2022年2021年高考理科全国1卷数学2 .pdf

《2022年2021年高考理科全国1卷数学2 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年2021年高考理科全国1卷数学2 .pdf（26页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共 4 页，23 小题，满分 150分，考试用时 120 分钟。注意事项：1 答卷前，考生务必将自己的姓名、 考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B铅笔将试卷类型（ B）填涂在答题卡的相应位置上。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答

2、题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合24260MxxNx xx，则MN=A. 43xxB. 42xxC. 22xxD. 23xx【答案】 C 【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养采取数轴法， 利用数形结合的思想解题【详解】由题意得，42 ,23MxxNxx，则22MNxx故选 C【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -

3、 - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 26 页 - - - - - - - - - 2.设复数 z满足=1iz，z在复平面内对应的点为(x， y)，则A. 22+11()xyB. 22(1)1xyC. 22(1)1xyD. 22( +1)1yx【答案】 C 【解析】【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C【详解】,(1) ,zxyi zixyi22(1)1,zixy则22(1)1xy 故选 C【点睛】 本题考查复数

4、的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养采取公式法或几何法，利用方程思想解题3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2abc，则A. abcB. acbC. cabD. bca【答案】 B 【解析】【分析】运用中间量0 比较,a c，运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a0.20221,b0.3000.20.21,则01,cacb故选 B【点睛】 本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养采取中间变量法，利用转化与化归思想解题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资

5、料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 26 页 - - - - - - - - - 4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（512 0.618 ，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm【答案】 B 【解析】【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解【 详 解 】

6、 设 人 体 脖 子 下 端 至 腿 根 的 长 为x cm ， 肚 脐 至 腿 根 的 长 为y cm ， 则2626511052xxy，得42.07,5.15xcm ycm又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为4207+515+105+26=17822，接近 175cm故选 B【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养采取类比法，利用转化思想解题5.函数 f(x)=2sincosxxxx在 ， 的图像大致为A. B. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - -

7、- - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 26 页 - - - - - - - - - C. D. 【答案】 D 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，得( )f x 是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案【详解】由22sin()()sin()( )cos()()cosxxxxfxf xxxxx，得( )f x 是奇函数，其图象关于原点对称又221422()1,2()2f2( )01f故选 D【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“

8、重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3 个阳爻的概率是A. 516B. 1132C. 2132D. 1116【答案】 A 【解析】【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养， “重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 26 页 - - - - - -

9、 - - - 爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算【详解】由题知，每一爻有2 中情况，一重卦的6 爻有62情况，其中6爻中恰有3 个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3 个阳爻的概率为3662C=516，故选 A【点睛】 对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题7.已知非零向量a，b 满足a= 2b，且（ab）b，则 a 与 b 的夹角为A. 6B. 3C. 23D. 56【答案】 B 【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量

10、积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养先由()abb得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角【详解】因为()abb，所以2()abba bb=0，所以2a bb，所以cos=22|12 |2a bbabb，所以a与b的夹角为3，故选 B【点睛】 对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为0,8.如图是求112122的程序框图，图中空白框中应填入名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选

11、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 26 页 - - - - - - - - - A. A=12AB. A=12AC. A=112AD. A=112A【答案】 A 【解析】【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、 分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择【详解】执行第1次，1,122Ak是，因为第一次应该计算1122=12A，1kk=2，循环，执行第 2次，22k，是，因为第二次应该计算112122=12A，1kk=3，循环，执行第3 次，22k，否，输出，故循环体为12AA，故选 A【点睛】秒杀速解认

12、真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12AA9.记nS为等差数列na的前 n 项和已知4505Sa，则A. 25nanB. 310nanC. 228nSnnD. 2122nSnn名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 26 页 - - - - - - - - - 【答案】 A 【解析】【分析】等 差 数 列 通 项 公 式 与 前n 项 和 公 式 本 题 还 可 用 排 除 ， 对B ，55a，44( 72)1002S， 排除 B， 对 C，

13、245540,258 50105SaSS，排除 C对 D，24554150,52 50522SaSS，排除 D，故选 A【详解】由题知，41514430245dSaaad，解得132ad，25nan，故选 A【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养 利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断10. 已知椭圆C 的焦点为121,01,0FF()，()，过 F2的直线与C 交于 A， B 两点 .若222AFF B，1ABBF ，则 C 的方程为A. 2212xyB. 22132xyC. 2214

14、3xyD. 22154xy【答案】 B 【解析】【分析】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设2F Bn，则212 ,3AFnBFABn，由椭圆的定义有121224 ,22aBFBFnAFaAFn 在12AF F和12BF F中，由 余 弦 定 理 得22212221442 22 cos4,422 cos9nnAF FnnnBF Fn， 又2121,AF FBF F互 补 ，2121coscos0AF FBF F， 两式消去2121coscosAF FBF F,， 得223611nn，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资

15、料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 26 页 - - - - - - - - - 解得32n222242 3 ,3 ,312 ,anabac所求椭圆方程为22132xy，故选 B【详解】如图，由已知可设2F Bn，则212 ,3AFnBFABn，由椭圆的定义有121224 ,22aBFBFnAFaAFn 在1AF B中 ， 由 余 弦 定 理 推 论 得22214991cos2 233nnnF ABnn 在12AF F中，由余弦定理得221442 2243nnnn，解得32n222242 3 ,3 ,3 12 ,anabac所求椭圆方程为22132x

16、y，故选 B【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、 转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养11. 关于函数( )sin | sin|f xxx有下述四个结论：f(x)是偶函数f(x)在区间（2,）单调递增f(x)在,有 4 个零点 f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A. B. C. D. 【答案】 C 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 26 页 - - - - - - - - - 【解析】

17、【分析】化简函数sinsinfxxx，研究它的性质从而得出正确答案【详解】sinsinsinsin,fxxxxxfxfxQ为偶函数，故正确当2x时，2sinfxx， 它在区间,2单调递减，故错误当0 x时，2sinfxx，它有两个零点：0；当0 x时，sinsin2sinfxxxx，它有一个零点：， 故fx在,有3个零点：0， 故 错 误 当2, 2xkkkN时 ，2sinfxx； 当2, 22xkkkN时 ，sinsin0fxxx， 又fx为 偶 函 数 ，fx的最大值为2，故正确综上所述，正确，故选C【点睛】画出函数sinsinfxxx的图象，由图象可得正确，故选C12. 已知三棱锥P-A

18、BC 的四个顶点在球O 的球面上， PA=PB=PC， ABC 是边长为 2 的正三角形， E， F 分别是 PA， PB 的中点， CEF=90，则球O 的体积为A. 8 6B. 4 6C. 2 6D. 6【答案】 D 【解析】【分析】先证得PB平面PAC， 再求得2PAPBPC， 从而得PABC为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 26 页 - - - - - - - - - 【

19、详解】 解法一 :,PAPBPCABCQ为边长为 2 的等边三角形，PABC为正三棱锥，PBAC，又E，F分别为PA、AB中点，/ /EFPB，EFAC，又EFCE，,CEACCEFI平面PAC，PB平面PAC，2PABPAPBPC，PABC为正方体一部分，22226R，即36446 6,62338RVR，故选 D解法二 :设2PAPBPCx，,E F分别为,PA AB中点，/ /EFPB，且12EFPBx，ABCQ为边长为2 的等边三角形，3CF又90CEF213,2CExAEPAxAEC中余弦定理2243cos2 2xxEACx，作PDAC于D，PAPCQ，名师归纳总结 精品学习资料 -

20、- - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 26 页 - - - - - - - - - DQ为AC中点，1cos2ADEACPAx，2243142xxxx，221221222xxx，2PAPBPC，又=2AB BC AC，,PAPBPC两两垂直，22226R，62R，3446 66338VR，故选 D. 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决二、填空题：本题共4 小题，每小题 5

21、分，共 20 分。13. 曲线23()exyxx在点(0,0)处的切线方程为_ 【答案】30 xy.【解析】【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数， 确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：/223(21)3()3(31),xxxyxexx exxe所以，/0|3xky所以，曲线23()exyxx在点(0,0)处的切线方程为3yx ，即30 xy【点睛】 准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求14. 记 Sn为等比数列 an的前 n 项和若214613aaa，则 S5=_ 【答

22、案】1213.【解析】名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 26 页 - - - - - - - - - 【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q的方程， 应用等比数列的求和公式，计算得到5S题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查【详解】设等比数列的公比为q，由已知21461,3aaa，所以32511(),33qq又0q，所以3,q所以55151(1 3 )(1)12131133aqSq【点睛】准确计算，是解答此类问题基本

23、要求本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束） 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“ 主主客客主客主” 设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41 获胜的概率是 _ 【答案】 0.216. 【解析】【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查【 详 解 】 前 四 场 中 有 一 场 客 场 输 ， 第 五 场 赢 时 ，

24、 甲 队 以 4:1 获 胜 的 概 率 是30.60.50.520.108,前四场中有一场主场输，第五场赢时， 甲队以 4:1 获胜的概率是220.40.60.520.072,综上所述，甲队以4:1 获胜的概率是0.1080.0720.18.q【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1 获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算的名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1

25、2 页，共 26 页 - - - - - - - - - 16. 已知双曲线C：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为F1，F2，过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于A， B两点 若1F AABuuu ruuu r，120F B F Bu uu r uuu r， 则 C的离心率为 _ 【答案】 2. 【解析】【分析】通过向量关系得到1F AAB和1OAF A，得到1AOBAOF，结合双曲线的渐近线可得21,BOFAOF02160 ,BOFAOFBOA从而由0tan603ba可求离心率 . 【详解】如图，由1,F AABuuu ru uu r得1.F AAB又12,OFOF得

26、OA是三角形12F F B的中位线，即22/ /,2.BFOA BFOA由120F B F Bu uu r u uu u rg，得121,F BF B OAF A则1OBOF有1AOBAOF，又 OA与 OB都是渐近线，得21,BOFAOF又21BOFAOBAOF，得02160 ,BOFAOFBOA又渐近线 OB的斜率为0tan603ba，所以该双曲线的离心率为221()1(3)2cbeaa【点睛】 本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养采取几何法，利用数形结合思想解题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721名师归纳总

27、结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 26 页 - - - - - - - - - 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17.VABC的内角 A， B， C 的对边分别为a， b， c， 设22(sinsin)sinsinsinBCABC（1）求 A；（2）若22abc，求 sinC【答案】（1）3A； （ 2）62sin4C. 【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可

28、得：222bcabc，从而可整理出cosA，根据0,A可求得结果；（ 2）利用正弦定理可得2 sinsin2sinABC，利用sinsinBAC、两角和差正弦公式可得关于sinC和cosC的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果. 【详解】（1）2222sinsinsin2sinsinsinsinsinsinBCBBCCABC即：222sinsinsinsinsinBCABC由正弦定理可得：222bcabc2221cos22bcaAbc0,AQ3A=（2）22abcQ，由正弦定理得：2 sinsin2sinABC又sinsinsincoscossinBACACAC，3A3312cossin

29、2sin222CCC整理可得：3sin63cosCC名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 26 页 - - - - - - - - - 22sincos1CCQ223sin63 1 sinCC解得：62sin4C或624因6sin2sin2sin2sin02BCAC所以6sin4C，故62sin4C. （2）法二：22abcQ，由正弦定理得：2 sinsin2sinABC又sinsinsincoscossinBACACAC，3A3312cos

30、sin2sin222CCC整理可得：3sin63cosCC，即3sin3cos2 3sin66CCC2sin62C由2(0,),(,)3662CC，所以,6446CC62sinsin()464C. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系. 18. 如图， 直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形， AA1=4，AB=2， BAD=60，E，M，N 分别是 BC，BB1， A1D 的中点名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - -

31、- - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 26 页 - - - - - - - - - （1）证明： MN平面 C1DE；（2）求二面角A-MA1-N 的正弦值【答案】（1）见解析；（2）105. 【解析】【分析】（1） 利用三角形中位线和11/ /AD BC可证得/ /MEND， 证得四边形MNDE为平行四边形，进而证得/ /MNDE，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形ABCD对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取AB中点F，可证得DF平面1AMA，得到平面1AMA的法向量DFuuu r；再

32、通过向量法求得平面1MAN的法向量nr，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值. 【详解】（1）连接ME，1B CMQ，E分别为1BB，BC中点ME为1B BC的中位线1/MEBC且112MEB C又N为1A D中点，且11/AD BC1/NDBC且112NDB C/ME ND四边形MNDE为平行四边形/ /MNDE，又MN平面1C DE，DE 平面1C DE/ /MN平面1C DE名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1

33、6 页，共 26 页 - - - - - - - - - （2）设ACBDOI，11111ACB DOI由直四棱柱性质可知：1OO平面ABCDQ四边形ABCD为菱形ACBD则以O为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：3,0,0A，0,1,2M，13,0, 4A，D（0，-1,0 ）31,222N取AB中点F，连接DF，则03 1,22FQ四边形ABCD为菱形且60BADoBAD为等边三角形DFAB又1AA平面ABCD，DF平面ABCD1DFAADF平面11ABB A，即DF平面1AMADFuuu r为平面1AMA一个法向量，且3 3,022DFu uu r设平面1MAN的法向量, ,n

34、x y zr，又13,1,2MAuuuu r，33,022MNu uu u r132033022n MAxyzn MNxyu uu u vru uu u vr，令3x，则1y，1z3,1,1nr315cos,515DF nDF nDFnuuu rruu u rruu u rr10sin,5DF nuuu rr二面角1A MAN的正弦值为：105的名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 26 页 - - - - - - - - - 【点睛】本题考

35、查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型. 19. 已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若 |AF|+|BF|=4，求 l 的方程；（2）若3APPBuuu ru u u r，求 |AB|【答案】（1）12870 xy； （2）4 133. 【解析】【分析】（1） 设直线l：3y =xm2，11,A x y，22,B xy； 根据抛物线焦半径公式可得121xx+；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关

36、于m的方程，解方程求得结果；（2）设直线l：23xyt；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3APPBuuu ruuu r可得123yy，结合韦达定理可求得12y y；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）设直线l方程为：3y =xm2，11,A x y，22,B xy由抛物线焦半径公式可知：12342AFBFxx1252xx联立2323yxmyx得：229121240 xmxm则2212121440mm12m121212592mxx，解得：78m直线l的方程为：3728yx，即：12870 xy名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

37、 -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 26 页 - - - - - - - - - （2）设,0P t，则可设直线l方程为：23xyt联立2233xytyx得：2230yyt则4 120t13t122yy，1 23y yt3APPBuuu ruuu rQ123yy21y，13y123y y则212124134 1314412933AByyy y【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用 .关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 20. 已知函数(

38、)sinln(1)f xxx，( )fx为( )f x 的导数证明：（1）( )fx在区间( 1,)2存在唯一极大值点；（2）( )f x 有且仅有2 个零点【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在1,2上单调递减，根据零点存在定理可判断出00,2x，使得00gx，进而得到导函数在1,2上的单调性，从而可证得结论；（2）由（ 1）的结论可知0 x为fx在1,0上的唯一零点；当0,2xp骣?西?桫时，首先可判断出在()00,x上无零点，再利用零点存在定理得到fx在0,2x上的单调性，可知0fx，不存在零点；当,2x时，利用零点存在定理和fx单调性可判

39、断出存名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 26 页 - - - - - - - - - 在唯一一个零点；当,x，可证得0fx；综合上述情况可证得结论. 【详解】（1）由题意知：fx定义域为：1,且1cos1fxxx令1cos1g xxx，1,2x21sin1gxxx，1,2x211xQ在1,2上单调递减，1111,7nnaa在1,2上单调递减gx在1,2上单调递减又0sin0110g，2244sin102222g00,2x，使得00gx当0

40、1,xx时，0gx；0,2xx时，0gx即g x01,x上单调递增；在0,2x上单调递减则0 xx为g x唯一的极大值点即：fx在区间1,2上存在唯一的极大值点0 x. （2）由（ 1）知：1cos1fxxx，1,x当1,0 x时，由（ 1）可知fx在1,0上单调递增00fxffx在1,0上单调递减又00f0 x为fx在1,0上的唯一零点名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 26 页 - - - - - - - - - 当0,2x时，fx在(

41、)00,x上单调递增，在0,2x上单调递减又00f00fxfx在()00,x上单调递增，此时00fxf，不存在零点又22cos02222f10,2xx，使得10fxfx在01,x x上单调递增，在1,2x上单调递减又000f xf，2sinln 1lnln102222ef0fx在0,2x上恒成立，此时不存在零点当,2x时，sin x单调递减，ln1x单调递减fx在,2上单调递减又02f，sinln1ln10f即02ff，又fx在,2上单调递减fx在,2上存在唯一零点当,x时，sin1,1x，ln1ln1ln1xesinln10 xx即fx在,上不存在零点综上所述：fx有且仅有2个零点名师归纳总

42、结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 26 页 - - - - - - - - - 【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可. 21. 为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只

43、施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验， 并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定： 对于每轮试验， 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分， 乙药得1分； 若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为和 ，一轮试验中甲药的得分记为X（1）求X的分布列；（2） 若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,8)ip iL表示 “ 甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效” 的概率，则0

44、0p，81p，11iiiipapbpcp(1,2,7)iL， 其中(1)aP X，(0)bP X，(1)cP X 假设0.5，0.8(i)证明：1iipp(0,1,2,7)iL为等比数列；(ii) 求4p，并根据4p的值解释这种试验方案的合理性【答案】（1）见解析；（2） （i）见解析；（ii）41257p. 【解析】【分析】（1）首先确定X所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列； （2）（i）求解出, ,a b c的取值，可得110.40.50.11,2,7iiiippppi，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方

45、式，结合8p和0p的值可求得1p；再次利用累加法可求出4p. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 26 页 - - - - - - - - - 【详解】（1）由题意可知X所有可能的取值为：1， 0 ，111P X；011P X；11P X则X的分布列如下：X101P1111（2）0.5Q，0.80.5 0.80.4a，0.5 0.80.5 0.20.5b，0.5 0.20.1c（i）111,2,7iiiipapbpcpiQ即110.40.5

46、0.11,2,7iiiippppi整理可得：11541,2,7iiipppi1141,2,7iiiippppi1iipp0,1 ,2,7i是以10pp为首项，4为公比的等比数列（ii ）由（ i）知：110144iiiippppp78714ppp，67614ppp，01014ppp作和可得：88017801111 44144411 43ppppp18341p44012344011841 44131144441 434141257ppppp4p表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8 时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p，此时得出错误结

47、论的概率非常小，说明这种实验方案合理. 【点睛】 本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 26 页 - - - - - - - - - 解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高. （二）选考题：共10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

48、22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为2221141txttyt，（t为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos3sin110（1）求 C 和 l直角坐标方程；（2）求 C 上的点到l 距离的最小值【答案】（1）22:14yCx；: 23110lxy； （2）7【解析】【分析】（1） 利用代入消元法， 可求得C的直角坐标方程； 根据极坐标与直角坐标互化原则可得l的直角坐标方程； （2）利用参数方程表示出C上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围

49、可求得最值. 【详解】（1）由2211txt得：211xtx，又2222161tyt22211614 1144111xxyxxxxx整理可得C的直角坐标方程为：2214yx的名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 26 页 - - - - - - - - - 又cosx，sinyl的直角坐标方程为：23110 xy（2）设C上点的坐标为：cos ,2sin则C上的点到直线l的距离4sin112cos2 3sin11677d当sin16时，d取最

50、小值则min7d【点睛】 本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题 .求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题. 23. 选修 4-5：不等式选讲已知 a，b， c为正数，且满足abc=1证明：（1）222111abcabc；（2）333()()()24abbcca【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用1abc=将所证不等式可变为证明：222abcbcacab，利用基本不等式可证得2222222abcabbcac，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得3333abbccaabbcc