2022年智能控制讲义第三章模糊控制的数学基础 .pdf

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1、学而不思则惘，思而不学则殆第 3 章模糊控制的数学基础3.1 概述模糊数学为模糊系统与模糊控制的发展提供了起点和基本语言。模糊数学本身就是一个巨大的领域， 其原理是由用模糊集合的概念取代经典数学理论中的集合概念而发展来的。按照这种方式，所有的经典数学分支都可以被“模糊化”，于是诞生了模糊测度理论、模糊拓扑、模糊算数和模糊分析等等分支。显然，模糊数学中仅有一部分可以应用到工程中去。本章仅仅介绍后续模糊控制器设计中所用到的相关内容。在现实生活中， 人们接触过很多概念。 任何一个概念都有着其内涵和外延。 概念的内涵是这一概念的本质属性，而概念的外延是指符合这一概念的对象范围。当我们谈论某一个概念的外

2、延时， 总离不开一定的讨论范围。如我们讨论 “工业控制计算机”这一概念时，自然我们不会去考虑那些风马牛不相及的事物，如汽车、机床或老鼠、 大象等。我们讨论的这个范围称为 “论域” ，论域中的每个对象称为“元素” 。而具有某些特定属性的元素的全体构成了该论域上的一个集合。对于这些明确的概念，我们可以用德国数学家康托(Contor Georg, 1845-1918)提出的经典集合来表示。 对于这种具有明确外延的概念，即对于一个具体的对象来说， 它要么属于这个概念的范围， 要么不属于这个概念的范围。 集合的特征函数描述了这个明确的外延。然而，在现实生活中，有许多问题不能用Contor集合来描述， 即

3、，这些概念没有明确的外延。 这种没有明确外延的概念我们称之为模糊概念。如，青年人、老年人、高个子、好人等概念。1965 年美国自动控制理论专家L.A.Zadeh 提出了模糊集合理论， 解决了对这类概念的描述。模糊集合理论将Contor 集合论中的概念拓展，即，把特征函数的取值范围从 0，1扩充到 0，1，不再把论域中的某个对象说成是属于这个集合还是不属于这个集合，而是说某个对象隶属于这个集合的程度是多少。A u a b 1 图 3-1 Contor 集合的特征函0 A(u) 图 3-2 模糊集合的特征函数A(u) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

4、- - -第 1 页，共 25 页学而不思则惘，思而不学则殆3.2 普通集合及其运算性质一、集合的基本概念表 3-1 给出了普通集合的最基本概念。表 3-1 集合的基本概念1 论域由被考虑对象的所有元素的全体组成的基本集合称为论域，用大写字母 U、E 等表示。2 元素论域中的每个对象，称为元素，用小写字母a、b 等表示。3 集合给定一个论域，其中具有某种共同属性的、确定的、彼此间可以区别的元素的全体称为集合。它是指具有同一本质属性的全体事物的总和，用大写字母A、B 等表示。对于论域U 中的元素a 及任意一个集合A，它们的关系只有两种，属于与不属于，表示为Aa，或Aa。4 空集集合中不包含任何元

5、素，这样的集合称为空集，表示为。5 全集集合中包含论域里的全部元素，这样的集合称为全集，表示为E。6 包含设 A、B 是论域 U 的两个集合，若BxAx，则称集合B 包含集合 A，表示为AB，或称 A 包含于 B，表示为BA。7 相等设 A、B 是论域U 的两个集合，若BA与AB同时成立，则称A=B，表示为BA。8 子集设 A、B 是论域 U 的两个集合，若集合B 中的所有元素是由集合A 中的部分元素或全部元素组成，则称集合 B 是集合 A 的子集。 表示为AB或BA。空集是任意集合的子集。9 幂集给定集合A，以它的全体子集为元素组成的集合称为A 的幂集。表示为 P（A） ，即， P（A）=

6、B 是 A 的子集 。10 并集设有任意两个集合A 和集合 B，若集合 C 是由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，则C 称为 A 和 B 的并集。表示为：BA，并被定义为：BAC)()(BxAxx。11 交集设有任意两个集合A 和集合 B，若集合 C 是由同时属于集合A 和集合B 的元素组成的集合，则C 称为 A 和 B 的交集。表示为：BA，并被定义为：BAC)()(BxAxx。12 补集设集合 A 为论域 E 上的一个集合， 由论域 E 中不属于A 的所有元素组成 的 集 合 称 为A的 补 集 。 表 示 为 ：cA。 定 义 为 ：)()(ExAxxAEAc。精选学习资料 -

7、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 25 页学而不思则惘，思而不学则殆幂集举例：设集合 A=3，6，8，求其对应的幂集。解：根据幂集的定义，可知集合A 的幂集为P（A）= ，3 ，6 ，8 ，3 ，6，3，8 ，6，8，3，6，8 ，即集合 A 的幂集有 8 个元素。二、集合的运算性质设集合 A、B、C? E，其交、并、补运算具有如下性质：表 3-2 集合运算性质1 幂等律：A A=A， AA=A；2 交换律：AB= BA， AB= B A；3 结合律：（AB） C=A（ BC） ， （A B） C=A （B C） ；4 分配律：A（ B

8、C）=（AB） （AC） ，A（BC） =（AB）（ A C） ；5 同一律：A =，A=A，AE=A，AE=E；6 吸收律：A（ B A）=A，A （BA）=A；7 互补律：A Ac=，AAc=E；8 还原律：（Ac）c=A；9 对偶律：（AB）c=A cB c， （A B）c=A c B c。三、集合的表示方法下面给出集合常用的表示方法。1 列举法当集合中的元素个数为有限时，可将其中的元素一一列出，例如：A= a, b, c, d ，表示集合 A 由 4 个元素构成。2 描述法当集合中的元素数目为无限时，可通过元素的定义来表示集合。例如：A= x | p(x) ，（3-1）表示由满足 p(

9、x)的所有 x构成集合 A。3 特征函数法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 25 页学而不思则惘，思而不学则殆设 A 是论域 U 上的集合，记AxAxxA when , 1 when , 0)(（3-2）为集合 A 的特征函数。4 文氏图法用任意一个封闭的图形如圆、椭圆、矩形等表示一个集合。例如图3-3 表示了论域 U 上集合 A、B 及其它们的交与并。图 3-3 文氏图法3.3 模糊集合论基础一、模糊集合（一）模糊集合的概念根据集合的概念，我们知道，对于任意一个普通集合A 而言，其论域中的元素 x 要么属于这个集合，此时

10、1)(xA，要么不属于该集合，此时0)(xA，即存在非此即彼的概念。然而，在现实生活中，有大量的事物具有模糊的特点，无法用普通集合来描述。例如， “中年人”，就是一个模糊概念。因为“中年人”这个概念涉及两个问题： 中年人的外延问题， 即，年龄界限是多少？当一个人的年龄在这个界限内，那么他是否完全属于中年人的范畴？对于这样的问题，不同的人完全可以给出不同的回答。现在，假设中年人的年龄界限为35-50。若有 3 个人的年龄分别是 36、45、55，那么他们三人属于中年人的程度是否一样？通常，人们会认为 45 岁相对于 36 岁其隶属于中年人的程度要大；而对于55 岁的人，尽管他已经开始进入老年，但

11、他同时仍然隶属于中年人，仅仅相对于45 岁的人而言，其隶属程度比较小而已。由此，我们可以发现，前面假设的中年人年龄界限35-50岁，实际应用中是不能够准确描述人们的认识和观念的，用大致为35-50 岁左右来描述中年人的年龄界限（没有清晰的外延）似乎更合理。因此，对于一个模糊A B A BU A B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 25 页学而不思则惘，思而不学则殆概念来说，其特征是外延不清晰。又如，概念“头发多”，也是一个模糊概念，单位面积上到底有多少根头发时才可以称为头发多呢？假设每平方厘米有200 根头发时为多，那当一

12、个人他的头发是平均每平方厘米199 根， 那他的头发还多还是少呢？而对于此类问题在实际中也不可能去精确量化。诸如此类的这种模糊概念在日常生活中到处可以碰到。为此，凡是外延不明确的集合都称之为模糊集合。由于模糊集合往往是某个论域的子集，所以，在讨论模糊集合时，常常称它为模糊子集。通常用大写字母下加或上加波浪线来表示。如：A，B。（二）隶属度对于模糊概念不能用普通集合的属于与不属于来描述，必须通过反映某个元素 x 属于模糊集合A的程度的隶属函数)(xA来描述。)(xA表示元素 x 属于模糊集合A的隶属度，)(xA取值范围在 0，1之间。例 3-1以年龄为论域，设E=0，100，Zadeh 给出了模

13、糊集合青年人A的隶属函数为：10025,52511250,1)(2xxxxA（3-3）其中， x 代表年龄，当x 分别为 26、35、55 时，通过上式计算可得到这三个年龄的人分别隶属于模糊集合青年人A的隶属度为：96. 0)26(A2.0)35(A03. 0)55(A注意：由描述模糊集合青年人A的隶属度函数式（ 4-3）可知， 0 至 25 岁隶属于模糊集合青年人A的隶属度均为 1 显然是不尽合理。这表明该隶属度函数的构造不能够很好地描述青年人这一模糊概念，若修改此隶属函数为下式：21025)(xAex，（3-4）则 4、10、18、25、35 和 55 岁的人隶属于模糊集合青年人A的隶属度

14、分别为：02.0)4(A，1 0 5.0)10(A，613. 0)18(A，0.1)25(A，368. 0)35(A，0 0 0 1.0)55(A。（三）模糊集合的表示方法1 Zadeh表示法（1）论域 U 为离散有限域nxxx,21时，模糊集合A可表示为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 25 页学而不思则惘，思而不学则殆11)(xxAAnnAAxxxx)()(22niiiAxx1)(, （3-5）式中，11)(xxA并不代表 “分数” ，而是表示论域中素ix 属于模糊集合A的隶属度)(iAx和元素ix 之间的对应关系，称

15、为“单点” 。同样“+”也不表示“求和”，而是表示论域U 上所有元素及其隶属于模糊集合A的隶属度的总体关系。如果某项的隶属度为零，则该项可不写入。该方法简单、实用。但它只适用于论域为有限的情况。（2）如果论域 U 为无限域时，可将式（ 3-5）推广到一般形式，如式（ 3-6）所示：UiiAxxA)(，（3-6）式中，积分符号也不表示求和运算， 而是用来表示各元素与隶属度对应关系的一个总和。2 向量表示法当论域 U 为离散有限域nxxx,21时， U 上的模糊集合A还可以表示成向量形式，即)()()(21nAAAxxxA。（3-7）但应注意：向量表示法中隶属度为零的项不能省略。例 3-2设某设备

16、运行速度的论域为U=200，400，600，800，1000，1200，1400，单位为 r/min， “速度高”是一个模糊概念， “速度高”表示一个模糊集合V。用 Zadeh表示法表示如下：140011200110008.08006.06004.04002 .02000V。去掉隶属度为零对应的元素项，又可表示为：140011200110008.08006 .06004.04002.0V。用向量表示法表示为：V=0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.0 。此时，对应隶属度为零的元素项不可省略。3 隶属函数表示法模糊集合还可以用隶属函数)(xA来描述，它表示元素x 隶属于模糊集合A的隶

17、属程度。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 25 页学而不思则惘，思而不学则殆例如例 3-1 中的10025,52511250,1)(2xxxxA和21025)(xAex，给出了模糊集合青年人A的隶属函数，用以描述该集合的特征。4 用序偶形式表示设论域 U 为离散有限域nxxx,21时，模糊集合A可表示为UxxxAx|,例 3-3 在整数 1 到 10组成的论域 U=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中，设A表示模糊集合“几个”。并设各元素的隶属度函数依次为0, 0, 3. 0, 7. 0, 1 , 1 ,7. 0,

18、3.0 ,0 ,0)(XA，请用序偶形式表达该模糊集合。解：则模糊集合UxxxAx|,=（1，0） ， （2，0） ， （3，0.3） ， （4，0.7） ， （5，1.0） ， （6，1.0） ，（7，0.7） ， （8，0.3） ， （9，0） ， （10，0）。二、隶属函数及其确定1 隶属函数普通集合用特征函数来表示， 而模糊集合的特征函数通常称做隶属函数。隶属函数能够很好地描述事物的模糊性。关于隶属函数要注意到两点： 隶属函数是Contor 集合特征函数的扩展，其值域为0，1；)(xA的值表示了元素 x 隶属于模糊集合A的程度。 隶属函数完全刻划了模糊集合，隶属函数是模糊数学的基本概念

19、。不同的隶属函数刻划了不同的模糊集合。2 隶属函数的确定重要性：隶属函数的建立是一项十分关键的工作，它的合理性直接影响对问题描述的正确性。多样性：由于模糊集合理论研究的对象具有模糊性以及客观实际研究对象的多样性，目前还没有统一的隶属函数选择方法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 25 页学而不思则惘，思而不学则殆评价标准：在实际工作中评价隶属函数的好坏就是看是否符合客观实际。主观性：隶属函数的选取存在极大的主观性。基本原则：就是要符合实际，不能违背常识。例如在例 3-1 中如果选择的隶属函数具有如下形式：100255251

20、250,0)(2xxxxA（3-8）式中， x 代表年龄，A为青年人这个模糊集合。当x 分别为 26、35、55 时，由式（3-8）可得：04. 1)26(A5)35(A37)55(A，结果中出现了隶属度大于1 的情况，显然，这是不合理的。隶属函数的确定大致有如下三种方法：（1）模糊统计法。以调查统计所得结果，绘制出经验曲线作为隶属函数曲线，利用数学中曲线回归的方法，找出隶属函数的解析表达式。（2）主观经验法。当论域为离散论域时，可根据主观认识，结合个人经验，经过分析和推理，直接给出元素的隶属值。这种方法被广泛使用。（3）神经网络和模糊逻辑相结合的方法。利用神经元网络学习、训练能力强的特点，通

21、过对神经元网络的训练，由神经元网络自动生成隶属函数。3 几种常见的隶属函数形式在实际应用中， 根据满足问题需要及计算简便的原则，常用的隶属函数有如下几种：1）正态型（图 3-4）0,)(2bexbaxA2）三角形（图 3-5）222111other0)(axaaaxaaxaaaaxxA3）升半梯形（图 3-6）b=4 b=2 图 3-4 正态型隶属函数a1aa2x)(xA1.0 0 图 3-5 三角形隶属函数图 3-6 升半梯形隶属函数a1a2x)(xA1.0 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 25 页学而不思则惘，思

22、而不学则殆221121110)(axaxaaaaxaxxA4）降半梯形（图 3-7）221122101)(axaxaaaxaaxxA三、模糊集合的运算1 模糊集合的基本运算定义 1：设A和B是论域 U 上的两个模糊集合，其隶属函数分别为)(xA和)(xB。规定A和B的并运算BA、交运算BA和补运算（ccBA,）的隶属函数分别为)(xBA、)(xBA、)(xcA、)(xcB，则对U 上的每一个元素x（Ux） ，有：)()()(xxxBABA，（3-9）)()()(xxxBABA，（3-10）)(1)(xxAAc，（3-11）)(1)(xxBBc（3-12）式中，符号“”表示取大运算，符号“”表示

23、取小运算。例 3-4 设论域 U=1x ，2x ，3x ，4x ，5x 中的模糊子集为543213 .05 .02.08.01.0 xxxxxA543211 .07.02 .04.03.0 xxxxxB试求BA、BA、cA和cB。解：BA=13 .01 .0 x+24. 08.0 x+32. 02. 0 x+47. 05. 0 x+51 . 03. 0 x=13 . 0 x+28.0 x+32.0 x+47.0 x+53 .0 x；图 3-7 降半梯形隶属函数a1a2x)(xA1.0 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共

24、25 页学而不思则惘，思而不学则殆BA=13.01.0 x+24 .08.0 x+32 .02 .0 x+47.05 .0 x+51 .03 .0 x=11 .0 x+24.0 x+32 .0 x+45 .0 x+51 .0 x，cA=11.01x+28 .01x+32.01x+45 .01x+53.01x=19.0 x+22 .0 x+38.0 x+45 .0 x+57 .0 x，cB=13.01x+24.01x+32.01x+47.01x+51.01x=17.0 x+26 .0 x+38.0 x+43 .0 x+59 .0 x。2 模糊集合的运算定律设模糊集合A、B和 C是论域 U 上的三

25、个模糊子集，其并、交、补满足下列性质：1）幂等律：AA=A，AA=A；2）交换律：BA=AB，BA=AB；3）结合律：CBA=CBA，CBA=CBA；4）分配律：CBA=BACA，CBA=BACA；5）同一律： A，AA；AEA，EEA；6）吸收律：ABA=A，ABA=A；7）互补律：cAA，EAAc；8）还原律：AAcc；9）对偶律：cccBABA，cccBABA。3.4 模糊关系及其运算客观世界中的各种事物间一般都存在某种联系，而描述客观事物间联系的数学模型就称作关系。集合论中的关系精确地描述了元素之间是否相关；模糊集合论中的模糊关系则描述了元素间相关的程度。 模糊关系在概念上是普通关系的

26、推广，而普通关系则是模糊关系的特例。一、模糊关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 25 页学而不思则惘，思而不学则殆（一）关系、关系矩阵定义 2：给定两个非空的普通集合X、Y，由全体yx,YyXx,组成的集合，叫做 X与 Y的直积，记做YX，又被称做笛卡尔积，又叫直集。其定义为YX=YyXxyx,|,，（3-13）例 3-5 设baX,，3 ,2, 1Y，试求YX和XY。解：YX=3 ,2,1 ,3 ,2,1 ,bbbaaa；XY=bbbaaa, 3, 2, 1, 3, 2, 1。注意：通常YXXY，直积是由序偶对构成的

27、集合。定义 3：给定两个非空的经典集合X、Y，它们的直积YX的一个子集 R 称为 X 到 Y 的一个二元关系，简称关系。记做YXR。注意： X、Y 的直积YX中包含了全体yx,YyXx,，而直积中的一个子集，即关系则包含了符合关系要求的yx,序偶对。若yx,R，则记做xRy，若yx,R，则记做yRx。因此，关系R 的特征函数为RyxRyxyxCR, 1,0,。若YX，则称 R是 X 中的关系。当集合 X、Y 都是有限集合时，关系R 也可用矩阵来表示，称做关系矩阵。设mxxxX,21，nyyyY,21，则 R可表示为nmijrR，其中jiRijyxCr,。例 3-6 已知5, 4, 3, 2,

28、1YX，试确定YX中的YX的关系 R 。解：本题有两种解法：（1）用属于关系 R 的元素组成的集合来表示R =4,5,3, 5,2 ,5,1 , 5,3 ,4,2,4,1 , 4,2, 3,1 , 3,1 , 2（2） 用关系矩阵来表示R =0111100111000110000100000，其中，关系矩阵中的元素：RyxyxRyxyxrjijijijiij,0, 1或或。（二）模糊关系、模糊关系矩阵普通二元关系是用简单的“有”或“无”来衡量事物间的关系，因此无法用来衡量事物间有关系的程度。 模糊关系则是普通关系的推广， 它是指多个模糊集精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

29、纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 25 页学而不思则惘，思而不学则殆合的元素间所具有关系的程度。定义 4：给定两个非空集合 X、Y，它们的直积YX的一个模糊子集R称为X 到 Y的一个模糊二元关系。 序偶yx,的隶属度为yxR,，取值区间为 0，1，它的大小反映了yx,具有模糊关系R的程度。若YX，则称R为 X 中的模糊关系。若集合 X、Y 分别为由 m，n 个元素组成，则模糊关系R可用矩阵来表示，称之为模糊关系矩阵或模糊矩阵，其表达如下：mnmmnnnmijYXrrrrrrrrrrR212222111211),2, 1;, 2, 1(),(njmiyxrjiRij。例3-7设

30、 人 的 身 高 论 域 是8.1,7 .1,6 .1, 5.1, 4.1X（单位： m） ，体重论域是57, 56, 55,45,35Y（单位：Kg） ， 表 3-3 给出了某地区男子 “身高与体重接近标准程度” 的情况。我们用YXR表示其模糊关系，请用模糊关系矩阵来表示。解：YXR0.17.02.01.00.07.00.17 .02 .01 .02.07.00.17 .02.01.02.07 .00 .17.00.01.02.07 .00.1其中jiRijyxrYX,表示元素jiyx ,隶属于关系YXR的程度。例 3-8 设集合7, 5, 1X，9,7,5, 1Y，试确定集合 X 中的元素

31、比集合Y中的元素小得多的模糊关系R。解：用序偶的形式可表示如下：R=1 , 10+5, 15 .0+7, 175.0+9 , 10 .1+1 , 50+5 ,50+7, 51.0+9 ,52 .0+1 ,70+5 ,70+7 ,70+9,71.0。（三）模糊关系的性质表 3-3 身高与体重接近标准关系的程度Kg m 35 45 55 65 75 1.4 1.0 0.7 0.2 0.1 0.0 1.5 0.7 1.0 0.7 0.2 0.1 1.6 0.2 0.7 1.0 0.7 0.2 1.7 0.1 0.2 0.7 1.0 0.7 1.8 0.0 0.1 0.2 0.7 1.0 精选学习资料

32、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 25 页学而不思则惘，思而不学则殆1 自反性定义 5：设 R是 X 中的模糊关系， 若对于Xx， 必有1,xxR， 则称 R是具有自反性的模糊关系。其对应的模糊矩阵中的对角线元素为1。2 对称性定义6： 设 R是 X 中 的 模 糊 关系 ，若 对于Xx，Xy， 均有yxR,xyR,，则称 R是具有对称性的模糊关系。其对应的模糊矩阵中jiijrrnji, 2, 1,。例 3-9 设 X 中的模糊关系1R 、2R 用矩阵表示如下1R =16.04 .06.012 .04.02.01，2R =5.01

33、.04.01 .07 .02.04.02.08.0。请根据自反性、对称性定义，判断1R 、2R 具有的性质。解：由模糊矩阵1R 对角线上元素唯一和对称元素相等，可知模糊关系1R 具有自反性和对称性；而模糊矩阵2R 对称元素相等，可知2R 只具有对称性。3 传递性定 义7 ： 设 R是X 中 的 模 糊 关 系 ， 若 对 于Xzyx,， 均 有zxR,zyyxRRy,成立，则称 R是具有传递性的模糊关系。其对应的模糊矩阵中kjiknkijrrr1nji,2, 1,。若关系 R具有自反性和对称性，则称R为论域 X 上的模糊相似关系 。若关系 R具有自反性、对称性和传递性，则称R为论域 X 上的模

34、糊等价关系。二、模糊关系运算当论域有限时， 模糊矩阵可用于表示模糊关系， 模糊矩阵为模糊关系的运算带来了方便，它已成为模糊关系运算的主要工具。设 模 糊 矩 阵 R、 S是YX上 的 模 糊 关 系 ， R=nmijr，S=nmijsmi,2, 1(，),2, 1nj，模糊矩阵运算如下：（1） 并：设 R、S的并为T， 令 TSR=nmijijsr=nmijt取ijr 和ijs 中的最大者。（2） 交：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 25 页学而不思则惘，思而不学则殆设 R、S的交为T， 令 TSR=nmijijsr=

35、nmijt取ijr 和ijs 中的最小者。（3） 补：设 R的补为cR，令nmijcrR)1 (。（4）截阵：给定 R，由 R对任意水平截集阈值 1 , 0，得到新的矩阵 R =nmrij，其中ijijrrrij, 1,0，称 R 为 R的截阵。（5） 转置：将 R中的行与列进行交换，所得到的模糊关系矩阵称为R的转置矩阵，记做TR。例 3-10 设 R=9. 05 .04.06. 011 .0，S=7 .02 .05.06 .02 .01，试求 RS、RS、cR、6. 0S和TR。解： RS=7.09.02.05.05. 04. 06 .06.02. 0111.0=9. 05. 05 .06.

36、 011；RS=7 .09.02.05.05. 04. 06 .06.02. 0111.0=7. 02 .04 .06. 02 .01.0；cR=9. 015.014. 016. 01111. 01=1.05 .06.04 .009.0；6. 0S=100101；TR=9.06 .05.014.01.0。（6）合成：定义 8： 设论域 U、 V、 W；RVUF是 U 到 V 的模糊关系， SWVF是 V 到 W的模糊关系。 所谓R对 S的合成TWUF，则是 U 到 W的模糊关系，它具有隶属函数lmwuT,=lmwuSR,=lnnmVvwvSvuR,。或jkijnjiksrt1mi,2, 1(，

37、),2, 1lk合成运算有不同的定义，这里，采用最常用的最大- 最小合成定义。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 25 页学而不思则惘，思而不学则殆要注意的是，R的列数和 S的行数必须相等，否则，合成运算无意义。例 3-11 设R=2. 05. 07 .014. 01.0， S=6.012.01 .05.03.0，求SR。解：SRT=6. 02. 02 .05 .05.07 .012 .01.05. 03.07 .06.012.04. 05 .01 .0111 .04 .03 . 01. 0 =5.03. 06 .01。例

38、 3-12 设某家中子女与父母的长相相似关系、其父母与祖父母的长相相似关系为模糊关系，可用表格表示如下：也可用模糊矩阵的形式表示如下：R =8.02 .01 .08 .0，S=01. 01.08. 0。求合成运算SR。解：通过合成运算可求得子女与祖父母的长相相似关系为SRT=08 . 01.02.01 .08. 08.02 .001. 01 .08 .01.01. 08 .08 .0=1.02. 01.08. 0。用 表 格又可表示为：R父亲母亲子0.8 0.1 女0.2 0.8 S祖父祖母父0.8 0.1 母0.1 0 T祖父祖母子0.8 0.1 女0.2 0.1 精选学习资料 - - -

39、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 25 页学而不思则惘，思而不学则殆三、模糊向量的笛卡尔积定义 9：设两个模糊 行向量A、B，它们的笛卡尔积定义如下：BA=BAT。（3-14）例 3-13 设两个模糊向量5. 0, 1 .0, 3. 0A，6 .0,2.0, 5.0,8 .0B，试求它们的笛卡尔积。解：BA=BAT=5.01 .03.06 .0, 2. 0,5 .0, 8. 0=5 .02 .05.05.01.01 .01 .01.03 .02 .03.03.0。3.5 模糊语言及模糊推理一、模糊语言与语言变量1 模糊语言语言是一种以文字为符号的

40、符号系统，常分为自然语言和机器语言。 自然语言的特征在于它的模糊性， 而带有模糊性的语言， 称为模糊语言。 人之所以比计算机“聪明”，就是因为自然语言具有模糊性。2 语言变量和语言值语言变量是指以自然或人工语言的词、 词组或句子作为值的变量， 例如年龄、高低、快慢、好坏等。语言变量的值称为语言值。例如：语言变量是“偏差” ，它的值可取为：“大” 、 “较大” 、 “正中” 、 “较小” 、 “小” 、 “很小”等。LAZadeh于 1975 年曾经给出了语言变量的定义：语言变量是由一个五元体（U，N，T(N)，G，M）来表征，五元体中各个元的意义如下：（1）N 是语言变量的名称，如年龄、偏差、

41、偏差变化率等。（2）U 是 N 的论域。如 N 是年龄时，其论域可设为 0，100。（3）T(N)是语言变量 N 的语言值 X 的集合，其中，每个语言值是U 上模糊集合。如N 为年龄，则： T(N)T(年龄)“很年轻” +“年轻” +“中年” +“较老” +“年老”54321XXXXX。（4）G 是语法规则。1）前缀限制词。在原子单词前加一些用于加强或减弱语气的词，比如，“极老” 、 “比较老”等。语法规则定义了“极老”与“老”之间的关系，即隶属度的计算规则。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 25 页学而不思则惘，思而不

42、学则殆例 3-14 以年龄为论域，设 E=0， 100， Zadeh给出了年龄语言变量值的 “老”模糊集合的隶属函数为50,55011500,0)(2xxxx老，其中， x 代表年龄。当 x为 65 时，)65(老=0.9。当加上前缀限制词时， 按照一定的语法规则， 可计算 65 岁属于“极老” 、 “相当老” 、 “比较老”的模糊集合的隶属度分别为：)65(老极=4)65(老=0.656；)65(老当相=1.25)65(老=0.876；)65(老较比=0.75)65(老=0.924；2）连接词“与”、 “或” 。否定词“非”。语法规则定义了加上连接词后其隶属函数的计算方法：)()()(xxx

43、BABA，)()()(xxxBABA，)(1)(xxAAc。（5）M 是语义规则，根据语义规则给出模糊子集X 的隶属函数。二、模糊条件语句1模糊命题年龄年老年轻很年轻1.00.940.251.00.90.80.10.51.01.015 20 30 40 60 65 70语言变量语法规则G语言值集合T（N）语义规则M论域 U（年龄）图 3-8 语言变量的五元体结构图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 25 页学而不思则惘，思而不学则殆二值逻辑和命题。 在清晰集合论中， 表达思维的概念、 判断和推理所对应的逻辑形式是二值逻辑，

44、即数理逻辑。也就是说命题都有一个值，要么为“真”，要么为“假”，分别用“ 1”和“ 0”表示。例如：（1）小明是一个男生。（2）小明是一个班长。（3）今天是教师节。模糊命题是指含有模糊概念或者是带有模糊性的陈述句。它的取值就不能简单的取“真”或“假” ，而是“真”或“假”的程度。模糊命题的一般形式为： “x 是A” ，其中， x 是对象名称，A是论域 U 上的一个模糊子集。例如：P：该设备的温度太高；Q：该设备误差的变化率很小。模糊命题之间有析取 (逻辑并 )、合取 (逻辑交 )、取非运算，定义如下：设模糊命题 P：xis A，Q：yis B，则：（1）析取QP，其真值为：)()(yxQPBA

45、；（2）合取QP，其真值为：)()(yxQPBA；（3）取非cA，其真值为：AcA1。由上可见，模糊命题真值之间的运算，也就是其相应隶属函数之间的运算。2模糊条件语句常用句型：（其中模糊命题用P、Q、R 等表示）（1）简单模糊条件语句“若P，则 Q”型。记为 if P then Q。例如，对于加热炉的炉温控制来说， 规则“若温度偏低， 则增加燃料量” 就是这一类型。（2）多重简单模糊条件语句“若P，则 Q，否则 R” 型。记为 if P then Q else R。例如， “若温度偏高，则减少燃料量，否则增加燃料量”就是这一类型。（3）双维模糊条件语句 “若 P 且 Q，则 R” 型。记为 i

46、f P and Q then R。例如， “若温度偏高， 且温度具有增加趋势， 则减少燃料量”就是这一类型。三、模糊推理（一）模糊推理的基本概念所谓推理，就是从一个或多个已知的判断（或前提）出发，推出另一个新的判断(称为结论 )的思维形式。推理有直接推理、演绎推理、归纳推理、类比推理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 25 页学而不思则惘，思而不学则殆等形式。但是，用得最多的是演绎推理中的假言推理。例如：大前提：若 P，则 Q 小前提：现 P 结论：Q 例如：大前提：若兰州人，则讲兰州话小前提：现小明是兰州人是确定性命题结

47、论：则他会讲兰州话模糊推理：当推理所用到的命题（或判断）具有模糊性，也就是在大前提和小前提中含有模糊命题的推理，所得结论为一个新的模糊命题。例如：规则“若温度偏低，则增加燃料量”，现在温度稍低，所以稍微增加一些燃料。模糊推理的特点是一种近似推理，即小前提与大前提的条件可能不完全相符，但可根据小前提与大前提的条件相符的程度，推出有一定价值的结论。（二）模糊控制中常用的模糊推理在模糊控制中常用模糊推理方法的有Mamdani 法和 Zadeh方法。下面介绍模糊控制中采用上述两种推理方法的几种常用的模糊条件语句。1模糊假言推理设A、B分别为论域X、Y 上的两个模糊集合，其对应的隶属函数分别为)(xA、

48、)(yB，又设BAR是YX上描述模糊条件语句“若xis A，则yis B”即“若 P，则 Q”型的模糊语句，其中，P 表示命题 x is A，Q 表示命题 yis B。该模糊语句所表达的模糊关系R的隶属函数由 Zadeh定义为)(1)()(),(xyxyxABABA，（3-15）可用模糊向量的笛卡尔积表示模糊关系RRBAEAc，（3-16）其中， E 是代表论域 Y的全称矩阵。模糊假言推理可看作为模糊关系的合成，其推理的逻辑结构如下：大前提： 若 x is A，则 y is B规则：BA小前提： 现 x is A或简写为：事实：A结论：y is B，且BABA结论：BAR符号“”表示合成运算。

49、若用 Mamdani 的极大极小推理法，则隶属函数定义为)()(),(yxyxBABA，（3-17）可用模糊向量的笛卡尔积表示模糊关系R精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 25 页学而不思则惘，思而不学则殆R=BA，（3-18）例 3-15 设 x 表示转速（单位： r/min） ，y 表示控制电压（单位： V） 。其论域分别为： X=100，200，300，400，500，Y=1，2，3，4，5，已知在 X、Y上的模糊子集为：A= 转速高 = 0/100+0/200+0/300+0.5/400+1/500 ，B= 控制电

50、压高= 0/1+0/2+0/3+0.5/4+1/5。YX上的模糊关系为“若转速高，则控制电压高”，或用控制规则简记为“BA” ，现在当A= 转速较高= 0/100+0/200+0.5/300+1/400+0.5/500 ，试利用 Zadeh推理法确定相应的控制电压B。解： （1）从 Zadeh 的推理公式BAR可知，我们首先应按式（3-16）计算模糊关系R。RBAEAcBA=BAT=15.000015.0000=15.00005.05.0000000000000000000EAc=EATc=1111105.0111=000005 .05.05.05.05.0111111111111111RBA