2022年《三维设计》2021级数学一轮复习基础讲解函数模型及其应用 .pdf

《2022年《三维设计》2021级数学一轮复习基础讲解函数模型及其应用 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年《三维设计》2021级数学一轮复习基础讲解函数模型及其应用 .pdf（15页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品资料欢迎下载第十节函数模型及其应用知识能否忆起 1几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b 为常数， a0) 二次函数模型f(x)ax2 bxc(a，b，c 为常数， a0) 指数函数模型f(x)baxc(a，b，c 为常数， a0 且 a1，b 0) 对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c 为常数， a0 且 a1， b0) 幂函数模型f(x)axnb(a，b，n 为常数， a0，n0) 2.三种增长型函数模型的图象与性质函数yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0) 在(0， )上的增减性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象

2、的变化随 x 增大逐渐表现为与y轴平行随 x 增大逐渐表现为与x轴平行随 n 值变化而不同小题能否全取 1(教材习题改编)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4， )时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是() Af(x)g(x)h(x) Bg(x)f(x)h(x) Cg(x)h(x)f(x) Df(x)h(x)g(x) 答案： 选 B由图象知，当x (4， )时，增长速度由大到小依次为g(x)f(x)h(x)2一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的() 名师归纳总结 精品学习资料

3、- - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载解析： 选 B由题意 h205t,0t 4.结合图象知应选B. 3生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C(x)12x22x20(万元 )一万件售价是20 万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为() A36 万件B18 万件C22 万件D 9 万件解析： 选 B利润 L(x)20 xC(x)12(x18)214

4、2，当 x18 时， L(x)有最大值4 一种产品的成本原为a 元， 在今后的 m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成 本y是经 过 年数x(0 xm) 的 函 数 ， 其 关系 式y f(x) 可 写成_解析： 依题意有y a(1p%)x(0 xm)答案： ya(1p%)x(0 xm) 5.有一批材料可以建成200 m 的围墙， 如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为_(围墙厚度不计) 解析： 设矩形的长为x m，宽为200 x4m，则 Sx200 x414( x2200 x)当 x100 时， Sm

5、ax 2 500 m2. 答案： 2 500 m2 1.解答函数应用题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义以上过程用框图表示如下：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 精品资料欢

6、迎下载2 解函数应用题常见的错误(1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面；(2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件一次函数与二次函数模型典题导入例 1为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺， 把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为600 吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨 )之间的函数关系可近似地表示为： y12x2200 x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100 元该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润； 如果不获利， 则国家至少需要补贴多少元才

7、能使该单位不亏损？自主解答 设该单位每月获利为S，则 S100 xy100 x12x2200 x80 00012x2 300 x80 000 12(x 300)235 000，因为 400 x600，所以当 x400 时， S有最大值 40 000. 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000 元，才能不亏损名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载由题悟法1在实际问题中，有很多问

8、题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升 (自变量的系数大于0)或直线下降 (自变量的系数小于0)，对一次函数模型，主要是利用一次函数的图象与单调性求解2有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等对二次函数模型，一般是利用配方法并结合二次函数图象与单调性解决3在解决一次函数、二次函数的应用问题时，一定要注意定义域以题试法1(2012 抚州质检 )一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40 cm 与 60 cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角问怎样剪， 才能使剩下的残料最少？解： 如图，剪出的矩形为CDEF ，设 CDx，CFy

9、，则 AF 40y. AFE ACB，AFACFEBC，即40y40 x60. y4023x.剩下的残料面积为S126040 x y23x240 x 1 200 23(x30)2600. 0 x60，当x30 时， S取得最小值为600，这时 y20. 在边长 60 cm 的直角边CB 上截 CD30 cm，在边长为40 cm 的直角边AC 上截 CF20 cm 时，能使所剩残料最少分段函数模型典题导入名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 15

10、 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载例 2(2012 孝感统考 )某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5 万元，此外每生产 100 件这样的产品，还需增加投入0.25 万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为0.05t120 000t2万元(1)该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量 x 的函数为 f(x)，求 f(x)；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？自主解答 (1)当 0500 时， f(x)0.05500120 000 5002 0.25x1000.5

11、121400 x，故 f(x)120 000 x219400 x12，0500.(2)当 0500 时， f(x)121400 x1254344324 时，y41.8 3x1.83(5x 4)20.4x4.8. 当乙的用水量超过4 吨，即 3x4 时，y241.83(3x4)(5x4)24x9.6. 所以 y14.4x，0 x45，20.4x4.8，4543.(2)由于 yf(x)在各段区间上均单调递增，当 x0，45时， yf4526.4；当 x45，43时， yf4326.4；当 x43， 时，令 24x9.626.4，解得 x1.5. 所以甲户用水量为5x51.5 7.5 吨，付费 S1

12、41.8 3.5317.70 元；乙户用水量为3x4.5 吨，付费 S241.8 0.538.70 元指数函数模型典题导入例 3(2012 广州模拟 )一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

13、第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载(3)今后最多还能砍伐多少年？自主解答 (1)设每年降低的百分比为x(0 x1)则a(1x)1012a，即 (1 x)1012，解得 x112110. (2)设经过 m 年剩余面积为原来的22，则a(1x)m22a，即12m101212，m1012，解得 m5. 故到今年为止，已砍伐了5 年(3)设从今年开始，以后砍了n 年，则 n 年后剩余面积为22a(1x)n. 令22a(1x)n14a，即 (1x)n24，12n101232，n1032，解得 n15. 故今后最多还能砍伐15 年由题悟法增长率问题，在实际问题中

14、常可以用指数函数模型yN(1 p)x(其中 N 是基础数， p 为增长率， x 为时间 )和幂函数模型ya(1x)n(其中 a 为基础数， x 为增长率， n 为时间 )的形式解题时，往往用到对数运算和开方运算，要注意用已知给定的值对应求解以题试法3某电脑公司2012 年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400 万元， 占全年经营总收入的40%.该公司预计2014 年经营总收入要达到1 690 万元， 且计划从 2012 年到 2014年，每年经营总收入的年增长率相同，2013 年预计经营总收入为_万元解析： 设年增长率为x，则有40040%(1x)21 690,1x1310，因此 201

15、3 年预计经营总收入为40040%13101 300(万元 )答案： 1 300 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载1设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20 分钟，在乙地休息10 分钟后， 他又以匀速从乙地返回到甲地用了30 分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为 () 解析：选 D注意到 y 为“小王从出发到返

16、回原地所经过的路程” 而不是位移， 用定性分析法不难得到答案为D. 2(2012 湖北三校联考)某城市对一种售价为每件160 元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100 元征税 R 元)，若年销售量为3052R 万件，要使附加税不少于128 万元，则 R 的取值范围是() A4,8B6,10 C4%,8% D 6%,100% 解析： 选 A根据题意得，要使附加税不少于128万元，需3052R 160 R%128，整理得 R212R32 0，解得 4 R8，即 R4,8 3 由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔 5 年计算机的价格降低13，现在价格为8 100 元的计算机经过

17、15 年的价格应降为() A2 000 元B2 400 元C2 800 元D3 000 元解析： 选 B设经过 3 个 5 年，产品价格为y 元，则 y8 100 11332 400. 4(2013 温州月考 )某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租 20 元， B 种方式是月租0 元一个月的本地网内打出电话时间t(分钟 )与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150 分钟时， 这两种方式电话费相差() A10 元B20 元C30 元D.403元解析： 选 A依题意可设sA(t)20kt，sB(t)mt，又 sA(100)sB(100)， 100k20100m，得 km 0.

18、2. 于是 sA(150)sB(150)20 150k150m 20150(0.2) 10，即两种方式电话费名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载相差 10 元5某电视新产品投放市场后第一个月销售100 台，第二个月销售200 台，第三个月销售 400 台，第四个月销售790 台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是 () Ay100 xBy50 x2

19、50 x100 Cy502xD y100log2x100 解析： 选 C根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型6(2013 长春联合测试)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停 (每次上涨10%)，又经历了n 次跌停 (每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况 (不考虑其他费用)为() A略有盈利B略有亏损C没有盈利也没有亏损D无法判断盈亏情况解析： 选 B设该股民购这支股票的价格为a，则经历 n 次涨停后的价格为a(110%)na1.1n，经历 n 次跌停后的价格为a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)n0.

20、99n aa，故该股民这支股票略有亏损7(2012 河南调研 )为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：如果不超过200 元，则不予优惠；如果超过200 元，但不超过500 元，则按标价给予9 折优惠； 如果超过500 元，其中 500 元按第条给予优惠，超过500 元的部分给予7 拆优惠辛云和她母亲两次去购物，分别付款168 元和 423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为_解析： 依题意，价值为x 元商品和实际付款数f(x)之间的函数关系式为f(x) x，0 x200，0.9x，200500.当 f(x)168 时，由 168

21、0.9187200，故此时 x168；当 f(x)423 时，由 423 0.9470 (200,500， 故此时 x470.所以两次共购得价值为470168638 元的商品，又 5000.9(638500)0.7 546.6 元，即若一次性购买上述商品，应付款额为546.6 元答案： 546.6 元8(2012 镇江模拟 )如图， 书的一页的面积为600 cm2，设计要求书面上方空出 2 cm 的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为_名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习

22、资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载解析： 设长为 a cm，宽为 b cm，则 ab 600，则中间文字部分的面积S(a21)(b2)606(2a3b)60626600486，当且仅当2a3b，即 a30， b20 时， S最大486. 答案： 30 cm,20 cm 9某商家一月份至五月份累计销售额达3 860 万元，预测六月份销售额为500 万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等若一月份至十月份销售总额至少达7

23、000 万元，则 x 的最小值是_解析： 七月份的销售额为500(1x%)，八月份的销售额为500(1x%)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860 5002 500(1x%)500(1x%)2，根据题意有3 8605002500(1 x%)500(1x%)2 7 000，即 25(1x%)25(1x%)266，令 t1x%，则 25t225t660，解得 t65或者 t115(舍去 )，故 1x%65，解得 x20. 答案： 20 10(2012 湖南十二校联考)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10 万元到 1 000 万元的投资收益现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：

24、奖金y(单位：万元 )随投资收益x(单位：万元 )的增加而增加，且奖金不超过9 万元，同时奖金不超过收益的 20%. 请分析函数yx1502 是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因解： 对于函数模型yf(x)x1502，当 x 10,1 000 时， f(x)为增函数，f(x)max f(1 000)1 00015022032105，即 f(x)x5不恒成立名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - -

25、 精品资料欢迎下载故函数模型yx1502 不符合公司要求11高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4 500 元 /台当笔记本电脑销售价为6 000 元/台时， 月销售量为a 台市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x(0 x1)，那么月销售量减少的百分率为x2.记销售价提高的百分率为x时，电脑企业的月利润是y 元(1)写出月利润y 与 x 的函数关系式；(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大解：(1)依题意， 销售价提高后变为6 000(1 x)元 /台，月销售量为a(1x2)台，则 ya(1x2)6 000(1 x)4 500即 y1 5

26、00a(4x3x24x1)(0 x1)(2)由(1)知 y 1 500a(12x2 2x4)，令 y0，得 6x2 x20，解得 x12或 x23(舍去 )当 0 x0；当12x1 时， y 0，y0. (2)依题意，要求四个矩形木雕总面积的最大值即求4xy 的最大值因为 a，b，x，y 均大于 0，所以 2bx 2ay22bx 2ay，从而 S4 abxy 4xyab，当名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - -

27、 - - - 精品资料欢迎下载且仅当 bxay 时等号成立令 txy，则 t0，上述不等式可化为4t24ab tabS0，解得Sab2tSab2. 因为 t0，所以 0tSab2，从而 xyab S2abS4. 由bxay，S2bx2ay4xyab，得xabSab2b，yabSab2a.所以当 xabSab2b，yabSab2a时，四个矩形木雕的总面积最大，最大值为abS2abS. 1某地 2011 年底人口为500 万，人均住房面积为6 m2，如果该城市人口平均每年增长率为 1%.问为使 2021 年底该城市人均住房面积增加到7 m2，平均每年新增住房面积至少为(1.01101.104 6)

28、() A90 万 m2B87 万 m2C85 万 m2D80 万 m2解析： 选 B由题意500 11%10750061086.6(万 m2) 87(万 m2)2.一高为 H，满缸水量为V 的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出若鱼缸水深为h 时的水的体积为v，则函数v f(h)的大致图象可能是图中的_名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载解析： 当 h0 时，

29、v0 可排除、；由于鱼缸中间粗两头细，当h 在H2附近时，体积变化较快； h 小于H2时，增加越来越快；h 大于H2时，增加越来越慢答案： 3(2011 湖北高考 )提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米 /时)是车流密度x(单位：辆 /千米 )的函数当桥上的车流密度达到200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20 辆/千米时，车流速度为60 千米 /时研究表明：当20 x200 时，车流速度v 是车流密度x的一次函数(1)当 0 x200 时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间

30、内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)x v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到 1 辆/时) 解： (1)由题意，当0 x 20 时， v(x)60；当 20 x200 时，设 v(x)axb，再由已知得200ab0，20ab 60，解得a13，b2003.故函数 v(x)的表达式为v(x)60， 0 x20，13200 x ，20 x200.(2)依题意并由 (1)可得f(x)60 x，0 x20，13x 200 x ，20 x200.当 0 x20 时， f(x)为增函数，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳

31、精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载故当 x20 时，其最大值为60201 200；当 20 x200 时， f(x)13x(200 x)13x 200 x2210 0003，当且仅当x200 x，即 x100 时，等号成立所以当 x100 时， f(x)在区间 20,200 上取得最大值10 0003. 综上，当 x100 时， f(x)在区间 0,200 上取得最大值10 00033 333，即当车流密度为100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333 辆 /

32、时(2012 浙江金华阶段性检测)某民营企业生产A，B 两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图 2(注：利润与投资单位：万元)(1)分别将 A， B 两种产品的利润表示为投资x(万元 )的函数关系式；(2)该企业已筹集到10 万元资金，并全部投入A，B 两种产品的生产，问：怎样分配这10 万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元解： (1)当投资为x 万元，设A 产品的利润为f(x)万元， B 产品的利润为g(x)万元，由题意可设f(x)k1x，g(x)k2x. 由图知 f(1)14，故 k114.

33、又 g(4)52，故 k254. 从而 f(x)14x(x0)，g(x)54x(x0)(2)设 A 产品投入x 万元，则 B 产品投入 (10 x)万元，设企业利润为y 万元名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载yf(x)g(10 x)14x5410 x(0 x10)令 t10 x，则y10t2454t14t5226516(0t10)当 t52时， ymax6516，此时 x3.75,10 x6.25. 即当 A 产品投入3.75 万元， B 产品投入6.25 万元时，企业获得最大利润为6516万元名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -