216，n10. 答案

29、10 11.若将函数 f(x)x5表示为 f(x)a0a1(1x)a2(1x)2 a5(1x)5，其中a0，a1，a2， a5为实数，则 a3_(用数字作答 ). 解析f(x)x5(1x1)5，它的通项为 Tk1Ck5(1x)5k (1)k，令 5k3，则 k2，所以 T3C25(1x)3(1)210(1x)3，a310. 答案10 12. 2x1x15的展开式中常数项是 _(用数字作答 ). 解析2x1x152x1x15 (1) 2x1x5的展开式中通项公式： Tr1Cr5(1)5r2x1xr，其中 2x1xr的通项公式：Tk1Ckr(2x)rk1xk2rkCkrxr2k，令 r2k0，则

30、k0，r0；k1，r2；k2，r4. 因此常数项为 C05(1)5C25(1)32C12C45(1)22C24161. 答案161 能力提升题组名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - (建议用时： 15 分钟) 13.(2019 河南百校联盟模拟 )(32xx4)(2x1)6的展开式中，含x3项的系数为() A.600 B.360 C.600 D.360 解析由二项展开式的通项公式可知，展开式中含x

31、3项的系数为 3C3623(1)32C4622(1)4600. 答案C 14.在 1x1x2 01910的展开式中，含 x2项的系数为 () A.10 B.30 C.45 D.120 解析因为 1x1x2 01910 （1x）1x2 01910(1x)10C110(1x)91x2 019C10101x2 01910，所以 x2项只能在 (1x)10的展开式中，所以含x2的项为 C210 x2，系数为 C21045. 答案C 15.(2019安徽江南十校联考 )若(xy1)3(2xya)5的展开式中各项系数的和为 32，则该展开式中只含字母x 且 x 的次数为 1 的项的系数为 _(用数字作答)

32、. 解析令 xy1? (a1)532? a1，故原式 (xy1)3(2xy1)5x(y1)32x(1y)5，可知展开式中 x 的系数为 C13C33(1)3C1527. 答案7 16.设(1ax)2 018a0a1xa2x2 a2 018x2 018，若 a12a23a32 018a2 0182 018a(a0)，则实数 a_. 解析已知(1ax)2 018a0a1xa2x2a2 018x2 018，两边同时对 x 求导，得 2 018(1ax)2 017(a)a12a2x3a3x22 018a2 018x2 017，令 x1 得， 2 018a(1a)2 017a12a23a32 018a2

33、 0182 018a，又 a0，所以(1a)2 0171，即 1a1，故 a2. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 答案2 新高考创新预测17.(多填题 )已知（2x）71xa6x6a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0a1x，那么a0a_；a4_. 解析取 x0，则 27a0a，a0a128. 由已知可得 (2x)7(1x) a6x6a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0a1x，则C07x7a6x7，C17x6 2（a5a6）x6，C27x5 22（a4a5）x5，a61，a5a614，a4a5 84，a61，a515，a499.答案12899 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -