2022年方程的实根的判别式的意义及应用 .pdf

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1、精品资料欢迎下载专题复习一元二次方程的实根的判别式的意义及应用 ( 一) 教学目标通过练习、 交流与总结， 使学生熟练掌握一元二次方程根的判别式，培养学生的语言表达能力，进一步提高学生的解题能力及思维的严密性.教学重点： 会用判别式判定根的情况教学难点： 认真审题，分析题意，正确选择解决问题的途径教学用具： 电脑，展示台教学设计： 学生答题小组交流、讨论师生共同归纳、总结教学过程：一、课前基础训练不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）x23x+3=0; （2）x2-4x-3=0; （ 3）4x2-4x+1=0 设计意图：通过很简单的基本训练，教师对学生今天所要复习的内容的认知情况做一个了解。

2、二、知识重现提问 1：刚才在做练习时，你用了什么数学知识？提问 2：这个知识又是如何研究得到的呢？重现根的判别式由来（电脑展示）一元二次方程ax2bxc=0（ao,b2-4ac 0）的求根公式的推导ax2bxc=0 02acxabx022222acababxabx222442aacbabxa0,4a20,又 b2-4ac 0 aacbbxaacbbx24,242221根的判别式： b2-4ac ，用符号“”表示判定一元二次方程的根的情况时，当0 时,_方程有两个不等实数根_；当=0 时，方程有两个相等实数根；当0时，有两个不相等的实数根；当=0时，有两个相等的实数根；当0时，没有实数根。反之亦

3、然。2、通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法。五、巩固练习：不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x2x=5 (2)9x2 62 x+2=0 (3)x2 x+2=0 2已知关于x的方程22241210 xkxk,k为何值时， 方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根，方程没有实数根3、求证：关于x的方程22110 xkxk有两个不相等的实数根. 4、已知关于x 的一元二次方程01)12(22xkxk有两个不相等的实数根，求k 的取值范围 . 答案2.89;89;89kkk3.0542k4.041kk且教学设计说明初三的第一轮复习，应该面向全体，抓住学困生的学习

4、兴趣。因此，课堂的设计要降低门槛，以低起点低要求开始教学。参加区进修时，教研员多次提出了要回归课本，重视课本，因此教师在课上要花一定的时间，让学生重新感悟数学知识的由来，宁可复习的慢一点，不然做再多的习题，如果没有建立在理解的基础上，那也是没有实效的。本课任教的班级是初三（5）班，这是一个实验班，学生原有的数学底子相对较好，课堂上，大部分学生在课堂上能较为自觉地学习数学。因此我在课堂中发挥学生学习的主动性，采用学生先练， 再交流讨论，最后师生共同总结的方式教学，将课堂还给学生，通过复习让学生能巩固并能提高自己对知识的理解。教学反思整节课的实施过程很顺利，学生对本课的知识掌握程度不错，大部分同学

5、能较好地完成练习的 1，2，3 题，有些同学还能做对4 题，那说明同学们对本课的知识掌握还很不错，能很好地达到本课的教学目的。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页精品资料欢迎下载但是换个角度想， 本节课我这样安排是否太低估了学生的能力？我是否应该更大胆地让学生自主去探索去归纳问题呢？新的课程标准明确指出，我们要让学生学习有用的数学，让不同的学生在数学上得到了不同的发展。 因此我觉得， 本课的教学目的不仅仅是完成了本课的教学任务，学生掌握了教学内容没有，还要关注学生是否在本节数学上得到了不同的发展。回想本课的教学，我还

6、是过多地注重地要求每一位学生都应该掌握哪些知识，尽管在分层练习中设计了不同层次的题目，让优生做有难度的题目，让他们多多思考。对于学习有困难的学生， 降低学习要求， 努力达到基本要求。但是在课堂内容的呈现过程和内容探索过程中没有注重学生间的交流。其实学生才是学生最好的老师，在他们的交流中，可以先让小组中学习最薄弱的同学发言，再到能力较强的同学发言，这样， 即可以使薄弱的同学有一种压力，一定要多思多想。还可以通过组间交流，完善自己的想法。学生的潜力是无穷的，看老师怎么发掘而已，不要太主观地一味过高或过低地估计学生，给学生一个机会，学生会还我们一个奇迹。通过这次的活动和反思，我更觉得，人无完人，我们

7、只有在教学工作中，多多反思，记录教育教学过程中的所得、所失、所感，为不断创新，不断地完善自己，为不断提高教育教学水平。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页精品资料欢迎下载一元二次方程的实根的判别式的意义及应用（第 2 课时）教学目标：（1）掌握一元二次方程根的判别式的意义，利用根的判别式判断抛物线与直线或双曲线与直线有无公共点. 解决与 x 轴两交点间的距离的问题. （2）直线与抛物线( 双曲线 )的交点问题可转化为一元二次方程根的判别式符号问题. 领会转化的数学思想方法.（3）通过观察、分析、感受数学的内在联系，激

8、发学生的探求欲望。教学重点：利用根的判别式判断抛物线与直线或双曲线与直线有无公共点.教学用具： 三角板、计算机教学过程（一）知识回顾一元二次方程)0(02acbxax的根的判别式acb42，acb42的符号决定了方程的实数根的存在性. 0方程有两个不等实数根; =0 方程有两个相等实数根; 0方程没有实数根. （二）探索例 2 已知如图1，反比例函数,1xy与直线.2xy只有一个公共点P，则称 P为切点若反比例函数,xky与直线.6kxy只有一个公共点M ，求当 k0 时两个函数的解析式和切点M 的坐标 . 分析： 求反比例函数图象与一次函数图像的公共点，只需解由解析式组成的方程组，转化为一元

9、二次方程，只需考虑根的判别式.因为只有一个公共点，所以=0. 解：依题意，得., 6xkykxy消去y得,062kxkx由=04362k得3k. 又,0k3k. 图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页精品资料欢迎下载两个函数的解析式分别为xy3，和.63xy点 M 的坐标为（ 1，3）点拨 : 本题给出了证明切线的一种方法. 一元二次方程的实根的判别式的意义及应用（第 3 课时）教学目标：（1）掌握一元二次方程根的判别式的意义，利用根的判别式判定方程根的性质；证明二次三项式为完全平方式；利用其构造一元二次方程，

10、进行代数式的恒等式的证明或不等式的证明；与几何知识相联系解决如判断三角形的形状等的问题. （2）依据题目条件, 产生联想 , 转化成一元二次方程问题.体会转化的数学思想方法.（3）通过观察、分析、感受数学的内在联系，激发学生的学习兴趣。教学重点：利用其构造一元二次方程，进行代数式的恒等式的证明或不等式的证明.教学用具： 三角板、计算机教学过程（一）知识回顾一元二次方程)0(02acbxax的根的判别式acb42，acb42的符号决定了方程的实数根的存在性. 0方程有两个不等实数根; =0 方程有两个相等实数根; 0方程没有实数根. （二）探索在实数范围内,一些二次三项式cbxax2)0(a可化

11、为两个一次因式的积.其方法是先判定方程)0(02acbxax的根的判别式042acb,然后再代入求根公式aacbbx242，求出两根21xx 、,于是就有cbxax2=)(21xxxxa.特别地 ,当=0 时，方程有相等的实数根,则cbxax2=)(21xxxxa=21)(xxa，此时可以说cbxax2是完全平方式 .于是我们有如下结论:=0 二次三项式cbxax2是完全平方式. (三 )新知应用例 1 （ 1）若关于a的二次三项式25162kaa是一个完全平方式则k的值可能是 ; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10

12、页精品资料欢迎下载（2）若关于a的二次三项式142aka是一个完全平方式则k的值可能是 ; 分析：可以令二次三项等于0，若二次三项是完全平方式，则相对应的一元二次方程有两个相等的实数根. 即 =0 解：（ 1）令025162kaa关于a的方程有两个相等的实数根，=0251642k，即 k =40或-40 （2）令0142aka关于a的方程有两个相等的实数根，=16-4k=0，即k=4 点拨：本题也可由完全平方式222baba直接“凑”出。例 2 若1260,m且关于 x 的方程222(1)0 xmxm的两根均为整数，试求整数m的值。分析 :此题只有借助一元二次方程求根公式,由于方程的两根均为整

13、数,判别式必为完全平方数 .解：依题意，22 2(1)4 14(21)mmm必为完全平方数. 21m必为完全平方数且是奇数.1260,m2252111m22217219mm或. 2440.mm或经检验2440mm或均符合题意 . 2440.mm或点拨 :本题给出了求一元二次方程)0(02acbxax有整数根的一个必要条件: acb42必为完全平方数( 式).例 3 若cba、为实数，且0)()()(acccbbbaa.求证：cba. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页精品资料欢迎下载分析：若把cba、其中的一个看作

14、未知数，就得到一个一元二次方程.因为方程有实根，所以可以利用判别式求解. 解：整理成关于a的一元二次方程得，0)()(222cbcbacba, a为实数，该方程有实数根。=0)(4)(222cbcbcb, 即,0)(2cb而,0)(2cbcb，代入0)()(222cbcbacba,得ba，cba. 例 4 已知：1acab,求证：042acb. 分析 :对已知条件变形,由两个量ca、表示第三个量b,代入acb42,判定acb42的符号 .或者对已知条件变形,得0cba,再由结论042acb联想到一元二次方程02cbxax根的判别式 ,即可解决问题 . 解法一：1acab，cab。0)()4)(

15、4222caaccaacb。解法二：1acab，0cba。-1 是方程02cbxax的一个实数根 . 042acb.点拨 : 例 12、例 13 都是构造一元二次方程解题，利用判别式证明恒等式或不等式问题.解题思路巧妙，这种解题方法多见于证明恒等式中. 例 5 已知方程0)1(2)1(22xcbxxa有两个相等的实数根，a、b、c 为三角形的三条边，判定此三角形的形状. 分析 :略. 解：方程可化为02)(2cabxxca精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页精品资料欢迎下载方程有两个相等的实数根，=)(4)2(2ca

16、cab=0 222acb. 即该三角形为直角三角形.点拨：本题属于与几何知识相联系的问题.几何与代数的结合点是三角形的边长是一元二次方程的系数. (四 )练习（2）一元二次方程20(0axbxcaabc， ， ，是常数)的两个根12xx，的取值范围是下列选项中的哪一个12130222xx，12151222xx，12150 222xx，121 3122 2xx，2、 已知、 、分别是 ABC的三边，其中 1， 4， 且关于 x 的方程042bxx有两个相等的实数根，试判断ABC的形状。3、已知：)(0)(4)(2yxzyyxyz. 求证：zxy24、求方程0122222xyxyx的实数解 .参考

17、答案：1、解两个根12xx，的取值范围是.2、解：方程240 xxb有两个相等的实数根=2( 4)40b4b4c4bc ABC为等腰三角形3、 证明：以)()()(zyxzyx、为系数的一元二次方程0)()()(2zytxztyx有两个相等的实数根, 又0)()()(zyxzyx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页精品资料欢迎下载由根与系数的关系可知：121tt,zxy2. 4、解法二：方程变形为2222210 xxyyxx，即22()(1)0 xyx22()0,(1)0 xyx，010 xyx且. 11xy. 解法二：方程变形为01)1(2222yxyx. =02)1(4)1(222yy, 化简得 ,0)1(2y，而0) 1(2y. 0)1(2y即1y，代入方程得,121xx. 11xy(五 )总结 : 一元二次方程根的判别式在解题中有十分广泛的应用.利用根的判别式判定方程根的性质； 证明二次三项式为完全平方式；利用其构造一元二次方程，进行代数式的恒等式的证明或不等式的证明；与几何知识相联系解决如判断三角形的形状等的问题. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页