2022年新人教版七年级下册第六章实数全章教案 .pdf

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1、第六章实数6.1.1 平方根（第一课时）【教学目标】知识与技能 ：通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示；dfsk 过程与方法 ：通过生活中的实例，总结出算术平方根的概念，通过计算非负数的算术平方根，真正掌握算术平方根的意义。情感态度与价值观 ：通过学习算术平方根，认识数与人类生活的密切联系，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维，为学生以后学习无理数做好准备。教学重点 ：算术平方根的概念和求法。教学难点 ：算术平方根的求法。教具准备 : 三块大小相等的正方形纸片；学生计算器。教学方法 : 自主探究、启发引导、小组合作【教学过程】一、情境引入：问题：学校要

2、举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为225dm的正方形画布，画上自己得意的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？二、探索归纳：1. 探索：学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长为dm5。接下来教师可以再深入地引导此问题：如果正方形的面积分别是1、9、16、36、254，那么正方形的边长分别是多少呢？学生会求出边长分别是1、3、4、6、52，接下来教师可以引导性地提问：上面的问题它们有共同点吗？它们的本质是什么呢？这个问题学生可能总结不出来，教师需加以引导。上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。精选学习资料 - -

3、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页2. 归纳：算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于 a，即 x2=a 那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。算术平方根的表示方法：a 的算术平方根记为a ，读作“根号 a”或“二次很号 a” ，a 叫做被开方数。三、应用：例1、求下列各数的算术平方根：10064499710001.00解：因为,100102所以100的算术平方根是10，即10100；因为6449)87(2，所以6449的算术平方根是87，即876449；因为916)34( ,9169712，所以971的算术平方根是34

4、，即34916971；因为0001.001.02，所以0001.0的算术平方根是01.0，即01. 00001. 0；因为002，所以0的算术平方根是0，即00。注：根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算；求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求解；0 的算术平方根是 0。由此例题教师可以引导学生思考如下问题：你能求出 1, 36, 100的算术平方根吗？任意一个负数有算术平方根吗？归纳：一个正数的算术平方根有1 个；0 的算术平方根是 0；负数没有算术平方根。即：只有非负数有算术平方根，如果ax有意义，那么0,0 xa。注：0a且0a这一点对于初学者不太

5、容易理解，教师不要强求，可以在以后的教学中慢慢渗透。例2、求下列各式的值：（1）4（2）8149（3）2)11(（4）26分析：此题本质还是求几个非负数的算术平方根。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页解： （1）24（2）978149（3）1111)11(22（4）662例3、求下列各数的算术平方根：23342)10(6101解：(1) 因为932，所以3932；因为238644，所以86443；因为2210100)10(，所以10100)10(2；因为63101101，所以36101101。根据学生的学习能力和理

6、解能力可进行如下总结：1、由332，662，可得)0(2aaa2、由11)11(2，10)10(2，可得)0(2aaa教师需强调0a时对两种情况都成立。四、随堂练习：1、算术平方根等于本身的数有。2、求下列各式的值：1 ，259，25 ，2)7(3、求下列各数的算术平方根：0025.0，121，24，2)21(，16914、已知,011ba求ba2的值。五、课堂小结1、这节课学习了什么呢？ 2 、算术平方根的具体意义是怎么样的？ 3 、怎样求一个正数的算术平方根？六、布置作业七、教学反思精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 1

7、6 页6.1.2 平方根（第 2 课时）【教学目标】知识与技能 ：会用计算器求算术平方根；了解无限不循环小数的特点；会用算术平方根的知识解决实际问题。过程与方法 ：通过折纸认识第一个无理数2 ，并通过估计它的大小认识无限不循环小数的特点。用计算器计算算术平方根，使学生了解利用计算器可以求出任意一个正数的算术平方根，再通过一些特殊的例子找出一些数的算术平方根的规律，最后让学生感受算术平方根在实际生活中的应用。情感态度与价值观 ：通过探究2 的大小，培养学生的估算意识， 了解两个方向无限逼近的数学思想，并且锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。教学重点：认识无限不循环小数的特点，会估算

8、一些数的算术平方根。会用算术平方根的知识解决实际问题。教学难点：认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。教学方法 : 自主探究、启发引导、小组合作教学过程：一、通过实验引入 ：怎样用两个面积为1 的小正方形拼成一个面积为2 的大正方形？如图，把两个小正方形沿对角线剪开，将所得的4 个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为 2 的大正方形。你知道这个大正方形的边长是多少吗？设大正方形的边长为x，则22x，由算术平方根的意义可知2x，所以大正方形的边长为2。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页二、讨论2 的大小

9、：由上面的实验我们认识了2 ， 它的大小是多少呢？它所表示的数有什么特征呢？下面我们讨论2 的大小。因为,42, 112221222，所以12 2. 因为96.14.12，25.25.12，所以4 .12 5 .1。因为9881.141.12，0164.242.12，所以41.12 42.1因为999396.1414.12，002225.2415.12，所以414.12 415.1如此进行下去，我们发现它的小数位数无限，且小数部分不循环，像这样的数我们成为无限不循环小数。2 =41421356.1注：这种估算体现了两个方向向中间无限逼近的数学思想，学生第一次接触，不好理解，教师在讲解时速度要放

10、慢，可能需要讲两遍。2 =41421356.1，是个无限不循环小数，但是很抽象，没有办法全部表示出来它的大小，类似这样的数还有很多，比如7,5,3等，圆周率 也是一个无限不循环小数。三、用计算器求算术平方根：大多数计算器都有“”键，用它可以求出一个有理数的算术平方根或近似值。例1、用计算器求下列各式的值：3136)1(；2)2(（精确到)001.0解： （1）依次按键3136，显示： 56. 所以563136（2）依次按键2=，显示：414213562.1，这是一个近似值。所以.414.12注：不同品牌的计算器，按键的顺序可能有所不同。四、探索规律：（1）利用计算器计算，并将计算结果填在表中，

11、你发现了什么规律？0625.0625.025.65.62625625062500(2) 用计算器计算3 （结果保留 4 个有效数字）， 并利用你发现的规律写出03.0， 300 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页30000的近似值。你能根据3 的值求出30的值吗？学生通过计算器可求出（1）的答案，依次是：250, 1.79,25,91.7 ,5 .2,791.0 ,25.0。从运算结果可以发现，被开方数扩大或缩小100 倍时，它的算术平方根就扩大或缩小10 倍。由732. 13可得2.17330000,32.17

12、300,1732.003. 0， 由3的值不能求出30的值，因为规律是被开方数扩大或缩小100 倍时，它的算术平方根才扩大或缩小10 倍，而 3到 30 扩大的是 10 倍，所以不能由此规律求出。此题学生可独立完成。五、实际应用：例 1、小丽想用一块面积为2400cm的正方形纸片， 沿着边的方向裁出一块面积为2300cm的长方形纸片， 使它的长与宽之比为3：2，不知道能否裁出来， 正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。”你同意小明的说法吗？小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？分析：学生一般认为一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。通过计算和讲

13、解纠正这种错误的认识。解：设长方形纸片的长为xcm3，宽为xcm2。根据边长与面积的关系可得：30023xx，30062x，502x，50 x长方形纸片的长为cm503。因为5049，所以507，从而50321即长方形纸片的长应该大于cm21，而已知正方形纸片的边长只有cm20，这样长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长。答：不能同意小明的说法。小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片。六、随堂练习：1. 用计算器求下列各式的值：（1）1369（2）2036.101（3）5 （精确到01.0）2、估计大小：（1）140 与12（2）215与5 .03、已知414.12，求02. 0，00

14、02. 0，200，20000的值。七、课堂小结精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页八、布置作业九、教学反思6.1.3 平方根（ 第三课时）【教学目标】知识与技能了解平方根的概念，会用根号表示正数的平方根；了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根过程与方法通过学习平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维。通过对正数平方根特点的探究，了解平方根与算术平方根的区别和联系，体验类比、化归等问题解决数学思想方法的运用，提高学生对问题的迁移能力。情感、态度与价值观通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数

15、学与生活实际是紧密联系着的。通过探究活动培养动手能力和锻炼克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。教学重点 : 了解开方和乘方互为逆运算，弄懂平方根与算术平方根的区别和联系。教学难点 : 平方根与算术平方根的区别和联系。教学方法 : 自主探究、启发引导、小组合作教学过程一、情境导入如果一个数的平方等于9，这个数是多少？讨论：这样的数有两个，它们是3 和3. 注意932中括号的作用又如：2542x，则 x 等于多少呢？二、探索归纳：1、平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a 的平方根即：如果2x=a，那么 x 叫做 a 的平方根求一个数的平方根的运算，叫做开平方例如：3 的平

16、方等于 9，9 的平方根是3，所以平方与开平方互为逆运算2、观察：课本 P45的图 6.1-2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页图 6.1-2 中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质并根据这个关系说出1,4,9 的平方根例 4 求下列各数的平方根。（1） 100 （2）169（3） 0.25 3、按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：正数的平方根有什么特点？0 的平方根是多少？负数有平方根吗？一个是正数有两个平方根， 即正数进行开平方运算有两个结果，一个是负数没有平方根

17、，即负数不能进行开平方运算，符号：正数 a 的算术平方根可用a 表示；正数 a 的负的平方根可用-a 表示例 5 求下列各式的值。（1）144， （2）81.0， （3）196121（4）256 ，256归纳：平方根和算术平方根两者既有区别又有联系区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。三、练习课本 P50 练习 1、2、3 四、小结：1、什么叫做一个数的平方根？2、正数、 0、负数的平方根有什么规律？3、怎样求出一个数的平方根？数a 的平方怎样表示？五、作业教学反思6.2 立方根【教学目

18、标】知识与技能 ： 了解立方根的概念和表示方法，并会求一个数的立方根； 会用计算器求一个数的立方根。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页过程与方法 ：从具体的计算出发归纳出立方根的概念，然后讨论立方与开立方的关系，研究立方根的特征，最后介绍实用计算器求立方根的方法。情感态度与价值观：通过探索立方根的特征，培养学生独立思考和小组交流的能力；通过立方根与平方根的比较使学生学会类比学习的数学思想；通过探讨一个数的立方根与它的相反数的立方根的关系，可以将求负数的立方根转化为求正数的立方根的问题，培养学生的转化思想。教学重点：

19、 立方根的概念和求法教学难点： 立方根的求法。教学过程：一、情景引入 ：要制作一种容积为327m的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？二、探索归纳 ：1. 探索：设这种包装箱的边长为xm，则273x，这就是要求一个数，使它的立方等于27. 因为2733，所以3x，即这种包装箱的边长应为m3。2. 归纳： 立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做 a的立方根或三次方根。 立方根的表示方法：如果ax3，那么 x叫做 a的立方根。记作3ax，3a 读作三次根号 a。其中 a是被开方数， 3 是根指数，3a 中的根指数 3 不能省略。 开立方的概念：求一个数的立方根的运

20、算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，可以根据这种关系求一个数的立方根。3、探索立方根的特点：根据立方根的意义填空，思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？（1）因为823，所以 8 的立方根是（） ；（2）因为(125. 0)3，所以125. 0的立方根是（） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页（3）因为(0)3，所以 0 的立方根是（） ；（4）因为(8)3，所以8的立方根是（） ；（5）因为(278)3，所以278的立方根是（） 。学生独立完成后，教师要引导学生从正、负数和零三方面去归纳总结立方根的特点。

21、归纳：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0. 4. 探究互为相反数的两个数的立方根的关系：填空：因为38，38，所以38 38；因为327，327，所以327 327由上面两个例子可归纳出：一般地，33aa。注：这个关系对于正数、负数、零都成立。求负数的立方根时，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再确它的相反数。三、应用 ：例1、求下列各式的值：（1）364（2）3125（3）36427分析：根据立方根的意义求解。解： （1）4643（2）51253（3）4364273例2、求下列各式中 x的值：（1）008.03x（2）8333x（3）8) 1(3x分析：此题的本

22、质还是求立方根。解： （1）008.03x3008.0 x2.0 x（2）8333x8273x23x（3）8)1(3x21x3x例 3、用计算器计算3310 ，3610 ，3910 ，3310，3610的值，你发现了什么？并总结出来。利用你前面发现的规律填空：已知62163，则3000216.0，3216000。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页分析：在用计算器求立方根时按键顺序是：3、被开立方的数字、 =，这样即可显示出计算结果解：101033，2361010，3391010，1331010，2361010由此

23、发现：一个数扩大或缩小1000 倍时，它的立方根扩大或缩小10 倍。3000216.006.0，602160003。四、随堂练习 ：1、立方根等于本身的数是，如果,113aa则 a。2、64 的立方根是，3)4(的立方根是。3、已知163x的立方根是 4，求42x的算术平方根。4、已知43x，求33)10(x的值。5、比较大小：（1）32 .131.2， （2）332343， （3）337五、课堂小结1. 立方根和开立方的定义2. 正数、0、负数的立方根的特征3. 立方根与平方根的异同六、布置作业教学反思：6.3.1 实数（第一课时）【教学目标】知识与技能 ： 了解无理数和实数的概念以及实数的

24、分类； 知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。过程与方法：在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围，从而总结出实数的分类，接着把无理数在数轴上表示出来，从而得到实数与数轴上的点是一一对应的关系。情感态度与价值观：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页 通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用； 敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题。教学重点： 了解无理数和实数的概念； 对实数进行分类。教学难点 ：对无理数的认识。【教学过程】一、复习引入无理数：利用计算器把

25、下列有理数95,119,847,53, 3写成小数的形式，它们有什么特征？发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式即：5.095,18.0119,875.5847,6.053,0.33归纳：任何一个有理数（整数或分数）都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。通过前面的学习，我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数，把无限不循环小数叫做无理数。比如33,5,2等都是无理数。14159265.3也是无理数。二、实数及其分类：1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数。2、实数的分类：按照定义分类如下：实数数）无理数（无限不循

26、环小小数）（有限小数或无限循环分数整数有理数按照正负分类如下：实数负无理数负有理数负实数零负无理数正有理数正实数3、实数与数轴上点的关系：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页O A C B 我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示。物理是合乎是否也可以用数轴上的点表示出来吗？活动 1：直径为 1 个单位长度的圆其周长为 ，把这个圆放在数轴上，圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达另一个点，这个点的坐标就是，由此我们把无理数用数轴上的点表示了出来。活动 2：在数轴上，以一个单位长度为边长画一个正方形，则其

27、对角线的长度就是2 以原点为圆心， 正方形的对角线为半径画弧， 与正半轴的交点就表示2 ，与负半轴的交点就是2 。事实上通过这种做法，我们可以把每一个无理数都在数轴上表示出来，即数轴上有些点表示无理数。归纳：实数与数轴上的点是一一对应的。即没一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。三、应用：例 1、下列实数中，无理数有哪些？2 ，172，37.0，14.3，35 ，0，11121211211121.10，2)4(。解：无理数有：2 ，35 ，注：带根号的数不一定是无理数，比如2)4(，它其实

28、是有理数4；无限小数不一定是无理数，无限不循环小数一定是无理数。比如11121211211121.10。例 2、把无理数5 在数轴上表示出来。分析：类比2 的表示方法，我们需要构造出长度为5 的线段，从而以它为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示5 。解：如图所示，, 1, 2 ABOA由勾股定理可知：5OB, 以原点O为圆心，以OB长度为半径画弧，与数轴的正半轴交于点C, 则点C就表示5 。四、随堂练习：1、判断下列说法是否正确：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页有理数集合无理数集合无限小数都是无理数；无理数都是

29、无限小数；带根号的数都是无理数；所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数；所有实数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有的点都表示实数。2、把下列各数分别填在相应的集合里：,7221415926.3，7 ，8，32 ，6.0，0，36 ，3，313113111.0。3、比较下列各组实数的大小：（1）4，15（2），1416.3（3）23, 23（4）33,22五、课堂小结1、无理数、实数的意义及实数的分类. 2 、实数与数轴的对应关系 . 六、布置作业教学反思：6.3.2 实数（第二课时）【教学目标】知识与技能 ： 掌握实数的相反数和绝对值； 掌握实数的

30、运算律和运算性质. 过程与方法：通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，引出实数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，并通过例题和练习题加以巩固，适当加深对它们的认识。情感态度与价值观：通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围里也成立的意识，让学生了解在这种数的扩充中所体现的一致性，让学生充分感受数的不断发展。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页教学重点： 会求实数的相反数和绝对值； 会进行实数的加减法运算； 会进行实数的近似计算。教学难点：认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充。【教学过

31、程】一、复习引入：有理数的一些概念和运算性质运算律：1、相反数：有理数 a的相反数是a。2、绝对值：当 a0 时，aa，当 a0 时，aa。3、运算律和运算性质：有理数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0） 、乘方、非负数的开平方、任意数的开立方运算，有理数的运算中还有交换律、结合律、分配律。二、实数的运算 ：1. 实数的相反数：数 a的相反数是a。2. 一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0. 3、实数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0） 、乘方、非负实数的开方运算，还有任意实数的开立方运算，在进行实数的运算中，交换律、结合律、分配律等运算性质也

32、适用。三、应用：例 1、 （1）求364 的绝对值和相反数；（2）已知一个数的绝对值是3 ，求这个数。解： （1）因为4643，所以44643，4)4(643（2）因为33,33，所以绝对值为3的数是3或3 。例 2、计算下列各式的值：（1）2)23(；（2）3233。分析：运用加法的结合律和分配律。解： （1）303)2_2(32)23(；（2）353)23(3233精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页例 3、计算：（1）5（精确到01.0）（2）23（结果保留 3 个有效数字）解： （1）38.5142.323

33、6. 25；（2）45.2414.1732.123。四、随堂练习：1、计算：（1）2624；（2）)23(3；（3）3253；（4）23)54(198。2、计算：（1）322（精确到 0.01） ；（2）34225、（精确到十分位）。3、在平面内有四个点，它们的坐标分别是)2,2(),2,5(),22, 5(),22 ,2(DCBA。（1）依次连接DCBA、，围成的四边形是一个什么图形？（2）求这个四边形的面积。（3）将这个四边形向下平移2 个单位长度，四个顶点的坐标变为多少？五、课堂小结1、实数的运算法则及运算律。2、实数的相反数和绝对值的意义六、布置作业教学反思：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页