2022年2021量子力学期末考试试卷及答案集 .pdf

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1、1 量子力学试题集量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3 分共 36 分）1黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。2关于波函数 的含义，正确的是：B A. 代表微观粒子的几率密度；B. 归一化后，代表微观粒子出现的几率密度；C. 一定是实数；D. 一定不连续。3对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片；B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；D.每个光子以一定的

2、几率通过偏振片。4对于一维的薛定谔方程，如果是该方程的一个解，则：A A. 一定也是该方程的一个解；B. 一定不是该方程的解；C. 与一定等价；D.无任何结论。5对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹；B.粒子在势垒中有负的动能；C.粒子以一定的几率穿过势垒；D 粒子不能穿过势垒。6如果以l表示角动量算符，则对易运算,yxll为： B A. ihzl名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 30 页

3、- - - - - - - - - 2 B. ihzlC.ixlD.hxl7如果算符A、B对易，且A=A，则： B A. 一定不是B的本征态；B. 一定是B的本征态；C.一定是B的本征态；D. 一定是B的本征态。8如果一个力学量A与H对易，则意味着A：C A. 一定处于其本征态；B.一定不处于本征态；C.一定守恒；D.其本征值出现的几率会变化。9与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒；B.动量守恒；C.角动量守恒；D.宇称守恒。10如果已知氢原子的n=2 能级的能量值为 -3.4ev，则 n=5 能级能量为： D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D

4、. -0.544ev 11三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm，且 l=N-2n ，则在一确定的能量(N+23)h下，简并度为： B A. ) 1(21NN；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 30 页 - - - - - - - - - 3 B. )2)(1(21NN；C.N(N+1) ；D.(N+1)(n+2) 12判断自旋波函数)1 ()2()2()1 (21s是什么性质： C A. 自旋单态；B.自旋反对称态；C.自旋三态；D.

5、 z本征值为1. 二 填空题（每题4 分共 24 分）1如果已知氢原子的电子能量为eVnEn26 .13，则电子由n=5 跃迁到 n=4 能级时，发出的光子能量为：，光的波长为。2如果已知初始三维波函数)0 ,(r，不考虑波的归一化，则粒子的动量分布函数为)(p=，任意时刻的波函数为),(tr。3在一维势阱（或势垒）中，在 x=x0点波函数（连续或不连续），它的导数（连续或不连续）。4如果选用的函数空间基矢为n，则某波函数处于n态的几率用Dirac 符号表示为，某算符A在态中的平均值的表示为。5在量子力学中，波函数在算符操作下具有对称性，含义是，与对应的守恒量F一定是算符。6金属钠光谱的双线结

6、构是，产生的原因是。三计算题（ 40 分）1设粒子在一维无限深势阱中，该势阱为：V(x)=0, 当 0 x a，V(x)= ,当 x0, 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 30 页 - - - - - - - - - 4 求粒子的能量和波函数。(10 分) 2设一维粒子的初态为)/()0,(0hxipExpx，求),(tx。 （10 分）3计算z表象变换到x表象的变换矩阵。 （ 10 分）4 。4 个玻色子占据3 个单态1，2，3，把所有满

7、足对称性要求的态写出来。（10 分）B 卷一、 （共 25 分）1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4 分）2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6 分）3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4 分）4、在一维情况下，求宇称算符P?和坐标x的共同本征函数。 （6 分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t和能量E的测不准关系。（5 分）二、 （15 分）已知厄密算符BA?,?，满足1?22BA，且0?ABBA，求1、在 A 表象中算符A?、B?的矩阵表示；2、在 A 表象中算符B?的本征值和本征函数；3、从 A 表象到 B 表象的幺正

8、变换矩阵S。三、 （15 分）线性谐振子在0t时处于状态名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 30 页 - - - - - - - - - 5 )21exp(3231)0 ,(22xxx，其中，求1、在0t时体系能量的取值几率和平均值。2、0t时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值四、 （15 分）当为一小量时，利用微扰论求矩阵2330322021的本征值至的二次项，本征矢至的一次项。五、 （10分） 一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之

9、间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成? 一、 1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。3 、 全 同 玻 色 子 的 波 函 数 是 对 称 波 函 数 。 两 个 玻 色 子 组 成 的 全 同 粒 子 体 系 的 波 函 数 为 ：)()()()(2112212211qqqqS4、宇称算符P?和坐标x的对易关系是：PxxP?2,?，将其代

10、入测不准关系知，只有当0?Px时的状态才可能使P?和x同时具有确定值， 由)()(xx知， 波函数)(x满足上述要求， 所以)(x是算符P?和x的共同本征函数。5、设F?和G?的对易关系k?iF?G?G?F?，k是一个算符或普通的数。以F、G和k依次表示F?、G?和k在态中的平均值，令FF?F?，GG?G?，则有4222k)G?()F?(，这个关系式称为测不准关系。时间t和能量E之间的测不准关系为：2Et二、 1、由于1?2A，所以算符A?的本征值是1，因为在 A 表象中，算符A?的矩阵是对角矩阵，所以，在 A 表象中算符A?的矩阵是：1001)(?AA设在 A 表象中算符B?的矩阵是2221

11、1211)(?bbbbAB，利用0?ABBA得：02211bb；由名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 30 页 - - - - - - - - - 6 于1?2B，所以002112bb002112bb10012212112bbbb，21121bb；由于B?是厄密算符，BB?，0101212bb010*12*12bb*12121bb令ieb12， （为任意实常数）得B?在 A 表象中的矩阵表示式为：00)(?iieeAB2、在 A 表象中算符B

12、?的本征方程为：00iiee即iiee00iiee和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即0iiee0121对1有：121iBe，对1有：121iBe所以，在 A 表象中算符B?的本征值是1，本征函数为121ie和121ie3、从 A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符B?在 A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即1121iieeS三、解： 1、0t的情况：已知线谐振子的能量本征解为：)21(nEn)2, 1 ,0(n，)()exp(!2)(22xHxnxnnn当1 ,0n时有：)exp()(220 xx，)exp()(2)(221xxx于是0t时的波函数可写成：)(32)(31)

13、0,(10 xxx，容易验证它是归一化的波函数，于是0t时的能量取值几率为：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 30 页 - - - - - - - - - 7 31)0,21(0EW，32)0,23(1EW，能量取其他值的几率皆为零。能量的平均值为：67323110EEE2、0t时体系波函数)23exp()(32)2exp()(31),(10tixtixtx显然，哈密顿量为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间改变，故0t时体系能量的取值几率

14、和平均值与0t的结果完全相同。四、解：将矩阵改写成：HHH?023032020300020001能量的零级近似为：1)0(1E，2)0(2E，3)0(3E能量的一级修正为：0)1(1E，)1(2E，2)1(3E能量的二级修正为：2)0(3)0(1213)0(2)0(1212)2(14EEHEEHE，222)0(3)0(2223)0(1)0(2221)2(2594EEHEEHE，2)0(2)0(3232)0(1)0(3231)2(39EEHEEHE所以体系近似到二级的能量为：2141E，2252E，23923E先求出0?H属于本征值1、2 和 3 的本征函数分别为：001)0(1，010)0(2

15、，100)0(3，利 用 波 函 数 的 一 级 修 正 公 式)0()0()0()1(iikikkikEEH， 可 求 出 波 函 数 的 一 级 修 正 为 ：0102)1(1，302)1(2，0103)1(3名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 30 页 - - - - - - - - - 8 近似到一级的波函数为：0211，3122，1303五、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数。以iq表示第i)3 ,2, 1(i

16、个粒子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：（1）)()()(312111)1(qqqs； （2）)()()(322212)2(qqqs（3）)()()()()()()()()(311221312211322111)3(qqqqqqqqqCs；（4）)4(s)()()()()()()()()(113222322112312212qqqqqqqqqC一、 （20 分）已知氢原子在0t时处于状态213101122( ,0)( )( )( )010333xxxx其中，)(xn为该氢原子的第n个能量本征态。 求能量及自旋z分量的取值概率与平均值，写出0t时的波函数。解已知氢原子的本征值为4221

17、2neEnh，, 3,2, 1n（1）将0t时的波函数写成矩阵形式2311233( ,0)23xxxx（2）利用归一化条件232*2311221212233d3332312479999xxcxxxxxcc（3）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 30 页 - - - - - - - - - 9 于是，归一化后的波函数为232311121297733( ,0)72437xxxxxxx（4）能量的可能取值为123,EEE，相应的取值几率为1234

18、12,0;,0;,0777W EW EW E（5）能量平均值为123442241207774111211612717479504EEEEeehh（6）自旋z分量的可能取值为,22hh，相应的取值几率为1234,0;,0277727zzWsWshh（7）自旋z分量的平均值为340727214zshhh（8）0t时的波函数2233111i2iexpexp77( , )4iexp7xE txE tx txE thhh（9）二. （20分）质量为m的粒子在如下一维势阱中运动00VaxaxVxxV,00,0.0名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理

19、归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 30 页 - - - - - - - - - 10 若已知该粒子在此势阱中有一个能量20VE的状态，试确定此势阱的宽度a。解对于00EV的情况，三个区域中的波函数分别为xBxkxAxxexpsin0321（1）其中，EmVEmk2;)(20（2）利用波函数再0 x处的连接条件知，n，,2, 1 ,0n。在ax处，利用波函数及其一阶导数连续的条件aaaa3232（3）得到aBnkaAkaBnkaAexpcosexpsin（4）于是有kkatan（5）此即能量满足的超越方程。当012EV时，由于1tan

20、000mVmVamV（6）故40namV,3,2,1n（7）最后得到势阱的宽度名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 30 页 - - - - - - - - - 11 041mVna（8）三、 （20 分）证明如下关系式（1）任意角动量算符?jr满足?ijjjrrrh。证明对x分量有? ? ?=iyzzyxxjjj jj jjrrh同理可知，对y与z分量亦有相应的结果，故欲证之式成立。投影算符?npnn是一个厄米算符，其中，n是任意正交归一的

21、完备本征函数系。证明在任意的两个状态与之下，投影算符?np的矩阵元为?npnn而投影算符?np的共軛算符?np的矩阵元为*?nnnpppnnnnnn显然，两者的矩阵元是相同的，由与的任意性可知投影算符?np是厄米算符。利用*kkkxxxx证明?xmkxmnknkxpxp，其中，kx为任意正交归一完备本征函数系。证明名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 30 页 - - - - - - - - - 12 *?d?dd?dd?dd?dd?xmxn

22、mnmxnmnxmkknxkmkknxkmkxknkxpxxxpxxxxxxxpxxxxxxxpxxxxxxx pxxxxxxxpxxp四、 （20 分）在2L与zL表象中， 在轨道角动量量子数1l的子空间中， 分别计算算符?xL、?yL与?zL的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。解在2L与zL表象下，当轨道角动量量子数1l时，1,0,1m，显然，算符?xL、?yL与?zL皆为三维矩阵。由于在自身表象中，故?zL是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是有100?000001zL（1）相应的本征解为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

23、精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 30 页 - - - - - - - - - 13 1011;0000;100;01zzzLLLhh（2）对于算符?xL、?yL而言，需要用到升降算符，即1?21?2ixyLLLLLL（3）而?11,1Llml lm ml mh（4）当1,1,0,1lm时，显然，算符?xL、?yL的对角元皆为零，并且，?1, 11,11, 11,10?1,11, 11,11, 10 xyxyLLLL（5）只有当量子数m相差1时矩阵元才不为零，即?1, 11,01,01, 11,01,11,11,02i?1

24、,01, 11,11,02i?1, 11,01,01,12xxxxyyyyLLLLLLLLhhh（6）于是得到算符?xL、?yL的矩阵形式如下名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 30 页 - - - - - - - - - 14 0100i0?101 ;i0i220100i0 xyLLhh（7）yL?满足的本征方程为3213210i0i0i0i02cccccc（8）相应的久期方程为02i02i2i02i（9）将其化为023（10）得到三个本

25、征值分别为321;0;（11）将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为i2i21;10121;i2i21321（12）?xL满足的本征方程为1122330101012010cccccch（13）相应的久期方程为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 30 页 - - - - - - - - - 15 0202202hhhh（14）将其化为023（15）得到三个本征值分别为321;0;（16）将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为12311

26、11112;0;2222111（17）五、（20 分）由两个质量皆为、角频率皆为的线谐振子构成的体系，加上微扰项21?xxW（21, xx分别为两个线谐振子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。提示：线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为1,1,2121nmnmnnnxm式中，。解体系的哈密顿算符为WHH?0（1）其中212221222210?21?21?xxWxxppH（2）已知0?H的解为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

27、第 15 页，共 30 页 - - - - - - - - - 16 2121021,1xxxxnEnnnn（3）其中nfnnn, 3 ,2, 1,2 , 1 , 0,21（4）将前三个能量与波函数具体写出来00001020111011212110202212102220122231112;2,3,ExxExxxxExxxxxxhhh（5）对于基态而言，021nnn，10f，体系无简并。利用公式1,1,2121nmnmnmnnx（6）可知0?0010WE010000020?nfnnnnEEWWE（7）显然，求和号中不为零的矩阵元只有20232302?WW（8）于是得到基态能量的二级修正为322

28、42020020841EEE（9）第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 30 页 - - - - - - - - - 17 0123332312312222113121211EWWWWEWWWWEW（10）其中112233122113312332202WWWWWWWWW（11）将上式代入（ 10）式得到12212212220200222EEE（12）整理之，12E满足23112240EE（13

29、）于是得到第二激发态能量的一级修正为21231222121;0;EEE（14）1. 微观粒子具有波粒二象性。2德布罗意关系是粒子能量E、动量 P 与频率、波长之间的关系，其表达式为：E=h, p=/h。3根据波函数的统计解释，dxtx2),(的物理意义为：粒子在xdx 范围内的几率。4量子力学中力学量用厄米算符表示。5坐标的x分量算符和动量的x分量算符xp的对易关系为：, x pih。6 量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数(x) 所描写的状态时， 测量某力学量F 所得的数值，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资

30、料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 30 页 - - - - - - - - - 18 必定是算符F?的 本征值。7定态波函数的形式为：tEinnextx)(),(。8一个力学量A为守恒量的条件是：A不显含时间，且与哈密顿算符对易。9根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_, 玻色子体系的波函数是_对称的 _ _。10每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为：2。1、 （10 分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：2、 （10 分）由 Sch

31、r?dinger 方程zyxLiLL?,?,?,?zxyzyxpxpzpzpyLL?,?,?zxyzxzpxpzpzpxpzpy?,?,?,?,?zyxyzzxzpxpzpzpzpxpypzpy?,?,?zyxzpxpzpzpyyzzyzxxzppxzpxpzppzypzpy?,?,?,?,?yzxzppxzpzpy?,?,?yzyzxzxzppxzppzxpzpyppyz?,?,?,?,?yxpixpiy?)(?)(?xypypxizLi?名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - -

32、- - - - - 第 18 页，共 30 页 - - - - - - - - - 19 证明几率守恒：其中几率密度几率流密度证明：考虑 Schr ?dinger 方程及其共轭式：在空间闭区域中将上式积分，则有：1、 （10 分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),(11211021YrRYrRr求氢原子能量E、角动量平方L2、角动量 Z 分量 LZ的可能值及这些可能值出现的几率。2|),(|),(),(),(trtrtrtr22( , )( )( , )2ir tV rr tthrrrh0?Jt2iJ22(1)2iVthh22(2)2iVthh(1)(2)将式得：2222titi

33、22?）（tidddtdi22?）（diddtd2?）（dJdtrdtd?),(0?Jt名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 30 页 - - - - - - - - - 20 解：在此状态中，氢原子能量有确定值22222282sseneE)2(n，几率为 1 角动量平方有确定值为2222)1(L)1(，几率为 1 角动量 Z 分量的可能值为01ZL2ZL其相应的几率分别为41，432、 （10 分）求角动量z 分量的本征值和本征函数。解：波

34、函数单值条件，要求当转过 2 角回到原位时波函数值相等，即：?zdLidh归一化系数。是积分常数，亦可看成其中解得：ccelddiLzilzz)()()()(?)2()()2(zizillcece12zile, 2, 1, 022mmlz于是,2,1,0mmlz名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 30 页 - - - - - - - - - 21 求归一化系数最后，得 Lz的本征函数3、 （20 分）某量子体系Hamilton量的矩阵形式为

35、：设 c 1 ，应用微扰论求H本征值到二级近似。解： c 1 ，可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为：H0 是对角矩阵，是Hamilton H0在自身表象中的形式。所以能量的 0 级近似为：E1(0) = 1 E2(0) = 3 E3(0) = -2由非简并微扰公式cccHH0000002000300010)0()0(2)2()1(|knknnknnnnEEHEHEcHEHEHE33)1(322)1(211)1(1002000301cccH2112|2202220ccdcd,2,1,021)(memlimmz名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - -

36、- - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 30 页 - - - - - - - - - 22 得能量一级修正：能量二级修正为：二级近似下能量本征值为：量子力学期末试题及答案（B）一、填空题 ：1、 波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。2、 | （r,t）|2 的物理意义：t 时刻粒子出现在r 处的概率密度。3、 一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。4、 两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。二、简答题：1、 简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观

37、测值就是在该状态下的平均值，量子力学中， 可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述， 在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。2、 一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？答：不确切。 针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。3、 辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率221)0(3)0

38、(1231)0(2)0(1221)0()0(121)2(1|cEEHEEHEEHEkknk221)0(3)0(2232)0(1)0(2212)0()0(222)2(2|cEEHEEHEEHEkknk0|)0(2)0(3223)0(1)0(3213)0()0(323)2(3EEHEEHEEHEkknkcEcEcE231322122211名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 30 页 - - - - - - - - - 23 和跃迁的速度；谱线强

39、度取决于始末态的能量差。三、证明题。2、证明概率流密度J 不显含时间。四、计算题。1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 30 页 - - - - - - - - - 24 第二题：如果类氢原子的核不是点电荷， 而是半径为0r、 电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。解：这种分布只对0rr的区域有影响，对0rr的区域无影响。据题意知)()(?0rUrUH其中)(0rU是不考虑这种效应的势能分布，即2004zeUrr（

40、 ）)(rU为考虑这种效应后的势能分布，在0rr区域，rZerU024)(在0rr区域，)(rU可由下式得出，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 30 页 - - - - - - - - - 25 rEdrerU)()(4)(,4344102003003303420rrrZerrrrZerrZerE00)(rrrEdreEdrerU002023002144rrrdrrZerdrrZe)3(84)(822030020022203002rrrZ

41、erZerrrZe)(0rr)(0)(4)3(8)()(?000222030020rrrrrZerrrZerUrUH由于0r很小，所以)(2?022)0(rUHH，可视为一种微扰，由它引起一级修正为（基态03(0)1/210030()ZraZea）dHE)0(1*)0(1)1(1?0002202220300230344)3(8rraZdrrerZerrrZeaZ0ar，故102raZe。00030024042203030024)1(1)3(2rrrdraeZdrrrrraeZE2030024505030300242)5(2raeZrrraeZ名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - -

42、- - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 30 页 - - - - - - - - - 26 203002410raeZ20302452raeZs第三题其相应的久期方程：即：由归一化条件得：6.2求自旋角动量在任意方向n)cos,cos,(cos的投影?nS的本征值和本征函数。解：在zS?表象，nS?的矩阵元为cos10012cos002cos01102?iiSncoscoscoscoscoscos2iiSn0cos2)cos(cos2)cos(cos2cos2ii0)cos(cos4cos422

43、22220422)1coscoscos(222利用2所以nS?的本征值为2。设对应于2nS的本征函数的矩阵表示为baSn)(21，则babaii2coscoscoscoscoscos2biac)cos(coscos1coscosib22*),(12121bababa1cos1coscos222aia1cos122a名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 30 页 - - - - - - - - - 27 量子力学期末试题及答案 (C) 一、填空

44、题1、黑体辐射揭示了经典物理学的局限性。2、索末非提出的广义量子化条件是pdqnh?3、一粒子有波函数由1,2ipxx tc p t edphh描写，则,c p t= 1,2ipxx t edxhh4、粒子在势场U(r) 中运动，则粒子的哈密顿算符为222HUrmh5、量子力学中，态和力学量的具体表示方式称为表象。6、氢原子的一级斯塔克效应中，对于n=2 的能级由原来的一个能级分裂为个子能级。取2cos1a，得)cos1(2coscosib121 cos2()coscos2(1 cos )nSi2121)cos1(2coscos2cos110)cos1(2coscos012cos1)(21ii

45、Sn同理可求得对应于2nS的本征函数为)cos1(2coscos2cos1)(21iSn名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 27 页，共 30 页 - - - - - - - - - 28 7、1925 年，乌论贝克（Uhlenbeck）和歌德斯密脱（Goudsmit）提出每个电子具有自旋角动量 S，它在任何方向的投影只能取两个数值，即2zSh8、Pauli 算符 yz的反对易关系式是 0yzzy9、如果全同粒子体系的波函数是反对称的，则组成该体系的全同

46、粒子一定是费米子10、在两个电子的对称自旋态1S中，$2Su r的本征值是22h二、选择题6、么正矩阵S 的定义是为（）ASSBSSCSSDSS7、在 与 时 间 有 关 的 微 扰 理 论 问 题 中 ， 体 系 的 哈 密 顿 算 符 由 两 部 分 组 成 ， 即?0H tHH，其中0H和?H，应满足的条件是（ ）A0H与时间无关，?H，与时间无关B0H与时间无关，?H，与时间有关C0H与时间有关，?H，与时间有关D0H与时间有关，?H，与时间无关8、自旋量子数S的值为（）A 1/4 B 3/4 C /2 D 1/2 9、Pauli 算符的 x 分量的平方2的本征值为（ ）A 0 B 1

47、 C i D 2i 10、电子自旋角动量的幺分量，算符S幺表象中的矩阵表示为（ ）A?10012Sh幺B?01102Sh幺C?10012Sh幺D?10012iSh幺三、证明题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 28 页，共 30 页 - - - - - - - - - 29 、若体系的归一化波函数形式为: 1212,expexpiix txE txE tEEhh求系统的几率分布，并证明它并不处于定态。证明：、证明厄米算符的本征值为实数。、定义?12xyi

48、，证明?,幺四、计算题1、求在一维势场,0,xaxaUxp中运动的粒子的能级。解：对于宽度为的对称一维无限深方势肼,0,xaxaUxp在阱内体系满足的定态薛定谔方程是2222dEm dxhxa为方便起见，引入符号1222mEh则上式可简写为2220,dxadx它的解是：sincosAxBx，xa将0a名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 29 页，共 30 页 - - - - - - - - - 30 代入上式有：,1,2,3.2nan同时综合式得2222

49、,8nnEnmah正整数2、设一体系未微扰作用时只有两个能级0102EE及，其中0102EE，现在受到微扰?H，的作用，微扰矩阵为?,baHab，且，都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。解：将?,baHab代入能量修正公式，得到一级修正11,111222,EHb EEb和二级修正22,22211222120000010202011221,HHaaEEEEEEEEEE因此能量的二级修正值为2210120201020201,aaEEbEEbEEEE3、设处于无限深的势肼中的粒子的态为42,0cossin0 xxx txaaap试求： （）测量粒子的能量的可能值和相应的几率；（）能量的平均值。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 30 页，共 30 页 - - - - - - - - -