2022年2021年高考理科数学全国2卷 .pdf

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1、12B-SX-0000008- 1 - - 2 -学校：_年_班姓名：_学号：_-密封线-密封线-绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国 II 卷（全卷共10 页）(适用地区：甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、陕西、重庆、西藏)注意事项：1 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3 考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。一、 选择题：本题共12 小题，每小题5 分，

2、共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 3+i1+i=A1+2i B1 2i C2+i D2i2. 设集合 A=1,2,4 ，B= x24 x+m=0 ，若 A B=1 ，则 B =A1, 3 B1,0 C1,3 D1,53. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“ 远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一， 请问尖头几盏灯？” 意思是：一座 7 层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯A1 盏B3 盏C5 盏D9 盏4. 如图， 网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将

3、一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A90 B63 C42 D365.设 x、y 满足约束条件2x+3y 302x 3y+3 0y+30，则 z=2x+y 的最小值是A15 B9 C 1 D96. 安排 3 名志愿者完成4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式共有A12 种B18 种C 24 种D36 种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩。老师说：你们四人中有2 位优秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的

4、成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的a=1 ，则输出的S=A2 B3 C4 D59. 若双曲线C：x2a2y2b2=1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x 2)2+y2=4 所截得的弦长为2，则 C 的离心率为 ( )A2 B3 C2 D2 33名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 12B-SX-0000008- 3 - - 4 -10. 已知直三

5、棱柱ABC A1B1C1中，ABC=120，AB=2，BC=CC1=1， 则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为( )A32B155C105D3311. 若 x=2 是函数 f(x)=(x2+ax1)ex1的极值点，则f(x) 的极小值为 ( )A 1 B 2e3C5e3D1 12. 已知ABC是边长为2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则()PAPBPCuu u ruu u ruuu r的最小值是（）A.2B.32C. 43D.1二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽

6、到的二等品件数，则D_14.函数23sin3 cos4fxxx（0,2x） 的最大值是 _15.等差数列na的前n项和为nS，33a，410S， 则11nkkS_16.已知F是抛物线C:28yx的焦点，是C上一点，F的延长线交y轴于点若为F的中点，则F_三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第1721 题为必做题， 每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题， 考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17. （12 分）ABC的内角,A B C的对边分别为, ,a b c,已知2sin()8sin2BAC(1)求cosB(2)若6ac, ABC面积为 2

7、,求. b18. （12 分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）其频率分布直方图如下：旧养殖法0.0340.0320.0240.0140.01225 30箱产量/ kg频率/ 组距0.0400.02007065605550454035箱产量/ kg频率/组距0.0680.0460.0440.0200.01000.0080.0047065605550454035名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - -

8、- - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 12B-SX-0000008- 5 - - 6 -（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件 “ 旧养殖法的箱产量低于 50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计 A 的概率；（2）填写下面列联表， 并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量 50kg箱产量 50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）P（?2? ）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82822()()()()()n

9、 adbcKabcdac bd19. （12 分）如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD，o1,90 ,2ABBCADBADABCE 是 PD 的中点 . （1）证明：直线/ /CE平面 PAB（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为o45，求二面角 M-AB-D 的余弦值EABDPCM名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 12B-

10、SX-0000008- 7 - - 8 -20. （12 分）设 O 为坐标原点，动点M 在椭圆 C：2212xy上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为N，点 P 满足2NPNMu uu ruuuu r.(1) 求点 P 的轨迹方程；(2) 设点 Q 在直线 x=-3 上，且1OP PQu uu r uuu r.证明：过点P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 21. （12 分）已知函数2( )ln,f xaxaxxx且( )0f x.（1）求 a；（2）证明：( )f x存在唯一的极大值点0 x，且220()2ef x.名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - -

11、- - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 12B-SX-0000008- 9 - - 10 -（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22. 选修 4-4：坐标系与参数方程（ 10 分）在直角坐标系xOy 中， 以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为cos4（1）M 为曲线1C上的动点，点P 在线段 OM 上，且满足| | 16OMOP,求点 P 的轨迹2C的直角坐标方

12、程；（2）设点 A 的极坐标为(2,)3，点 B 在曲线2C上，求OAB面积的最大值23. 选修 4-5：不等式选讲 （10 分）已知330,0,2abab，证明：（1）55()()4ab ab；（2）2ab名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 12B-SX-0000008- 11 - - 12 -2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国 卷 答案一、选择题1.D 2.C 3.B 4.B

13、5.A 6.D7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B二、填空题13. 1.96 14. 1 15. 2n1n16. 6三、解答题17.解：（1）由题设及2sin8sin2ABCB得，故sin4-cosBB（1）上式两边平方，整理得217cos B-32cosB+15=0解得15cosB=cosB171（舍去），=（2）由158cosBsin B1717=得，故14a sin217ABCScBac又17=22ABCSac，则由余弦定理及a6c得2222b2cosa2(1 cosB)1715362(1)2174acacBac（ +c）所以 b=218.解：（1）记 B 表示事件 “

14、旧养殖法的箱产量低于50kg ” ， C 表示事件 “ 新养殖法的箱产量不低于 50kg ” 由题意知 P AP BCP B P C旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为0.0400.0340.0240.0140.0125=0.62（）故 P B 的估计值为0.62新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为0.0680.0460.0100.0085=0.66（）故 P C 的估计值为0.66因此，事件A 的概率估计值为0.620.660.4092（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量50kg箱产量50kg旧养殖法6238新养殖法3466222006266343815.7051001009

15、6104K由于15.7056.635故有 99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图面积为0.0040.0200.04450.340.5 ，箱产量低于55kg 的直方图面积为0.0040.0200.044+0.06850.680.5故新养殖法箱产量的中位数的估计值为0.5-0.3450+2.35 kg0.068（）5名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - -

16、- - - - - 12B-SX-0000008- 13 - - 14 -19.解：（1）取PA中点F，连结EF，BF因为E为PD的中点，所以EFADP,12EFAD=,由90BADABC得BCAD，又12BCAD所以 EFBC四边形 BCEF 为平行四边形，CEBF又 BFPAB平面， CEPAB平面，故 CEPAB平面（2）由已知得BAAD,以 A 为坐标原点， ABuu u r的方向为x 轴正方向， ABuuu r为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz, 则则(000)A， ，(100)B， ，(1 10)C， ，(013)P， ，(103)PCu uu r， ，,(10 0)

17、ABu uu r， 则(x1),(x13)BMyzPMyzu uuu ru uu u r， ，因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为45 ，而(0 0)n，1 是底面 ABCD 的法向量，所以0cos,sin45BM nuuuur，222z22(x1)yz即（ x-1）2+y2-z2=0又 M 在棱 PC 上，设,PMPCuuuu ru uu r则x,1,33yz由，得xxyy22=1+=1-22=1(舍去)，=166zz22所以 M261-,1，22，从而261-,1，22AMuuuu r设000,xyzm =是平面 ABM 的法向量，则00002-22600即00 xyzAMABxuuu

18、 u rguuu rgmm所以可取m=（0，-6，2） .于是 cos105gm nm, nm n因此二面角M-AB-D的余弦值为10520.解（1）设 P（x,y）,M（x0,y0）,设 N（x0,0）, 00,0,NPxxyNMyuu u ruu uu rz yxF MEDCBAP名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 12B-SX-0000008- 15 - - 16 -由2NPNMuuu ruu

19、uu r得002= ,2xx yy因为 M（x0,y0）在 C 上，所以22122xy因此点 P的轨迹方程为222xy（2）由题意知F（-1,0） .设 Q（-3，t）,P(m,n),则3,1,33tOQ,PFmnOQ PFmtnuu u ruu u ruuu r uu u rg，,3,OPm,nPQm,tnuu u ru uu r由1OP PQuuu r uuu rg得22-31mmtnn，又由（ 1）知22+=2mn，故3+3m-tn=0所以0OQ PFuuu r uuu rg，即OQPFuuu ruuu r又过点 P 存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C

20、 的左焦点F.21.解：（1）fx的定义域为0， +设gx= ax - a - lnx，则fx= xgx , fx0等价于0gx因为11 =0 ，0,故1 =0,而,1 =1, 得1ggxgg xagaax若 a=1，则11gx=x.当 0 x1 时，0,gxgx单调递减；当x1 时，gx0，gx单调递增 .所以 x=1 是g x的极小值点，故1 =0gxg综上， a=1（2）由（ 1）知2ln,()22lnfxxxxx fxxx设122ln, 则()2h xxxhxx当10,2x时，0hx；当1,+2x时，0hx，所以 h x在10,2单调递减，在1,+2单调递增又210,0,102h eh

21、h，所以 h x在10,2有唯一零点x0，在1,+2有唯一零点1，且当00,xx时，0h x；当0,1xx时，0h x，当1,+x时，0h x.因为fxh x，所以 x=x0是 f(x) 的唯一极大值点由0000000得 ln2 (1), 故=(1)fxxxfxxx由00,1x得014fx因为 x=x0是 f(x)在（ 0,1）的最大值点，由110,1 ,0efe得120fxfee所以2-202efx22.解：（1）设 P 的极坐标为，0，M 的极坐标为11，0，由题设知cos14= ，=OPOM=由16OMOP =g得2C的极坐标方程cos=40名师归纳总结 精品学习资料 - - - - -

22、 - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 12B-SX-0000008- 17 - - 18 -因此2C的直角坐标方程为22240 xyx（2）设点 B 的极坐标为，0BB,由题设知cos=2，=4BOA,于是 OAB 面积1=sin24 cossin332 sin23223BSOAAOBggg当=-12时， S 取得最大值2+ 3所以 OAB 面积的最大值为2+ 323.解：（1）5565562333344222244ababaaba bbaba bab abab ab（2）因为33223233323+3+3+2+244abaa babbab a ba ba ba b所以3+8a b，因此 a+b2.名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -