2022年2021届高考数学大一轮复习配套精品试题基本不等式 .pdf

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1、精品题库试题文数1.(安徽省合肥市2014 届高三第二次教学质量检测) 已知圆与圆相外切，则的最大值为（）A. B. C. D. 解析 1.由题意圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，由两圆外切知，即，所以，. 2.（江西省重点中学协作体2014 届高三第一次联考）“” 是 “” 的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 2.若，则，反之，若，则，得，所以是充要条件. 3. （天津市蓟县第二中学2014 届高三第一次模拟考试）若直线平分圆, 则的最小值是 ( ) A.1 B.5 C. D.名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - -

2、 - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 25 页 - - - - - - - - - 解析 3.由题意知圆心在直线上，所以，即，当且仅当取得等号 . 4.(天津市蓟县邦均中学2014 届高三第一次模拟考试) 下列四个命题中，真命题的序号有（写出所有真命题的序号） 若则“” 是“a b ” 成立的充分不必要条件； 当时，函数的最小值为2； 命题 “ 若，则” 的否命题是 “ 若” ； 函数在区间（ 1，2）上有且仅有一个零点解析 4. 中由 “可得，反之可能为 0，不成立，所以是充分不必要条件， 中基本不等式的等

3、号取不到，故 错误，否命题是将条件和揭露同时否定，或的否定为，故 正确，因为为增函数，且，所以在区间上有且仅有一个零点. 5.（河北衡水中学2014 届高三上学期第五次调研）在中，已知内角，边，则的面积的最大值为解析 5.，由余弦定理得，即，6.（吉林市普通高中20132014 学年度高中毕业班上学期期末复习检测）已知正数满足，使得取最小值的实数对是名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 25 页 - - - - - - - - - A(5，10

4、）B （6，6）C （10，5）D （7，2）解析 6.因为，所以，当且仅当时取得等号，代入中得7.(江西省七校2014 届高三上学期第一次联考) 下列说法： 命题 “ 存在” 的否定是 “ 对任意的” ； 关于的不等式恒成立，则的取值范围是； 函数为奇函数的充要条件是；其中正确的个数是（）A3 B2 C1 D0 解析 7. 正确，量词和结论同时否定； 错误，因为，所以 a 的范围为； 中为偶函数，要使为奇函数，则，为奇函数等价于，所以 正确8.(2014 年兰州市高三第一次诊断考试) 设, ， 若， 则的最大值为 ( ) A1B2C3D 4 解析 8.因为，所以，因为，所以，9.（成都市 2

5、014 届高中毕业班第一次诊断性检测）某种特色水果每年的上市时间从4 月 1号开始仅能持续5 个月的时间 上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下跌，后期价格在原有价格基础之上继续下跌若用函数f（x） x24x7 进行价格模拟（注x=0 表示 4 月 1 号，x=1 表示 5 月名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 25 页 - - - - - - - - - 1 号， ，以此类推，通过多年的统计发现，当函数，取得最大值时，拓展外销市场的效果最

6、为明显，则可以预测明年拓展外销市场的时间为（A）5 月 1 日（B）6 月 1 日（C）7 月 1 日（ D）8 月 1 日解析 9.依题意，设，当且仅当，即时取得最大值10.（广东省汕头市2014 届高三三月高考模拟）若(其中), 则的最小值等于解析 10. 因为，则，当且仅当，即时取等号，此时，. 11.(吉林省实验中学2014 届高三年级第一次模拟考试) 若直线被圆截得的弦长为4, 则的最小值是. 解析 11.由题意知圆的方程为，又因为直线被圆截得的弦长为4，所以直线经过圆心，即，所以，当且仅当时取得等号12.(山东省青岛市2014 届高三第一次模拟考试) 已知， 则的最小值 _; 解析

7、 12.因为，所以，当且仅当名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 25 页 - - - - - - - - - 时取等号 . 13.(江苏省苏、 锡、常、 镇四市 2014 届高三数学教学情况调查) 已知正数满足，则的最小值为解析 13.因为，而，所以当且仅当时取得等号 . 14.(山东省潍坊市2014 届高三 3月模拟考试 ) 已知 a b 0, ab=1， 则的最小值为解析 14.因为，所以，最小值为，当且仅当时取得等号 . 15.（上海市

8、嘉定区2013-2014 学年高三年级第一次质量检测）在平面直角坐标系中，动点到两条直线与的距离之积等于，则到原点距离的最小值为_解析 15.两条直线与垂直，设到的距离为，到的距离为，则，到原点的距离为，所以16. （ 天津七校联考高三数学（文）学科试卷） 函数的图象恒过定点, 且点在直线上，其中，则的最小值为 _ 解析 16.由题意知点M 的坐标为，所以，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 25 页 - - - - - - - - - 17

9、.（重庆南开中学高2014 级高三 1 月月考 ) 实数满足，则的最大值是。解析 17.由题意，设，则，所以，即，解得，18.(安徽省合肥市2014 届高三第二次教学质量检测) 已知椭圆 C：的右焦点为F （1，0) ，设左顶点为A，上顶点为B，且，如图所示（I）求椭圆C 的方程；(II）已知 M，N 为椭圆 C上两动点，且MN 的中点 H 在圆 x2y2=1上，求原点O 到直线 MN距离的最小值解析 18.（1）由已知，由，得因为，所以，得，所以，所以椭圆，（2）设，则，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - -

10、- - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 25 页 - - - - - - - - - 作差得，当时，所以，因为在圆上，所以，则原点到直线的距离为；当时，有，设直线的斜率为，则，即，且，所以，又直线的方程为，即，设原点到直线的距离为，则，当时，；当时， 因为， 所以的最小值为，则的最小值为，此时，由可知， 原点到直线距离的最小值为. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 25 页 - - - - - - - - - 1

11、9.(江西省红色六校2014 届高三第二次联考) 已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、构成等差数列() 求椭圆的方程；() 如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且， 求四边形面积的最大值解析 19.（1）依题意，设椭圆的方程为构成等差数列，又，椭圆的方程为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 25 页 - - - - - - - - - (2) 将直线的方程代入椭圆的方程中，得由直线与椭圆仅有一个公共点知，化简得：设，（

12、法一）当时，设直线的倾斜角为，则，当时，当时，四边形是矩形，所以四边形面积的最大值为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 25 页 - - - - - - - - - （法二），四边形的面积，当且仅当时，故所以四边形的面积的最大值为20. （ 福建省政和一中、周宁一中 2014 届高三第四次联考）某产品原来的成本为1000 元/件，售价为 1200 元/件，年销售量为1 万件。 由于市场饱和顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级。据市场调查

13、，若投入万元，每件产品的成本将降低元，在售价不变的情况下，年销售量将减少万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为（单位：万元） （纯利润 =每件的利润 年销售量 -投入的成本）求的函数解析式；求的最大值，以及取得最大值时的值解析 20.依题意，产品升级后，每件的成本为元，利润为元年销售量为万件， 来网 纯利润为，（万元）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 25 页 - - - - - - - - - ，等号当且仅当

14、，即（万元）21.(南京市、盐城市2014 届高三第一次模拟考试) （选做题）（在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题）A如图，是半径为的圆的两条弦，它们相交于的中点，若，求的长. B已知曲线：，若矩阵对应的变换将曲线变为曲线，求曲线的方程 . C在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），若直线与圆相切，求实数的值 . D已知，为正实数，若，求证：. 解析 21.A.为中点，又，由，得. B. 设曲线一点对应于曲线上一点，曲线的方程为. C.易求直线：， 圆：，依题意，有， 解得. 名师归纳总结 精品学习资料 - - -

15、- - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 25 页 - - - - - - - - - D.，. 22.(江西省七校2014 届高三上学期第一次联考) 已知=（cos ，sin ）, =（ cos , sin） ，与之间有关系 |k+ |=|k | ，其中 k 0，（1）用 k 表示; （2）求的最小值，并求此时的夹角的大小。解析 22.（1）已知 |ka+b|=|akb| ，两边平方，得|ka+b|2=(|a kb|) 2，k2a2+b2+2ka b=3(a2+k2b22ka b)

16、8k ab=(3 k2) a2+(3k2 1) b2，ab =a=(cos ，sin ), b=(cos , sin ) ，a2=1, b2=1, a b =（2）k2+1 2k ，即 =ab 的最小值为， 又a b =| a|b |cos，|a|=|b|=1=1 1 cos。=60 , 此时 a 与 b 的夹角为60 。23.(江西省七校2014 届高三上学期第一次联考) 在ABC中，内角 A，B，C所对边长分别为，. （1）求的最大值及的取值范围；（2）求函数的最大值和最小值. 解析 23.（）即又所以，即的最大值为16 ，即所以， 又 0所以 0（），因 0，所以，当即时，当即时，名师归

17、纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 25 页 - - - - - - - - - 24.（山东省济宁市2014 届高三上学期期末考试）如图，两个工厂A, B（视为两个点）相距2km，现要在以A, B为焦点，长轴长为4km 的椭圆上某一点P处建一幢办公楼据测算此办公楼受工厂A 的“ 噪音影响度 ” 与距离 AP成反比，办公楼受工厂B的“ 噪音影响度 ” 与距离BP也成反比，且比例系数都为1. 办公楼受A，B 两厂的 “ 总噪音影响度 ” y 是受

18、A, B两厂 “ 噪音影响度 ” 的和，设AP=（I）求 “ 总噪音影响度” y 关于 x的函数关系式；（II）当 AP为多少时， “ 总噪音影响度” 最小？解析 24.（1）由题意可知， ，所以，（2）解法一：，当且仅当，即时取等号，答：当为时， “ 总噪音影响度” 最小 . 解法二：由（ 1）得，答：当为时， “ 总噪音影响度 ” 最小. 25.(2014 年兰州市高三第一次诊断考试) 设椭圆的焦点分别为、，直线：交轴于点，且名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - -

19、- - 第 13 页，共 25 页 - - - - - - - - - （1）试求椭圆的方程；（2）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、四点（如图所示）试求四边形面积的最大值和最小值解析 25.（1）由题意，为的中点即：椭圆方程为（2）当直线与轴垂直时，此时，四边形的面积同理当与轴垂直时， 也有四边形的面积 当直线，均与轴不垂直时，设: ，代入消去得：设所以，所以，同理所以四边形的面积令因为当，且 S是以 u 为自变量的增函数，所以综上可知，故四边形面积的最大值为4，最小值为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料

20、- - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 25 页 - - - - - - - - - 26.(2014 年兰州市高三第一次诊断考试) 已知的三内角、 、 所对的边分别是， ，向量(cosB，cosC) ，(2a+c，b) ，且. （1）求角的大小；（2）若，求的范围解析 26.（1） m(cosB，cosC) ，n(2a+c， b) ，且 mn. cosB(2a+c) + b cosC=0 cosB(2sinA+sinC) + sinB cosC=0 2cosBsinA+cosBsinC+ sinB cosC=0 即 2cosBsinA=sin（B+C ）

21、 =sinA cosB=12 0B180B=120. （2）由余弦定理，得当且仅当时，取等号又答案和解析文数答案 1.C 解析 1.由题意圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 25 页 - - - - - - - - - ，由两圆外切知，即，所以，. 答案 2.1 解析 2.若，则，反之，若，则，得，所以是充要条件. 答案 3.D 解析 3.由题意知圆心在直线上，所以，即，当且仅当取得等号 . 答案 4.

22、 解析 4. 中由 “可得，反之可能为 0，不成立，所以是充分不必要条件， 中基本不等式的等号取不到，故 错误，否命题是将条件和揭露同时否定，或的否定为，故 正确，因为为增函数，且，所以在区间上有且仅有一个零点. 答案 5.解析 5.，由余弦定理得，即，答案 6.A 解析 6.因为，所以，当且仅当时取得等名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 25 页 - - - - - - - - - 号，代入中得答案 7.B 解析 7. 正确，量词和结论同

23、时否定； 错误，因为，所以 a 的范围为； 中为偶函数，要使为奇函数，则，为奇函数等价于，所以 正确答案 8.B 解析 8.因为，所以，因为，所以，答案 9.B 解析 9.依题意，设，当且仅当，即时取得最大值答案 10.解析 10. 因为，则，当且仅当，即时取等号，此时，. 答案 11.4 解析 11.由题意知圆的方程为，又因为直线被圆截得的弦长为4，所以直线经过圆心，即，所以，当且仅当时取得等号名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 25 页

24、 - - - - - - - - - 答案 12.6 解析 12.因为，所以，当且仅当时取等号 . 答案 13.9 解析 13.因为，而，所以当且仅当时取得等号 . 答案 14.解析 14.因为，所以，最小值为，当且仅当时取得等号 . 答案 15.解析 15.两条直线与垂直，设到的距离为，到的距离为，则，到原点的距离为，所以答案 16. 解析 16.由题意知点M 的坐标为，所以，答案 17.2 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 25 页

25、- - - - - - - - - 解析 17.由题意，设，则，所以，即，解得，答案 18.（答案详见解析）解析 18.（1）由已知，由，得因为，所以，得，所以，所以椭圆，（2）设，则，作差得，当时，所以，因为在圆上，所以，则原点到直线的距离为；当时，有，设直线的斜率为，则，即，且，所以，又直线的方程为，即，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 25 页 - - - - - - - - - 设原点到直线的距离为，则，当时，；当时， 因为， 所

26、以的最小值为，则的最小值为，此时，由可知， 原点到直线距离的最小值为. 答案 19.（答案详见解析）解析 19.（1）依题意，设椭圆的方程为构成等差数列，又，椭圆的方程为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 25 页 - - - - - - - - - (2) 将直线的方程代入椭圆的方程中，得由直线与椭圆仅有一个公共点知，化简得：设，（法一）当时，设直线的倾斜角为，则，当时，当时，四边形是矩形，所以四边形面积的最大值为名师归纳总结 精品学习资

27、料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 25 页 - - - - - - - - - （法二），四边形的面积，当且仅当时，故所以四边形的面积的最大值为答案 20.详见解析解析 20.依题意，产品升级后，每件的成本为元，利润为元年销售量为万件， 来网 纯利润为，（万元），等号当且仅当，即（万元）答案 21.详见解析解析 21.A.为中点，又，由，得. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - -

28、 - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 25 页 - - - - - - - - - B. 设曲线一点对应于曲线上一点，曲线的方程为. C.易求直线：， 圆：，依题意，有， 解得. D.，. 答案 22.详见解析解析 22.（1）已知 |ka+b|=|akb| ，两边平方，得|ka+b|2=(|a kb|) 2，k2a2+b2+2ka b=3(a2+k2b22ka b) 8k ab=(3 k2) a2+(3k2 1) b2，ab =a=(cos ，sin ), b=(cos , sin ) ，a2=1, b2=1, a b =（2）k2+1 2k ，即 =ab

29、的最小值为， 又a b =| a|b |cos，|a|=|b|=1=1 1 cos。=60 , 此时 a 与 b 的夹角为60 。答案 23.详见解析解析 23.（）即又所以，即的最大值为16 ，即所以， 又 0所以 0（），因 0，所以，当即时，当即时，答案 24.详见解析解析 24.（1）由题意可知， ，所以，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 25 页 - - - - - - - - - （2）解法一：，当且仅当，即时取等号，答：当为

30、时， “ 总噪音影响度” 最小 . 解法二：由（ 1）得，答：当为时， “ 总噪音影响度 ” 最小. 答案 25.详见解析解析 25.（1）由题意，为的中点即：椭圆方程为（2）当直线与轴垂直时，此时，四边形的面积同理当与轴垂直时， 也有四边形的面积 当直线，均与轴不垂直时，设: ，代入消去得：设所以，所以，同理所以四边形的面积令因为当，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 25 页 - - - - - - - - - 且 S是以 u 为自变量

31、的增函数，所以综上可知，故四边形面积的最大值为4，最小值为答案 26.详见解析解析 26.（1） m(cosB，cosC) ，n(2a+c， b) ，且 mn. cosB(2a+c) + b cosC=0 cosB(2sinA+sinC) + sinB cosC=0 2cosBsinA+cosBsinC+ sinB cosC=0 即 2cosBsinA=sin（B+C ） =sinA cosB=12 0B180B=120. （2）由余弦定理，得当且仅当时，取等号又名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 25 页 - - - - - - - - -