2022年新课程高中数学必修五教案《等比数列的前n项和》 .pdf

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1、第二章数列2.5 等比数列的前 n 项和（第一课时）【创设情景引入新知】传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨?班?达依尔，舍罕王为了表彰他的功绩，准备进行奖赏问他想要什么 .发明者说：“请在棋盘的第1 个格子里放上1 颗麦粒，在第2 个格子里放上2颗麦粒，在第3 个格子里放上4 颗麦粒，在第4 个格子里放上8 颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2 倍，直到第 64 个格子 .”这是一个什么数学问题？国王能满足他的要求吗？由 于 每 格 的 麦 粒 数 都 是 前 一 格 的2倍 ， 共 有64格 每 格 所 放 的 麦 粒 数 依 次 为 ：23631 2 22

2、2, ,.这是一个以1 为首项，2 为公比的等比数列，麦粒的总数为:要想知道国王能否满足发明者的要求，需要计算出麦粒总数.那么如何求这个等比数列的前64 项的和呢？这就是这节课要学习的内容.【探索问题形成概念】一般地，对于等比数列123,naaaa它的前 n 项和是nSnaaaa321陛下国库里的麦子不够啊！陛下，赏小人一些麦粒就可以。你想得到什么样的赏赐？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页根据11nnaa q，可将上式写成22111111nnnSaa qa qa qa q用公比乘的两边，可得23111111nnn

3、qSa qa qa qa qa q与相减，得111()nnq Saa q当1q时，qqaSnn1)1(1因为11nnaa q，所以上面的公式还可以写为111()nnaa qSqq当1q时，12naaa，则1.nSna综上，等比数列的前n项和公式为1111 (1) (1) (1)(1) (1)11或nnnnnaqnaqSSaa qaqqqqq现在回到引言中的问题，用上述公式计算国王承诺奖赏的麦粒数626364124822S6464191(12)211.841012，千粒麦子重约40g，则这些麦子的总质量约为7.361710g，约合 7360 多亿吨根据统计资料显示，全世界小麦的年产量约为6 亿吨

4、，就是说全世界都要1000 多年才当 q=1 时，等比数列的前n 项和 sn等于多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页能生产这么多小麦，国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢！在等比数列的通项公式及前n 项和公式中共有五个量1,nnaqnaS，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量（“ 知三求二 ” ） 。【例 1】求下列等比数列前8 项的和：（1）1 1 1;2 4 8， ，（2）191270.243,aaq【思路】先利用通项公式求出公比，再根据前n 项和求解 . 【解答】（1）因为11122,aq所以88111

5、()25522;125612S（2）由19127243,aa可得81.243=27 q又由0q，可得13q. 所以，88127 131640.18113S【反思】结合等比数列的通项公式和前n 项和公式，如果已知1,nnn a d aS中三个，通过解方程或方程组就可以求出其余两个元素. 【例 2】 某商场今年销售计算机5000台. 如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10，对于等比数列的相关量1,nnaqnaS，已知几个量，就可以确定其它量？思考精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页那么从今年起，大约几年可使总销售量

6、达到30000 台（结果保留到个位）？【思路】由题意可知，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第1 年起， 每年的销售量组成一个等比数列，总销售量则为等比数列的前n 项和 . 【解答】根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同. 所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列na，其中15000,1 101.1,30000.naqS于是得到500011 13000011 1(.).n整理，得1 11 6.n两边取对数，得1 11 6lg.lg.n用计算器算得1 60 2051 10 041lg.lg.n答：大约 5 年可以使总销售量达到30000 台. 【反思】先根据等比数列的前n项和公

7、式列方程，再用对数的知识解方程. 【解疑释惑促进理解】难点一、如何选择等比数列的求和公式1.当1q时，利用1nSna求和；2.已知 n，(1)1aq q与时，用1(1)1nSnaqq求和；3.已知1, (1)na a q q时，用11nSnaa qq求和 . 在计算等比数列的前n 项和时，总是忘记公比=1q的情形。突破方法是明确等比数列的前 n 项和公式的推导过程，再就是注意经验的积累。根据解题经验， 在计算等比数列的前n 项和时， 首先考虑公比等于1 的情形， 否则易出错. 【例题】（1）求等比数列1 1 1,2 4 8的前 8 项和；（2）已知等比数列na中，111=1,=, =162na

8、aq，求其前n 项和ns；（3）设数列 an是等比数列，其前n 项和为 Sn，且 S33a3，求公比q 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页【思路】（1）可知首项与公比，直接利用公式1(1)1nSnaqq进行求和；（2）已知1, (1)na a q q时，直接；利用11nSnaa qq进行求和；（3）本题不知等比数列的公比是否为1，故对公比进行分类讨论：分=1,1qq两种情况 . 【解答】（1)21111=,q=,22aaa所以88811(1-() )125522=1-() =122561-2s. (2) 111

9、1-31162=.11-161-2nna a qsq（3） 当q1 时，S33a13a3，符合题目条件；当q 1 时，a11q31q3a1q2，因为a1 0，所以 1q33q2(1q)，因为q 1，所以 1q 0，化简得1qq23q2，解得q12或q1(舍) 综上，q的值为 1 或12. 【反思】 在涉及的等比数列的求和时一定要根据题设条件合理选择所用公式，当公比无法确定是否为 1 时，应该进行讨论. 【指导运用综合拓展】【例题】远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？这首古诗的答案是什么？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

10、- - -第 5 页，共 17 页【思路】这首古诗前三句给大家展现了一幅美丽的夜景，最后一句把它变成了一个数学问题，考虑利用今天所学的知识求出这首古诗的答案. 本题的数学模型为：已知等比数列na，公比 q=2 n=7，S7=381 求 a1【解答】设尖头有灯a1盏，则由题意得：S7=3812121711711aaqqaa即解得a1 =3， 故尖头有灯3 盏【反思】本题巧妙的隐藏在一首古诗之中，求解的关键是准确转化为数学模型再进行求解. 【小结归纳自主建构】这节课我们学习了如下内容：【反馈学习，查缺补漏】这节课我们学习了等比数列的前n 项和公式以及公式的推导方法-错位相减法 . 下一节课， 我们

11、要继续学习等比数列的前n 项和的一些性质以及常见的一些求和方法，请大家预习课时详解第十八课时，并思考下列问题：等比数列的前n 项和有哪些性质？数列的求和方法还有哪些？本课后收集有关等比数列的求和公式的资料并阅读。【阅读延伸，开阔视野】1、等比数列前n 项和公式推导方法一：2111112211111111()()nnnnnnSaa qa qaqaq aaqa qa qaqSaq Sa整理为，1(1)nnq Saqa当1q时，1.1nnaqaSq；当1q时，12naaa，则1.nSna错位相减法等比数列等比数列前 n 项和应用数列求和1Snan11aaqnqSn11(1)(1 )11nnSnaqa

12、qqq1q1q精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页2、等比数列前n 项和公式推导方法二：由等比数列的定义，得32121nnaaaqaaa，运用分式的性质，23121nnaaaqaaa，即1nnnSaqSa，当1q时，1.1nnaqaSq当1q时，12naaa，则1.nSna综上：11 (1) (1)(1)1nnnaqSaqqq课时作业【教材作业】习题 2.5 A 组1. 【解答】【基础】【容易】【等比数列的求和】【思路】直接利用等比数列的通项公式以及求和公式求解. 【解答】精选学习资料 - - - - - - - -

13、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页解法二： 因为3311=1,=4,22as当q=1时，13111=1,=3=4,22asa符合题意；当q1时，由等比数列的通项公式及求和公式得，21311=1,2(1-q )1=4,1-2a qaq两式作商，得321-=3,(1- )qqq即322q -3+1=0,q即3222q -2-q +1=0,q所以2(2q - -1)(q-1)=0,q又q1，所以1q=-2，代入211a q =12得1a =6.综上可得11a =1, =12q或11a =6,q=-2.【反思】第二小题的解法一直接利用了3123=+saaa及等比数列

14、的通项公式避免了对公比是否为1 的讨论 .2.【解答】【基础】【容易】【等比数列求和的应用】【思路】每年的年产值构成一个以1381.1为首项，以1.1 为公比的等比数列，问题是求解其前5 项的和 .【解答】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页【反思】本题要求的是“今后5 年”的总产值，不包括去年的138 万元 . 3.【解答】【巩固】【中档】【等比数列求和的应用】【思路】 10 个正方形的面积构成以4 为首项，12为公比的等比数列，分别利用通项公式以及求和公式进行求解即可.【解答】【反思】由于（1）中已经求出10a，

15、故可以利用求和公式11010-=1-a a qsq进行求和 . 5. 【解答】【巩固】【中档】【等比数列求和的应用】【思路】由题意球每次弹起的高度构成以50 为首项，12为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式进行求解即可.【解答】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页【反思】在求解过程中要特别注意：最初球是从100 米高处落下的，故球第一次着地时经过的路程为100 米；其次从球再次落地时每次所经过的路程是一个来回-弹上再落下 . 6.【解答】【巩固】【中档】【等比数列求和的应用】【思路】根据396,s ,ss成等差数

16、列，利用等差中项以及等比数列的求和公式得到公比q,再利用等比数列的通项公式表示出285,a ,aa，证明8252a =+aa即可 .【解答】【反思】在得到632q =1+q后可以解出3q，代入285,a ,aa亦可得证 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页B组1.【解答】【巩固】【中档】【等比数列的求和】【思路】观察恒等式的结构形式，考虑从左端入手，将恒等式的左端提取出na，剩余各项构成以1 为首项，ba为公比的等比数列，利用求和公式进行计算即可得到右端.【解答】【反思】本题还可以从左端提取出nb，剩余各项构成

17、以()nab为首项，ba为公比的等比数列，利用求和公式进行计算即可得到右端.3.【解答】【巩固】【中档】【等比数列求和的应用】【思路】每年的回收量构成以100 为首项， 1.2 为公比等比数列，利用等比数列的通项公式以及求和公式即可求解. 【解答】【反思】以2002 年的回收量作为数列首项，2010 年的回收量应该是数列的第8 项，要注意把数列的项数计算准确. 4.【解答】【巩固】【中档】【等比数列求和的应用】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页【思路】结合题目要求以及相应的数学模型进行解答. 【解答】 (1)解：

18、因为三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%，故依教育储蓄的方式，每月存50 元，连续存3 年，到期一次可支取本息共236)365050( 0.21%+1 8001 869.93(元因为五年整存整取存款年利率为2.79%，月利率为0.232 5%，故依教育储蓄的方式，若每月存入每月存50 元，连续存6 年，到期一次可支取本息共272)725050( 0.232 5%+3 600 3 905.50(元(2)每月存入每月存a 元，连续存3 年，到期一次可支取本息共236)36(aa 0.21%+36a(元若每月存入每月存a 元，连续存6 年，到期一次可支取本息共272)72(aa

19、0.232 5%+72a(元(3)因为三年期零存整取存款年利率为1.89%，月利率为0.157 5%，故每月存50 元，连续存3 年，到期一次可支取本息共236)365050( 0.157 5% 80%+1 800=1 841.96( 元比教育储蓄的方式少收益27.97(元(4)设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得236)36(xx 0.21%+36x解得 x267.39( 元)，即每月应存入267.39(元(5)设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得236)36(xx 0.21%+36x10 000a解得 x=3986.3710000a=267.39a，即每月应存入267.39a(

20、元(6)根据银行出台的教育储蓄管理办法，需要提前支取的，在提供证明的情况下，按实际存期和开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计付利息，并免征储蓄存款利息所得税.故该学生支取时，应按照三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%进行计算 .由计算公式得248)48100100( 0.21%+4 8005 046.96(元(7)与第 6 小题类似，应根据实际存期进行同档次计算一到两年的按一年期整存整取计息.一年期整存整取存款年利率为1.98%，月利率为，故当 b=1 或 2 时，由计算公式得212)12(bbaa 0.165%+12ab(元当 b=3 或 4 或 5 时，应按照三年

21、期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为 0.21%进行计算 .根据计算公式得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页212)12(bbaa 0.21%+12ab(元(8)此题可以选择多种储蓄方式，学生可能提供多个结果，只要他们计算方式符合规定的储蓄方式即可 .教师可以组织学生讨论，然后选择一个最佳答案【反思】【补充作业】1.在等比数列 an中 a12， 前 n项和为 Sn， 若数列 an1也是等比数列， 则 Sn等于 () A2n12 B3nC2nD3n1 【思路】利用等差、等比数列的特点考虑只能为an为常数列，从

22、而容易得解. 【解答】 要an是等比数列，an1 也是等比数列，则只有an为常数列，故Snna12n.答案： C 【反思】 抓住只有常数列有此性质是本题的关键，也是技巧； 否则逐一验证，问题运算量就较大2.某人为了观看2012 年奥运会，从2005 年起，每年5 月 10 日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2012 年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数( 元) 为( ) Aa(1p)7Ba(1p)8C.ap(1 p)7(1 p) D.ap(1 p)8(1 p) 【思路】从 2005年起每年存入的a元到 2012年所得的本息

23、和构成以a(1 p)7为首项，以11+p为公比的等比数列.所求取回的钱的总数即为该数列前7 项的和 . 【解答】选D.2005 年存入的a元到 2012 年所得的本息和为a(1 p)7，2006 年存入的a元到 2012 年所得的本息和为a(1 p)6，依此类推，则2011 年存入的a元到 2012 年的本息和为a(1 p) ，每年所得的本息和构成一个以a(1p) 为首项， 1p为公比的等比数列，则到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页2012 年取回的总额为a(1 p) a(1 p)2a(1p)77(1+ )1-

24、(1+p) 1-(1+p)ap=ap(1 p)8(1p) 【反思】本题中每年存入的a元到 2012 年所得的本息和构成的数列公比为11+p，考虑到在计算过程中比较麻烦，故求和时可以看成是以a(1 p)为首项，1+p为公比的思路求和.3.一个正整数数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2 倍 )：第 1 行1 第 2 行2 3 第 3 行4 5 6 7 则第 9 行中的第4 个数是 ( ) A132 B255 C259 D260 【思路】观察表格中的数据特点，可知每行中的第一个数，构成以1 为首项，公比为2 的等比数列，从而问题就容易解决了. 【解答】 由数表知表中各行数的个数构成一

25、个以1 为首项， 公比为 2 的等比数列 前 8行数的个数共有12812255( 个)，故第 9 行中的第4 个数是 259. 答案： C. 【反思】有关表格类的数字信息问题，关键是根据数据信息，寻找数字特征，发现一定规律性，进而进行求解. 4. 设等比数列 an的前n项和为Sn，若a11，S64S3，则a4_. 【思路】直接利用等比数列的求和公式进行求解. 【解答】由题意知an 的公比q不为 1，又由S64S3得6311(1-q )(1-q )=41-q1-qaa，解得q33，a4a1q313 3. 答案： 3 【反思】注意首项判断等比数列的公比是否为1，然后再选择合理的公式进行求解. 5.

26、 an是等比数列，前n 项和为 Sn，S27， S691，则 S4 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页【思路】由S27，S691 利用求和公式列出关于首项和公比的方程组，解得1a和q，再由求和公式得到S4的值 . 【解答】由题意知，公比不等于1，设数列 an的公比为q，S27，S691. a1 a2 7，a1 a2 a3a4a5a691，a1 a2 7，77q27q491，q4q2120，q23. S4a1(1q4)1 qa1(1q)(1 q2)(a1a1q)(1q2)28. 答案： 28 【反思】 应用求

27、和公式时要准确的表示公式中的每个量；当公比为参变量时需要对其进行讨论. 6. 求等比数列1，2，4，从第5 项到第 10 项的和 . 【思路】 第 5 项到第 10 项的和即前10 项的和减去前4 项的和 .【解答】 由22, 121qaa得1521)21(144S，102321)21(11010S从第 5 项到第 10 项的和为10S-4S=1008 【反思】本题还可以根据等比数列的性质：等比数列1，2，4，从第 5项到第 10项仍然构成等比数列，该数列以5=16a为首项， 2为公比，直接利用求和公式求解. 7.画一个边长为 2cm 的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依

28、次类推 . 若一共画了 7个正方形，求第7个正方形的面积；若已知所画正方形的面积和为314，求一共画了几个正方形，及所画的最后一个正方形的面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页【思路】每个正方形的面积构成以4 为首项，12为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式以及通项公式求解即可. 【解答】由题意得：每个正方形的面积构成等比数列，且1142aq（ 1）7n671116aaq（ 2）-11111nnnnaa qaqSq114214 12311412nnna514nna答：（ 1）第七个正方形的面积是2116cm

29、。（2）一共测了 5个正方形，所画的最后一个正方形的面积是214cm。【反思】注意正确利用求和公式和通项公式，求和公式中公比的幂指数为n，通项公式中公比的幂指数为 n-1. 8. 一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？最快几小时全球（67.6亿）人都知道这个消息？【思路】由题意知每个小时新得知该信息的人数构成以1 为首项，2 为公比的等比数列，n 个小时后知道该信息的人数即为该数列前n 项的和 . 【解答】根据题意可知，获知此信息的人数成首项2, 11qa的等比数列则：一天内获知此信息的人数为：（人）1

30、6777215122121242424S（人）4294967295122121323232S（人）8589934591122121333333S最快 33 个小时全球人都知道这个消息。【反思】 本题要注意n 个小时后知道该信息的人数即为该数列前n 项的和， 而不是该数列的第 n 项. 【预习作业】下一节课， 我们要继续学习等比数列的前n 项和的一些性质以及常见的一些求和方法，请大家预习课时详解第十八课时，并思考下列问题：等比数列的前n 项和有哪些性质？数列的求和方法还有哪些？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页【答案】 1、等比数列前n 项和性质：（1）na是等比数列BAqSnn其中0, 1,0BAqA.（2）nS为等比数列的前n 项和 , 0nS，则232,(),kkkkkSSSSSkN是等比数列（3）在等比数列中, 若项数为2 ()n nN,偶S与奇S分别为偶数项和与奇数项和, 则偶奇SqS. 2. 数列求和的常用方法：公式法，错位相减法，分组求和法，裂项法，倒序相加法.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页