2022年旋转体的计算六年级奥数 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载第七讲 旋转体的计算分别以矩形、直角三角形、直角梯形的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台（下图）旋转轴叫做它们的轴，在轴上这条边的长度叫做它们的高，垂直于轴的边旋转而形成的圆面叫做它们的底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做它们的侧面，这条边无论旋转到什么位置，都叫做旋转体的母线圆柱的侧面展开后是个矩形，它的宽是圆柱的母线，长是圆柱底面的周长由此可得S圆柱侧2rl，其中 l 是圆柱侧面的母线长， r是底面半径（下左图）圆锥的侧面展开图是一个扇形，如上页下角图这个扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥底面的

2、周长，于是可得其中 l 是圆锥侧面的母线， C是圆锥底面的周长， r 是圆锥底面的半径圆台是用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥而得到的，所以圆台的侧面展开图是两个扇形的差，常叫扇环形这个扇环形的宽是圆台侧面的母线，外弧长和内弧长分别是圆台的下底面和上底面的周长，于是可得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习好资料欢迎下载其中 l 是圆台侧面母线长，C 上、 C 下分别是圆台上底和下底周长，r 上、 r 下分别是圆台上底和下底的半径（如下图）圆柱的体积等于它的底面积S与高 h 的乘积，即V圆柱Shr2h，其中 r 为圆柱

3、底面的半径圆锥的体积等于它的底面积S与高 h 的积的三分之一，圆台的体积是其中， r上、r下分别是上底和下底的半径例 1 甲、乙两个圆柱形水桶，容积一样大，甲桶底圆半径是乙桶的1.5倍，乙桶比甲桶高25 厘米，求甲、乙两桶的高度分析与解答 如下图由题意，设乙桶半径为r，则甲桶半径为 1.5r；甲桶高度为 h，则乙桶高度为h25，则（1.5r）2hr2（h25），2.25r2hr2（h25），2.25hh25，h20（厘米）， h2545（厘米）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习好资料欢迎下载答：甲桶高度为 20

4、厘米，乙桶高度为45厘米例 2 一块正方形薄铁板的边长是22厘米，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形，用这块扇形铁板围成一个圆锥筒，求它的容积（结果取整数部分）筒底的周长 2r11，解得 r5.5厘米因为母线长是 22 厘米，所以圆锥的高答：所求圆锥筒的容积约为674立方厘米为 2 米，圆锥的高为 1米，这堆谷重约多少公斤（谷的比重是每立方米重 720公斤，结果取整数部分）？答：这堆谷子重约306公斤例 4 有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5 厘米，高是 10厘米，再把石子全部拿出来，求此时容器内水面的高度精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

5、- - - - - - -第 3 页，共 7 页学习好资料欢迎下载解：如上页图，设石子取出后，容器内水面高度为x 厘米，则倒圆锥容器的容积等于水的体积加上石子的体积根据体积公式有x3(5210196）45442783323，x6答：石子取出后，容器内水面的高为6 厘米例 5 有一草垛，如下图，上部是圆锥形，下部是圆台形，圆锥的高为 07 米，底面圆周长为6.28米，圆台的高为1.5米，下底面周长为4.71米如果每立方米草约重150公斤，求这垛草的重量（结果取整数部分）分析与解答圆锥的体积：圆台上底半径： r上r1 米，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

6、- - - -第 4 页，共 7 页学习好资料欢迎下载草垛体积为：V圆锥V圆台0.733.634.36（立方米），故草垛的重量为： 1504.36654（公斤）答：草垛约重 654公斤例 6 如下右图，在长为 35 厘米的圆筒形管子的横截面上，最长直线段为 20 厘米，求这个管子的体积分析 如上左图， AB 是截面圆环的最长直线段，O 是截面圆环的圆心过 O 作 AB 的垂线，垂足是 C，以 O 为圆心，以 OC 为半径作圆，即管截面的内圆周连结AO，根据勾股定理有： AO2AC2CO2，AO2OC2AC2，同理 AO2OC2BC2，S圆环AO2OC2（AO2OC2）解：先求出管子横截面的圆环

7、面积为则管子的体积为：r2外径hr2内径h圆环面积 h100353500（立方厘米）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习好资料欢迎下载答：这个管子的体积为3500立方厘米例 7 一个长方形的长为 16 厘米，宽为 12厘米以它的一条对角线为轴旋转此长方体，得到一个旋转体求这个旋转体的体积（结果中保留，即不用近似值代替 ）分析与解答 如下图，记这个长方形为 ABCD ，对角线 AC 的中点为 O过 O 作 EF 垂直于 AC，分别交 BC、 AD 于 E、 F由对称性知道：EOOF设 P 为 AO 上的任一点，过 P

8、作 AO 的垂线，分别交折线ABE 和线段 AF 于 M 和 N，那么MPPN因此，四边形 ABEF 绕 AC 旋转得到的立体即为四边形ABEO 绕AC 旋转得到的立体同样，四边形CDFE 绕 AC 旋转得到的立体即为四边形 CDFO 绕 AC 旋转得到的立体并且，由于对称性，四边形ABEO与 CDFO 是完全一样的，因此由它们绕AC 旋转得到的立体也是完全一样的这样，这两个立体的体积相等所以，长方形ABCD 绕 AC 旋转得到的立体的体积等于四边形ABEO 绕 AC 旋转得到的立体的体积的两倍记由长方体 ABCD 绕 AC 旋转得到的立体为W，由四边形 ABEO 绕AC 旋转得到的立体为U，

9、由 ABB（B在 AO 上，BB垂直于 AO）、四边形 BEOB绕 AC 旋转得到的立体分别记为U1、U2显然， U1与 U2有一条公共的边界（由BB旋转而成的圆），且U1与 U2合成 U因此 Vw2VU2（VU1VU2）由 AB12厘米， BC16厘米及勾股弦定理得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习好资料欢迎下载BB9.6厘米在直角三角形 ABB中再用勾股弦定理，得AB7.2厘米，所以 BOAOAB2.8厘米U1是一个圆锥，底面半径BB9.6 厘米，高 AB7.2 厘米，所以U2是一个圆台，它是大、小两个圆锥的差，大圆锥以 BB为底面半径，CB为高，小圆锥以 EO 为底面半径， CO为高，容易知道CBCOOB12.8厘米，由 EO：OCAB：BC 可以求出 EO7.5厘米因此所以853.8（立方厘米）答：所求的旋转体体积为853.8立方厘米精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页