2022年2021-数二真题标准答案及解析 .pdf

《2022年2021-数二真题标准答案及解析 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年2021-数二真题标准答案及解析 .pdf（20页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2003 年考研数学（二）真题一、 填空题 （本题共 6 小题，每小题4 分，满分24 分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0 x时，1)1(412ax与xxsin是等价无穷小，则a=. （ 2）设 函 数y=f(x) 由 方 程4ln2yxxy所 确 定 ， 则 曲 线y=f(x) 在 点 (1,1) 处 的 切 线 方 程是. （3）xy2的麦克劳林公式中nx项的系数是 _.（4） 设曲线的极坐标方程为)0(aea，则该曲线上相应于从 0 变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为_.（5） 设为 3 维列向量，T是的转置 . 若111111111T，则T= .（6） 设三阶方阵A,B 满

2、足EBABA2，其中E 为三阶单位矩阵，若102020101A，则B_.二、选择题 （本题共 6 小题，每小题4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设,nnncba均为非负数列，且0limnna,1limnnb,nnclim,则必有(A) nnba对任意 n 成立 . (B) nncb对任意 n 成立 . (C) 极限nnncalim不存在 . (D) 极限nnncblim不存在 . （2） 设dxxxannnnn123101, 则极限nnnalim等于(A) 1)1(23e. (B) 1)1 (231e. (C) 1)

3、1(231e. (D) 1)1(23e. （3） 已知xxyln是微分方程)(yxxyy的解，则)(yx的表达式为（A）.22xy(B) .22xy名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - (C) .22yx(D) .22yx （4） 设函数 f(x) 在),(内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x) 有(A)一个极小值点和两个极大值点. (B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极

4、大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. y O x （5）设401tandxxxI,dxxxI402tan, 则(A) . 121II(B) .121II(C) .112II(D) .112II （6） 设向量组 I：r,21可由向量组II：s,21线性表示，则(A) 当sr时，向量组II 必线性相关 . (B) 当sr时，向量组II 必线性相关 . (C) 当sr时，向量组I 必线性相关 . (D) 当sr时，向量组I 必线性相关 . 三 、 （本题满分10 分）设函数,0,0,0,4sin1,6,arcsin)1ln()(23xxxxxaxxexxaxxfax问 a 为何值时， f

5、(x) 在 x=0 处连续； a 为何值时， x=0 是 f(x) 的可去间断点？四 、 （本题满分9 分）设函数 y=y(x) 由参数方程)1(,21ln2112tduueytxtu所确定，求.922xdxyd五 、 （本题满分9 分）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - 计算不定积分.)1(232arctandxxxex六 、 （本题满分12 分）设函数 y=y(x) 在),(内具有二阶导数，且

6、)(,0yxxy是 y=y(x) 的反函数 . (1) 试将 x=x(y) 所满足的微分方程0)(sin(322dydxxydyxd变换为 y=y(x) 满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(, 0)0(yy的解 . 七 、 （本题满分12 分）讨论曲线kxyln4与xxy4ln4的交点个数 . 八 、 （本题满分12 分）设位于第一象限的曲线y=f(x) 过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q，且线段 PQ 被 x 轴平分 . (1) 求曲线y=f(x) 的方程；(2) 已知曲线 y=sinx 在,0上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(

7、x) 的弧长 s. 九 、 （本题满分10 分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)(yyx绕 y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min/33m的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min/2m的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）. (1) 根据 t 时刻液面的面积，写出t 与)(y之间的关系式；(2) 求曲线)(yx的方程 . (注： m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.) 十 、 （本题满分10 分）设函数 f(x) 在闭区间 a,b上连续， 在开区间 (a,b)内可导， 且.0)(xf若极限axaxfax)2(lim存在，

8、 证明：(1)在(a,b)内 f(x)0; (2)在(a,b)内存在点，使)(2)(22fdxxfabba；(3) 在(a,b) 内存在与 (2)中相异的点，使badxxfaabf.)(2)(22名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - 十 一、 （本题满分10 分）若矩阵60028022aA相似于对角阵，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P 使.1APP十二、 （本题满分8 分）已知平面上三条不同直线的方

9、程分别为:1l032cbyax，:2l032acybx，:3l032baycx. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0cba名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - 2003年考研数学（二）真题评注一、填空题 （本题共 6 小题，每小题4 分，满分24 分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0 x时，1)1(412ax与xxsin是等价无穷小，则a=-4 . 【分析 】 根据等价无穷小量的定义，相

10、当于已知1sin)1 (lim4120 xxaxx，反过来求a. 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简. 【详解 】当0 x时，2412411)1(axax，2sinxxx. 于是，根据题设有14141limsin)1 (lim2204120axaxxxaxxx，故 a=-4. （ 2）设 函 数y=f(x) 由 方 程4ln2yxxy所 确 定 ， 则 曲 线 y=f(x) 在 点 (1,1) 处 的 切 线 方 程 是x-y=0 . 【分析 】 先求出在点 (1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可. 【详解 】等式4ln2yxxy两边直接对x 求导，得yyxy

11、xy342，将 x=1,y=1 代入上式，有.1)1(y故过点 (1,1)处的切线方程为) 1(11xy，即.0yx【评注 】本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点. （3）xy2的麦克劳林公式中nx项的系数是!)2( lnnn.【分析 】 本题相当于先求y=f(x) 在点 x=0 处的 n 阶导数值)0()(nf，则麦克劳林公式中nx项的系数是.!)0()(nfn【详解 】因为2ln2xy，2)2(ln2xy，nxxy)2(ln2,)(，于是有nny)2( ln)0()(，故麦克劳林公式中nx项的系数是.!)2(ln!)0()(nnynn【评注 】本题属常规题型，在一般教

12、材中都可找到答案. （4） 设曲线的极坐标方程为)0(aea，则该曲线上相应于从 0 变到2的一段弧与极轴所名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - 围成的图形的面积为)1(414 aea.【分析 】利用极坐标下的面积计算公式dS)(212即可 . 【详解 】所求面积为dedSa20220221)(21=20241aea)1(414 aea. 【评注 】 本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数

13、方程求面积，但计算过程比较复杂. （5） 设为 3 维列向量，T是的转置 . 若111111111T，则T= 3 .【分析 】本题的关键是矩阵T的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行） ，列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成. 【详解 】由111111111T=111111，知111，于是.3111111T【评注 】 一般地，若n 阶矩阵 A 的秩为 1，则必有.2121nnbbbaaaA（6） 设三阶方阵A,B 满足EBABA2， 其中 E 为三阶单位矩阵， 若102020101A， 则B21.【分析 】先化简分解出矩阵B，再取行列式即可. 【详解 】由

14、EBABA2知，EABEA)(2，即EABEAEA)(，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - 易知矩阵A+E 可逆，于是有.)(EBEA再两边取行列式，得1BEA，因为2002010100EA, 所以B21. 【评注 】 本题属基本题型，综合考查了矩阵运算与方阵的行列式，此类问题一般都应先化简再计算. 二、选择题 （本题共 6 小题，每小题4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符

15、合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设,nnncba均为非负数列，且0limnna,1limnnb,nnclim,则必有(A) nnba对任意 n 成立 . (B) nncb对任意 n 成立 . (C) 极限nnncalim不存在 . (D) 极限nnncblim不存在 . D 【分析 】本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B) ； 而极限nnncalim是0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限nnncblim属1型，必为无穷大量，即不存在. 【详解 】 用举反例法，取nan2，1nb，), 2, 1(21nncn，则可立即排

16、除(A),(B),(C) ，因此正确选项为 (D).【评注 】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. （2） 设dxxxannnnn123101, 则极限nnnalim等于(A) 1)1(23e. (B) 1)1 (231e. (C) 1)1(231e. (D) 1)1(23e. B 【分析 】 先用换元法计算积分，再求极限.【详解 】 因为dxxxannnnn123101=)1 (12310nnnnxdxn= 1)1(11)1 (1231023nnnnnnnxn，可见nnnalim=.1)1 ( 1)1(1lim23123ennnn名师归纳总结 精品学习资料 -

17、 - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - 【评注 】 本题属常规题型，综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点，但定积分和数列极限的计算均是最基础的问题，一般教材中均可找到其计算方法. （3） 已知xxyln是微分方程)(yxxyy的解，则)(yx的表达式为（A）.22xy(B) .22xy(C) .22yx(D) .22yx A 【分析 】 将xxyln代入微分方程， 再令的中间变量为u， 求出)(u的表达式， 进而可计算出)

18、(yx.【详解 】将xxyln代入微分方程)(yxxyy，得)(lnln1ln1ln2xxxx，即xx2ln1)(ln. 令 lnx=u ，有21)(uu，故)(yx=.22xy应选 (A). 【评注 】 本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性，但问题本身并不复杂，只要仔细计算应该可以找到正确选项.（4） 设函数 f(x) 在),(内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x) 有(D)一个极小值点和两个极大值点. (E)两个极小值点和一个极大值点. (F)两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. C y O x 【分析 】 答案与极值点个数有关，

19、而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4 个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定. 【详解 】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3 个，而x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0 左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0 为极大值点，故f(x) 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注 】 本题属新题型， 类似考题2001 年数学一、 二中曾出现过，当时考查的是已知f(x) 的图象去名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - -

20、- - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - 推导)(xf的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过.（5）设401tandxxxI,dxxxI402tan, 则(A) . 121II(B) .121II(C) .112II(D) .112II B 【分析 】 直接计算21,II是困难的，可应用不等式tanxx, x0. 【详解 】 因为当x0 时，有 tanxx，于是1tanxx，1tanxx，从而有4t a n401dxxxI，4tan402dxx

21、xI，可见有21II且42I，可排除 (A),(C),(D) ，故应选 (B). 【评注 】 本题没有必要去证明11I，因为用排除法，(A),(C),(D) 均不正确，剩下的(B) 一定为正确选项 . （6） 设向量组 I：r,21可由向量组II：s,21线性表示，则(A) 当sr时，向量组II 必线性相关 . (B) 当sr时，向量组II 必线性相关 . (C) 当sr时，向量组I 必线性相关 . (D) 当sr时，向量组I 必线性相关 . D 【分析 】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：r,21可由向量组II：s,21线性表示， 则当sr时，向量组 I 必线性相关

22、 . 或其逆否命题： 若向量组I：r,21可由向量组II ：s,21线性表示，且向量组I 线性无关，则必有sr. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案. 【详解 】 用排除法：如10,01,00211，则21100，但21,线性无关，排 除 (A) ；01,01,00121， 则21,可 由1线 性 表 示 ， 但1线 性 无 关 ， 排 除 (B) ；10,01,01211，1可由21,线性表示，但1线性无关，排除(C). 故正确选项为 (D). 【评注 】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，名师归纳总结 精品学习资料 -

23、- - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - 也可通过构造适当的反例找到正确选项. 三 、 （本题满分10 分）设函数,0,0,0,4sin1,6,arcsin)1ln()(23xxxxxaxxexxaxxfax问 a 为何值时， f(x) 在 x=0 处连续； a 为何值时， x=0 是 f(x) 的可去间断点？【分析 】 分段函数在分段点x=0 连续，要求既是左连续又是右连续，即).00()0()00(fff【详解 】xxaxxxax

24、xffxxxarcsinlimarcsin)1ln(lim)(lim)00(30300=113lim1113lim220220 xaxxaxxx=.6213lim220axaxx4sin1lim)(lim)00(200 xxaxxexffaxxx=.4222lim41lim420220axaxaexaxxeaxxaxx令)00()00(ff，有4262aa，得1a或2a. 当 a=-1 时，)0(6)(lim0fxfx，即 f(x)在 x=0 处连续 . 当 a=-2 时，)0(12)(lim0fxfx，因而 x=0 是 f(x) 的可去间断点 . 【评注 】 本题为基本题型，考查了极限、 连

25、续与间断等多个知识点，其中左右极限的计算有一定难度，在计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化. 四 、 （本题满分9 分）设函数 y=y(x) 由参数方程)1(,21ln2112tduueytxtu所确定，求.922xdxyd名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - 【分析 】 本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可. 注意当 x=9 时，可相应地确定参数t 的取值 . 【

26、详解 】由tetttedtdytln2122ln21ln21，tdtdx4，得,)ln21(24ln212tettetdtdxdtdydxdy所以dtdxdxdydtddxyd1)(22=ttte412)ln21(122=.)ln21(422tte当 x=9 时，由221tx及 t1 得 t=2, 故.)2ln21(16)ln21(42222922ettedxydtx五 、 （本题满分9 分）计算不定积分.)1(232arctandxxxex【分析 】 被积函数含有根号21x，典型地应作代换：x=tant, 或被积函数含有反三角函数arctanx，同样可考虑作变换：arctanx=t，即x=t

27、ant. 【详解 】 设txtan，则dxxxex232arctan)1(=tdtttet2232sec)tan1(tan=.sintdtet又tdetdtettcossin=)coscos(tdtetett=tdtetetetttsinsincos，故.)c o s( s i n21s i nCttet d tett因此dxxxex232arctan)1(=Cxxxex)111(2122arctan名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 20

28、 页 - - - - - - - - - =.12) 1(2arctanCxexx【评注 】本题也可用分布积分法：dxxxex232arctan)1(=xdexxarctan21=dxxexxexx232arctan2arctan)1(1=xxdexxxearctan22arctan111=dxxxexexxexxx232arctan2arctan2arctan)1 (11，移项整理得dxxxex232arctan)1(=.12) 1(2arctanCxexx本题的关键是含有反三角函数，作代换txarctan或 tant=x. 六 、 （本题满分12 分）设函数 y=y(x) 在),(内具有二

29、阶导数，且)(,0yxxy是 y=y(x) 的反函数 . (1) 试将 x=x(y) 所满足的微分方程0)(sin(322dydxxydyxd变换为 y=y(x) 满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(, 0)0(yy的解 . 【分析 】 将dydx转化为dxdy比较简单，dydx=ydxdy11，关键是应注意：)(22dydxdyddyxd=dydxydxd)1(=32)(1yyyyy. 然后再代入原方程化简即可. 【详解 】 (1) 由反函数的求导公式知ydydx1，于是有名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整

30、理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - )(22dydxdyddyxd=dydxydxd)1(=32)(1yyyyy. 代入原微分方程得.sin xyy( *) (2) 方程 ( * )所对应的齐次方程0yy的通解为.21xxeCeCY设方程 ( * )的特解为xBxAysincos*，代入方程 ( * )，求得21, 0 BA，故xysin21*，从而xyysin的通解是.sin2121*xeCeCyYyxx由23)0(, 0)0(yy，得1,121CC. 故所求初值问题的解为.s i

31、n21xeeyxx【评注 】 本题的核心是第一步方程变换. 七 、 （本题满分12 分）讨论曲线kxyln4与xxy4ln4的交点个数 . 【分析 】 问题等价于讨论方程04ln4ln4kxxx有几个不同的实根. 本题相当于一函数作图题，通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数（与x 轴交点的个数）. 【详解 】 设)(xkxxx4ln4ln4，y 则有.)1(ln4)(3xxxx4-k 不难看出， x=1 是)(x的驻点 . O 1 x 当10 x时，0)(x， 即)(x单调减少； 当 x1 时，0)(x， 即)(x单调增加，故k4)1 (为函数)(x的最小值 . 当 k0 时，0)(x无实

32、根，即两条曲线无交点；当 k=4，即 4-k=0 时，0)(x有唯一实根，即两条曲线只有一个交点；当 k4，即 4-k0; (3) 在(a,b)内存在点，使)(2)(22fdxxfabba；(3) 在(a,b) 内存在与 (2)中相异的点，使badxxfaabf.)(2)(22【 分析 】(1) 由axaxfax)2(lim存在知， f(a)=0, 利用单调性即可证明f(x)0. (2) 要证的结论显含f(a),f(b) ，应将要证的结论写为拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式进行证明. (3) 注意利用 (2)的结论证明即可 . 【详解 】 (1) 因为axaxfax)2(lim存在，故.0

33、)()2(limafaxfax又0)(xf，于是 f(x) 在(a,b)内单调增加，故).,(,0)()(baxafxf(2) 设 F(x)=2x,)()()(bxadttfxgxa, 则0)()(xfxg，故)(),(xgxF满足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内存在点，使xxabaaadttfxdttfdttfabagbgaFbF)()()()()()()()(222，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 20 页 - - - - -

34、 - - - - 即)(2)(22fdxxfabba. (3) 因)()()0()()(afffff，在,a上应用拉格朗日中值定理，知在),(a内存在一点，使)()(aff，从而由 (2) 的结论得)(2)(22afdxxfabba，即有badxxfaabf.)(2)(22【评注 】 证明 (3)，关键是用（2）的结论：badxxfaabf)(2)(22)(2)(22afdxxfabba)()(aff（ 根据 (2) 结论）)()()(afaff，可见对 f(x) 在区间,a上应用拉格朗日中值定理即可. 十 一、 （本题满分10 分）若矩阵60028022aA相似于对角阵，试确定常数a的值；并

35、求可逆矩阵P 使.1APP【分析 】 已知 A 相似于对角矩阵，应先求出A 的特征值，再根据特征值的重数与线性无关特征向量的个数相同，转化为特征矩阵的秩，进而确定参数a. 至于求 P，则是常识问题. 【详解 】 矩阵 A 的特征多项式为16)2)(6(600280222aAE=)2()6(2，故 A 的特征值为.2,6321由于 A 相似于对角矩阵，故对应621应有两个线性无关的特征向量，即2)6(3AEr，于是有.1)6(AEr名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - -

36、- - 第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - 由00000012000480246aaAE，知 a=0. 于是对应于621的两个线性无关的特征向量可取为1001，.0212当23时，0001000128000480242AE，解方程组,0,02321xxx得对应于23的特征向量.0213令001220110P，则 P 可逆，并有.1APP十二、 （本题满分8 分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l032cbyax，:2l032acybx，:3l032baycx. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0cba【分析 】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组

37、有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为 2. 【详解 】 方法一 ：必要性设三条直线321,lll交于一点，则线性方程组,32,32,32baycxacybxcbyax(*) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - 有唯一解，故系数矩阵accbbaA222与增广矩阵bacacbcbaA323232的秩均为2，于是.0A由于)(6323232222bcacabcbacbabacacbcbaA

38、=)()()(3222accbbacba, 但根据题设0)()()(222accbba，故. 0cba充分性：由0cba，则从必要性的证明可知，0A，故秩.3)(A由于)( 2)(22222bbaabaccbba =043)21(222bba，故秩 (A)=2. 于是，秩(A)= 秩)(A=2. 因此方程组 (*) 有唯一解，即三直线321,lll交于一点 .方法二 ：必要性设三直线交于一点),(00yx，则100yx为 Ax=0 的非零解，其中.323232bacacbcbaA于是0A. 而)(6323232222bcacabcbacbabacacbcbaA =)()()(3222accbb

39、acba, 但根据题设0)()()(222accbba，故名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - . 0cba充分性：考虑线性方程组,32,32,32baycxacybxcbyax(*) 将方程组 (*) 的三个方程相加，并由a+b+c=0 可知，方程组 (*) 等价于方程组.32,32acybxcbyax(* *) 因为)( 2)(22222bbaabaccbba =-0)(222baba, 故方程组 (* *)有唯一解，所以方程组(*) 有唯一解，即三直线321,lll交于一点 .【评注 】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - -