2022年新北师大版八年级下册《三角形的证明》 .pdf

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1、第 1 页 共 20 页三角形的证明【知识点一：全等三角形的判定与性质】1判定和性质一般三角形直角三角形判定边角边 SAS 、角边角 ASA角角边 AAS、边边边SSS 具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等HL性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等2证题的思路：）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AASASAASAAASSASAASSSSHLSAS【典型例题】1 用 直 尺 和 圆 规 作 一 个

2、角 的 平 分 线 的 示 意 图 如 下 图 ， 则 能 说 明 AOC = BOC 的 依 据 是 A SSSB ASAC AASD 角 平 分 线 上 的 点 到 角 两 边 距 离 相 等2以下说法中，正确的选项是A两腰对应相等的两个等腰三角形全等B两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C两锐角对应相等的两个直角三角形全等D面积相等的两个三角形全等3如图， ABC ADE，假设 B80 ， C30 ， DAC35 ，则 EAC 的度数为A40B35C30D254已知：如图，在MPN 中， H 是高 MQ 和 NR 的交点，且MQNQ求证： HNPM. 精选学习资料 - - - - - -

3、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页第 2 页 共 20 页5用三角板可按下面方法画角平分线：在已知AOB 的两边上，分别取OMON 如图57 ，再分别过点M、 N作 OA、OB 的垂线，交点为P，画射线 OP，则 OP 平分 AOB，请你说出其中的道理图 5 7 【稳固练习】1以下说法正确的选项是A一直角边对应相等的两个直角三角形全等B斜边相等的两个直角三角形全等C斜边相等的两个等腰直角三角形全等D一边长相等的两等腰直角三角形全等2 如 图 ， 在 ABC 中 ， D、 E 分 别 是 边 AC 、 BC 上 的 点 ， 假 设 ADB EDB ED

4、C ， 则 C 的 度 数 为 A 15B 20C 25D 303如图，已知ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和ABC 全等的图形是A甲和乙B乙和丙C只有乙D只有丙4如图 4 9，已知 ABC ABC，AD、AD分别是 ABC 和 ABC的角平分线1请证明 ADAD；2把上述结论用文字表达出来；3你还能得出其他类似的结论吗? 图 49 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页第 3 页 共 20 页5如图 4 10，在 ABC 中， ACB90 ，ACBC，直线 l 经过顶点 C，过 A、B 两点分别作l

5、 的垂线 AE、 BF，E、F 为垂足1当直线l 不与底边AB 相交时，求证：EFAE BF图 4 10 2如图 411，将直线l 绕点 C 顺时针旋转，使l 与底边 AB 交于点 D，请你探究直线l 在如下位置时，EF、AE、BF 之间的关系 ADBD； ADBD； ADBD图 411 【知识点二：等腰三角形的判定与性质】等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形等角对等边等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等等边对等角；等腰三角形 “ 三线合一 ” 的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等【典型例题】1 等 腰 三

6、 角 形 的 两 边 长 分 别 为 3 和 6， 则 这 个 等 腰 三 角 形 的 周 长 为 A 12 B 15 C 12 或 15 D 18 2 等 腰 三 角 形 的 一 个 角 是 80 ， 则 它 顶 角 的 度 数 是 A 80B 80 或 20C 80 或 50D 20精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页第 4 页 共 20 页3 已 知 ABC 中 ， AB=AC =x， BC =6， 则 腰 长 x 的 取 值 范 围 是 A 0 x 3 B x 3 C 3 x 6 D x 6 4 如 图 ，

7、MON =43 ， 点 A 在 射 线 OM 上 ， 动 点 P 在 射 线 ON 上 滑 动 ，要 使 AOP 为 等 腰 三 角 形 ， 那 么 满 足 条 件 的 点 P 共 有 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个5 如 图 ， 在 ABC 中 ， BO 平 分 ABC ， CO 平 分 ACB ， DE 过 O 且 平 行 于 BC ， 已 知 ADE 的 周 长 为10cm， BC 的 长 为 5cm， 求 ABC 的 周 长 6、如以下图，在ABC 中， B=90 ，M 是 AC 上任意一点 M 与 A 不重合 MDBC，交 ABC 的平分线于点D，求证： MD=MA. 【稳

8、固练习】1 如 图 ， 已 知 直 线 AB CD ， DCF =110 且 AE=AF ， 则 A 等 于 A 30B 40C 50D 702 以 下 说 法 错 误 的 选 项 是 A 顶 角 和 腰 对 应 相 等 的 两 个 等 腰 三 角 形 全 等B 顶 角 和 底 边 对 应 相 等 的 两 个 等 腰 三 角 形 全 等C 斜 边 对 应 相 等 的 两 个 等 腰 直 角 三 角 形 全 等D 两 个 等 边 三 角 形 全 等3 如 图 ， 是 一 个 5 5 的 正 方 形 网 格 ， 网 格 中 的 每 个 小 正 方 形 的 边 长 均 为 1 点 A 和 点 B在

9、小 正 方 形 的 顶 点 上 点 C 也 在 小 正 方 形 的 顶 点 上 假 设 ABC 为 等 腰 三 角 形 ， 满 足条 件 的 C 点 的 个 数 为 A 6 B 7 C 8 D 9 4 如 图 ， 在 ABC 中 ， ABC 和 ACB 的 平 分 线 交 于 点 E， 过 点 E 作 MN BC 交AB 于 M， 交 AC 于 N， 假 设 BM +CN =9， 则 线 段 MN 的 长 为 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页第 5 页 共 20 页A 6 B 7 C 8 D 9 5如 图 ：E

10、在 ABC 的 AC 边 的 延 长 线 上 ， D 点 在 AB 边 上 ， DE 交 BC 于 点 F， DF =EF， BD =CE ，过D作 DG AC 交 BC 于 G 求 证 ： 1 GDF CEF ； 2 ABC 是 等 腰 三 角 形 【知识点三：等边三角形的判定与性质】判定：有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是60 的三角形是等边三角形；有两个叫是60 的三角形是等边三角形性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60 【典型例题】1 以 下 说 法 中 不 正 确 的 选 项 是 A 有 一 腰 长 相 等 的 两 个 等 腰

11、 三 角 形 全 等B 有 一 边 对 应 相 等 的 两 个 等 边 三 角 形 全 等C 斜 边 相 等 、 一 条 直 角 边 也 相 等 的 两 个 直 角 三 角 形 全 等D 斜 边 相 等 的 两 个 等 腰 直 角 三 角 形 全 等2 如 图 ， 在 等 边 ABC 中 ， BAD =20 ， AE=AD ， 则 CDE 的 度 数 是 A 10B 12.5 C 15D 203、如右图，已知ABC 和 BDE 都是等边三角形，求证：AE=CD. 【变式练习】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页第 6

12、 页 共 20 页1 以 下 命 题 ： 两 个 全 等 三 角 形 拼 在 一 起 是 一 个 轴 对 称 图 形 ； 等 腰 三 角 形 的 对 称 轴 是 底 边 上 的 中 线所 在 直 线 ； 等 边 三 角 形 一 边 上 的 高 所 在 直 线 就 是 这 边 的 垂 直 平 分 线 ； 一 条 线 段 可 以 看 作 是 以 它 的 垂直 平 分 线 为 对 称 轴 的 轴 对 称 图 形 其 中 错 误 的 有 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个2 如 图 ， AC =CD =DA =BC=DE 则 BAE 是 BAC 的 A4 倍B3 倍C2 倍D1 倍3 如 图 ，

13、 等 边 ABC 的 周 长 是 9， D 是 AC 边 上 的 中 点 ， E 在 BC 的 延长 线 上 假 设 DE =DB ， 则 CE 的 长 为4 如 图 ， 等 边 ABC 中 ， 点 D 、 E 分 别 为 BC 、 CA 上 的 两 点 ，且 BD =CE， 连 接 AD 、 BE 交 于 F 点 ， 则 FAE + AEF 的 度 数是 A 60B 110C 120D 1355 如 图 ， 已 知 ： MON =30 ， 点 A1、 A2、 A3 在 射 线 ON 上 ， 点 B1、B2、 B3 在 射 线 OM 上 ， A1B1A2、 A2B2A3、 A3B3A4 均 为

14、 等 边 三角 形 ， 假 设 OA1=1， 则 A6B6A7的 边 长 为 A 6 B 12 C 32 D 64 6.如 图 ， M、 N 点 分 别 在 等 边 三 角 形 的 BC、 CA 边 上 ， 且 BM =CN， AM 、 BN 交 于 点 Q 1 求 证 ： BQM =60； 2 如 图 ， 如 果 点 M 、 N 分 别 移 动 到 BC 、 CA 的 延 长 线 上 ， 其 它 条 件 不 变 ， 1 中 的 结 论 是 否 仍 然成 立 ? 假 设 成 立 ， 给 予 证 明 ； 假 设 不 成 立 ， 说 明 理 由 7如 图 ，C 为 线 段 BD 上 一 点 不 与

15、 点 B，D 重 合 ，在 BD 同 侧 分 别 作 正 三 角 形 ABC 和 正 三 角 形 CDE ，AD 与 BE 交 于 一 点 F， AD 与 CE 交 于 点 H ， BE 与 AC 交 于 点 G精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页第 7 页 共 20 页 1 求 证 ： BE=AD ； 2 求 AFG 的 度 数 ； 3 求 证 ： CG =CH 【知识点四：反证法】反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立这种证明方法称为反证

16、法 【基础练习】1、否认 “ 自然数 a、 b、c 中恰有一个偶数” 时的正确反正假设为Aa、b、 c 都是奇数Ba、b、c 或都是奇数或至少有两个偶数Ca、b、 c 都是偶数Da、b、c 中至少有两个偶数2、用反证法证明命题“ 三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反证假设正确的选项是A假设三内角都不大于60B假设三内角都大于60C假设三内角至多有一个大于60D假设三内角至多有两个大于603、证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角【知识点五：直角三角形】1、直角三角形的有关知识勾股定理 ：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，

17、那么这个三角形是直角三角形；在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半2、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题 ，其中一个命题称为另一个命题的逆命题 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页第 8 页 共 20 页如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理 ，其中一个定理称为另一个定理的 逆定理 . 【典型例题】1、说出以下命题的逆命题，并判断每对命题的真假：1四边形是多边形

18、；2两直线平行，同旁内角互补；3如果 ab=0，那么 a=0，b=0；4在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等2 使 两 个 直 角 三 角 形 全 等 的 条 件 是 A 一 个 锐 角 对 应 相 等B 两 个 锐 角 对 应 相 等C 一 条 边 对 应 相 等D 两 条 边 对 应 相 等3 等 腰 三 角 形 的 底 边 长 为 6， 底 边 上 的 中 线 长 为 4， 它 的 腰 长 为 A 7 B 6 C 5 D 4 4 如 图 ， 矩 形 纸 片 ABCD中 ， AB=4， AD =3 ， 折 叠 纸 片 使 AD 边 与对 角 线 BD 重 合 ， 折 痕 为

19、 DG ， 则 AG 的 长 为 A 1 B43C32D 2 5 如 图 ， 在 ABC 中 ， C=90 ， B=30 ， AD 是 BAC 的 平 分 线 ，假 设 CD =2 ， 那 么 BD 等 于 A 6 B 4 C 3 D 2 6 如 图 ， 在 4 4 正 方 形 网 格 中 ， 以 格 点 为 顶 点 的 ABC 的 面 积 等 于 3，则 点 A 到 边 BC 的 距 离 为 A3B2 2C 4 D 3 7 如 图 ， ACB 和 ECD 都 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， A， C， D 三 点 在 同 一 直 线 上 ， 连 接 BD ， AE， 并 延 长AE 交

20、BD 于 F 1 求 证 ： ACE BCD ； 2 直 线 AE 与 BD 互 相 垂 直 吗 ? 请 证 明 你 的 结 论 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页第 9 页 共 20 页8 如 图 ， 在 每 个 小 正 方 形 的 边 长 均 为 1 个 单 位 长 度 的 方 格 纸 中 有 一 个 ABC ， ABC的 三 个 顶 点 均 与小 正 方 形 的 顶 点 重 合 1 在 图 中 画 BCD ， 使 BCD 的 面 积 = ABC 的 面 积 点 D 在 小 正 方 形 的 顶 点 上 2 请

21、直 接 写 出 以 A、 B、 C、 D 为 顶 点 的 四 边 形 的 周 长 9 如 图 ， 把 矩 形 纸 片 ABCD沿 EF 折 叠 ， 使 点 B 落 在 边 AD 上 的 点 B 处 ， 点 A 落 在 点 A 处 ； 1 求 证 ： B E=BF ； 2 设 AE=a， AB=b， BF =c， 试 猜 想 a， b， c 之 间 的 一 种 关 系 ， 并 给 予 证 明 【变式练习】1 利 用 基 本 尺 规 作 图 ， 以 下 条 件 中 ， 不 能 作 出 唯 一 直 角 三 角 形 的 是 A 已 知 斜 边 和 一 锐 角B 已 知 一 直 角 边 和 一 锐 角C

22、 已 知 斜 边 和 一 直 角 边D 已 知 两 个 锐 角2 在 Rt ABC 中 ， C=90 ， AC =9， BC =12 ， 则 点 C 到 AB 的 距 离 是 A365B1225C94D 3 343 如 图 是 一 株 美 丽 的 勾 股 树 ， 其 中 所 有 的 四 边 形 都 是 正 方 形 ， 所 有 的 三 角形 都 是直 角 三 角 形 ， 假 设 正 方 形 A、 B、 C、 D 的 面 积 分 别 为 2， 5， 1， 2 则 最 大的 正 方形 E 的 面 积 是4 已 知 Rt ABC 中 ， C=90 ， 且 BC =12AB， 则 A 等 于 精选学习资

23、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页第 10 页 共 20 页A 30B 45C 60D 不 能 确 定5 已 知 ： 如 图 ， 在 ABC 中 ， A=30 ， ACB =90 ， M、 D 分 别 为 AB、 MB 的 中 点 求 证 ： CD AB6 如 图 ， 在 5 5 的 方 格 纸 中 ， 每 一 个 小 正 方 形 的 边 长 都 为 1， BCD 是 不 是 直 角 ? 请 说 明 理 由 7正 方 形 网 格 中 的 每 个 小 正 方 形 边 长 都 是 1每 个 小 格 的 顶 点 叫 做 格 点 ，

24、以 格 点 为 顶 点 分 别 按 以 下 要 求画 三 角 形 ： 1 在 图 1 中 ， 画 ABC ， 使 ABC 的 三 边 长 分 别 为 3、2 2、5； 2 在 图 2 中 ， 画 DEF ， 使 DEF 为 钝 角 三 角 形 且 面 积 为 2【提高练习】1如 图 矩 形 纸 片 ABCD 中 ，已 知 AD =8，折 叠 纸 片 使 AB 边 与 对 角 线 AC重 合 ， 点B 落 在 点 F 处 ， 折 痕 为 AE， 且 EF =3 则 AB 的 长 为 A 3 B 4 C 5 D 6 2 如 图 ， 直 线 l 上 有 三 个 正 方 形 a， b， c， 假 设

25、a， c 的 面 积 分 别 为 5 和11 ， 则b的 面 积 为 A 4 B 6 C 16 D 55 n 2 3 4 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页第 11 页 共 20 页3 张 老 师 在 一 次 “ 探 究 性 学 习 ” 课 中 ， 设 计 了 如 下 数 表 ： 1 请 你 分 别 观 察 a， b， c 与 n 之 间 的 关 系 ， 并 用 含 自 然 数 n n 1 的 代 数 式 表 示 ：a= ， b= ， c= ； 2猜 想 ：以a， b， c 为 边 的 三 角 形 是 否 为

26、 直 角 三 角 形 并 证 明 你 的猜 想 4 如 图 ， AC =BC=10 cm ， B=15 ， AD BC 于 点 D ， 则 AD 的 长 为 A 3cmB 4cmC 5cmD 6cm5 如 图 ， 在 ABC 中 ， C=90 ， B=15 ， AB 的 垂 直 平 分 线 交 AB 于 E， 交 BC 于 D ， BD =8 ， 则 AC = 6图 1、图 2 分 别 是 10 8 的 网 格 ，网 格 中 每 个 小 正 方 形 的 边 长 均 为 1，A、B 两 点 在 小 正 方 形 的 顶 点 上 ，请 在 图 1、图 2 中 各 取 一 点 C 点 C 必 须 在

27、小 正 方 形 的 顶 点 上 ，使 以 A、 B、 C 为 顶 点 的 三 角 形 分 别 满足 以 下 要 求 ： 1 在 图 1 中 画 一 个 ABC ， 使 ABC 为 面 积 为 5 的 直 角 三 角 形 ； 2 在 图 2 中 画 一 个 ABC ， 使 ABC 为 钝 角 等 腰 三 角 形 7 已 知 ， 如 图 ， ABC 为 等 边 三 角 形 ， AE=CD ， AD 、 BE 相 交 于 点 P 1 求 证 ： AEB CDA ； 2 求 BPQ 的 度 数 ；a 22 1 32 1 42 1 52 1 b 4 6 8 10 c 22+1 32+1 42+1 52+

28、1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页第 12 页 共 20 页 3 假 设 BQ AD 于 Q， PQ=6 ， PE=2， 求 BE 的 长 【知识点六：线段的垂直平分线】线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。【典型例题】1 如 图 ， 在 Rt ABC 中 ， C=90 ， B=30 AB 的 垂 直 平 分 线DE 交 AB 于 点 D， 交 BC 于

29、点 E， 则 以 下 结 论 不 正 确 的 选 项 是 A AE =BEB AC=BEC CE =DED CAE = B2 如 图 ， 在 ABC 中 ， 分 别 以 点 A 和 点 B 为 圆 心 ， 大 于21AB 的 长 为 半 径 画 弧 ， 两 弧 相 交 于 点 M， N， 作 直 线 MN ， 交 BC 于点 D ， 连 接 AD 假 设 ADC 的 周 长 为 10， AB=7， 则 ABC 的周 长 为 A 7 B 14 C 17 D 20 3 三 角 形 内 有 一 点 到 三 角 形 三 顶 点 的 距 离 相 等 ， 则 这 点 一 定 是 三 角 形 的 A 三 条

30、 中 线 的 交 点B 三 边 垂 直 平 分 线 的 交 点C 三 条 高 的 交 点D 三 条 角 平 分 线 的 交 点4 如 图 ， 有 A、 B、 C 三 个 居 民 小 区 的 位 置 成 三 角 形 ， 现 决 定 在 三 个 小 区 之 间 修 建 一 个 购 物 超 市 ， 使 超市 到 三 个 小 区 的 距 离 相 等 ， 则 超 市 应 建 在 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页第 13 页 共 20 页A 在 AC ， BC 两 边 高 线 的 交 点 处B 在 AC ， BC 两 边

31、中 线 的 交 点 处C 在 AC ， BC 两 边 垂 直 平 分 线 的 交 点 处D 在 A， B 两 内 角 平 分 线 的 交 点 处5 如 图 ， AD 为 BAC 的 角 平 分 ， 线 段 AD 的 垂 直 平 分 线 交 AB 于 M， 交 AC 于 N， 试 说 明 MD AC6如 下 图 ， ABC 中 ，AB =AC ， BAC =120 ，AC 的 垂 直 平 分 线 EF 交 AC 于 点 E，交 BC 于 点 F求 证 ：BF =2 CF 7 如 下 图 ， 在 Rt ABC 中 ， ACB =90 ， AC =BC ， D 为 BC 边 上 的 中 点 ， CE

32、 AD 于 点 E， BF AC 交CE 的 延 长 线 于 点 F， 求 证 ： AB 垂 直 平 分 DF 【变式练习】1 如 图 ， 在 Rt ABC 中 ， B=90 ， ED 是 AC 的 垂 直 平 分 线 ， 交 AC 于 点 D ， 交 BC 于 点 E 已 知 BAE =10， 则 C 的 度 数 为 A 30B 40C 50D 602 如 图 ， 在 ABC 中 ， 已 知 AC =29 ， AB 的 垂 直 平 分 线 交 AB 于 点 D ，交 AC 于 点 E BCE 的 周 长 等 于 50， 则 BC 的 长 为 A 2lB 22 C 23 D 24 精选学习资料

33、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页第 14 页 共 20 页3 如 图 ， 在 ABC 中 ， DE 垂 直 平 分 AB ， FG 垂 直 平 分 AC，BC=13 cm， 则 AEG 的 周 长 为 A cmB 13cmC 26cmD 15 4 已 知 ： 如 图 ， ABC 的 A ABC ， 边 BC 的 垂 直 平 分 线 DE 分 别 交 AC， BC 于 D ， E， 则 AD +BD 与 BC 的 关 系 是 A 大 于B 小 于C 等 于D 不 能 确 定5 如 图 ， A、 B 表 示 两 个 仓 库 ，

34、 要 在 A、 B 一 侧 的 河 岸 边 建 造 一 个 码 头 ， 使 它 到 两 个 仓 库 的 距 离 相 等 ，码 头 应 建 在 什 么 位 置 ? 你 能 画 图 说 明 吗 ? 6如 图 ，在 ABC 中 ，AB= AC， D 是 AB 的 中 点 ，且 DE AB， BCE 的 周 长 为 8cm，且AC BC =2cm，求 AB 、 BC 的 长 【提高练习】1 如 图 ， 在 ABC 中 ， DE 垂 直 平 分 AB ， 分 别 交 AB 、 BC 于 D 、 E 点 MN 垂 直 平 分 AC ， 分 别 交 AC 、BC 于 M 、 N 点 1 假 设 BAC =1

35、00， 求 EAN 的 度 数 ； 2 假 设 BAC =70， 求 EAN 的 度 数 ； 3 假 设 BAC = 90 ， 直 接 写 出 用 表 示 EAN 大 小 的 代 数 式 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页第 15 页 共 20 页2 如 图 2， 点 D 为 线 段 AB 与 线 段 BC 的 垂 直 平 分 线 的 交 点 ， A=35 ，则 D 等 于 A 50B 65C 55D 703 如 图 3， 在 ABC 中 ， AB =a， AC=b， BC 边 上 的 垂 直 平 分 线 DE

36、交BC、 BA 分 别 于 点 D 、 E， 则 AEC 的 周 长 等 于 A a+bB a bC 2a+bD a+2b4 如 图 有 一 块 直 角 三 角 形 纸 片 ， ACB =90 ， 两 直 角 边 AC =4 ，BC=8 ， 线 段 DE 垂 直 平 分 斜 边 AB ， 则 CD 等 于 A 2 BC 3 D 5 如 图 ， ABC =50 ， AD 垂 直 平 分 线 段 BC 于 点 D ， ABC 的平 分 线 交 AD 于 E， 连 接 EC ； 则 AEC 等 于 A 100B 105C 115D 120【知识点七：角平分线】角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分

37、线逆定理：在角内部，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。【典型例题】1 如 图 ， POA = POB ， PD OA 于 点 D， PE OB 于 点 E， OP =13 ，OD =12 ， PD =5 ， 则 PE=A 13 B 12 C 5 D 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页第 16 页 共 20 页2 三 角 形 内 有 一 点 ， 它 到 三 边 的 距 离 相 等 ， 则 这 点 是 该 三 角 形 的 A

38、 三 条 中 线 交 点B 三 条 角 平 分 线 交 点C 三 条 高 线 交 点D 三 条 高 线 所 在 直 线 的 交 点3 如 图 ， Rt ABC 中 ， C=90 ， ABC 的 平 分 线 BD 交 AC 于 D，假 设 CD =3 cm， 则 点 D 到 AB 的 距 离 DE 是 A 5cmB 4cmC 3cmD 2cm4 如 图 ， OP 平 分 AOB ， PA OA ， PB OB ， 垂 足 分 别 为 A， B以 下 结 论 中 不 一 定 成 立 的 是 A PA =PBB PO 平 分 APBC OA = OBD AB 垂 直 平 分 OP5 如 图 ， 直

39、线 a、 b、 c， 表 示 三 条 相 互 交 叉 的 公 路 ， 现 拟 建 一 个货 物 中 转 站 ， 要 求 它 到 三 条 公 路 的 距 离 都 相 等 ， 则 可 以 供 选 择 的地 址 有 A 一 处B 四 处C 七 处D 无 数 处6 求 作 一 点 P， 使 PC=PD ， 且 点 P 到 AC ， AB 的 距 离 相 等 要 求 保 留 作 图 痕 迹 ， 不 必 写 出 作 法 7 1 班 同 学 上 数 学 活 动 课 ， 利 用 角 尺 平 分 一 个 角 如 下 图 设 计 了 如 下 方 案 ： AOB 是 一 个 任 意 角 ，将 角 尺 的 直 角 顶

40、 点 P 介 于 射 线 OA、OB 之 间 ，移 动 角 尺 使 角 尺 两 边 相同 的 刻 度 与 M、 N 重 合 ， 即 PM = PN ， 过 角 尺 顶 点 P 的 射 线 OP 就 是 AOB 的 平 分 线 AOB 是 一 个 任 意 角 ，在 边 OA 、 OB 上 分 别 取 OM =ON，将 角 尺 的 直 角 顶 点 P 介 于 射 线 OA 、OB 之 间 ， 移 动 角 尺 使 角 尺 两 边 相 同 的 刻 度 与 M、 N 重 合 ， 即 PM =PN ， 过 角 尺 顶 点 P 的 射 线 OP 就 是 AOB的 平 分 线 1 方 案 、 方 案 是 否

41、可 行 ? 假 设 可 行 ， 请 证 明 ； 假 设 不 可 行 ， 请 说 明 理 由 ； 2在 方 案 PM =PN 的 情 况 下 ，继 续 移 动 角 尺 ，同 时 使 PM OA ， PN OB此 方 案 是 否 可 行 ? 请说 明 理 由 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页第 17 页 共 20 页8如 图 ，AD 为 ABC 的 角 平 分 线 ，DE AB， DF AC ，垂 足 分 别 为 E，F，连 接 EF ，EF 交 AD 于 点 G、试 判 断 线 段 AD 与 EF 的 位 置 关

42、 系 ， 并 证 明 你 的 结 论 9如 图 ， ABC 中 ，O 是 BC 的 中 点 ，D 是 BAC 平 分 线 上 的 一 点 ，且 DO BC，过 点 D 分 别 作 DM AB于 M ， DN AC 于 N求 证 ： BM =CN 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页第 18 页 共 20 页【变式练习】1 如 图 ， OP 平 分 MON ， PA ON 于 点 A， 点 Q 是 射 线 OM 上 的一 个 动 点 ， 假 设 PA=2， 则 PQ 的 最 小 值 为 A 1 B 2 C 3 D 4

43、 2 如 下 图 ， 点 E 是 AOB 的 平 分 线 上 一 点 ， EC OA ， ED OB ，垂 足 分 别 是 C、 D ， 假 设 OE =4， AOB =60， 则 DE = 3如 图 ，利 用 尺 规 求 作 所 有 点 P，使 点 P 同 时 满 足 以 下 两 个 条 件 ： 点 P 到 A， B 两 点 的 距 离 相 等 ；点 P 到 直 线 l1， l2的 距 离 相 等 要 求 保 留 作 图 痕 迹 ， 不 必 写 出 作 法 4已 知 ：如 下 图 ， ABC 中 ， C=90 ，AD 是 BAC 的 平 分 线 ，DE AB 于 E，F 在 AC 上 ，BD

44、 =DF 求证 ： CF =EB5 已 知 ： 如 图 ， B= C=90 ， M 是 BC 的 中 点 ， DM 平 分 ADC 1 假 设 连 接 AM ， 则 AM 是 否 平 分 BAD ? 请 你 证 明 你 的 结 论 ； 2 线 段 DM 与 AM 有 怎 样 的 位 置 关 系 ? 请 说 明 理 由 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页第 19 页 共 20 页【提高练习】1 如 图 ， AOB =30 ， OP 平 分 AOB ， PC OB ， PD OB， 如 果PC=6 ， 那 么 PD

45、等 于 A 4 B 3 C 2 D 1 2如 图 ，在 ABC 中 ， C=90 ， B=30 ，以A 为 圆 心 ，任 意 长 为 半 径 画 弧 分 别 交 AB 、 AC 于 点 M 和N，再 分 别 以 M、 N 为 圆 心 ，大 于21MN 的 长 为 半 径 画 弧 ，两 弧 交 于 点 P，连 结 AP 并 延 长 交 BC 于 点 D，则 以 下 说 法 中 正 确 的 个 数 是 AD 是 BAC 的 平 分 线 ； ADC =60； 点 D 在 AB 的 中 垂 线 上 ； SD AC： SABC=1 ： 3A 1 B 2 C 3 D 4 3 如 图 ， 锐 角 三 角 形

46、 ABC 中 ， BC AB AC， 小 靖 依 以 下 方 法 作 图 ： 1 作 A 的 角 平 分 线 交 BC 于 D 点 2 作 AD 的 中 垂 线 交 AC 于 E 点 3 连 接 DE 根 据 他 画 的 图 形 ， 判 断 以 下 关 系 何 者 正 确 ? A DE ACB DE ABC CD =DED CD =BD4如 以 下 图 左 ，在 矩 形 ABCD中 ，点 P 在 AB 上 ，且 PC 平 分 ACB 假 设 PB=3 ， AC =10 ，则 PAC 的面 积 为5 已 知 ： 如 上 图 右 ， AB CD ， O 为 BAC 、 ACD的 平 分 线 的 交

47、 点 ， OE AC 于 点 E， 假 设 两 平 行 线间 的 距 离 为 6， 则 OE = 6 2011 年 4 月 21 日 是 重 庆 一 中 80 周 年 校 庆 日 ， 学 校 准 备 进 一 步 美 化 校 园 ， 在 校 内 一 块 四 边 形 草 坪 内精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页第 20 页 共 20 页栽 上 一 棵 银 杏 树 如 图 ， 要 求 银 杏 树 的 位 置 点 P 到 边 AB、 BC 的 距 离 相 等 ， 并 且 P 到 点 A、 D 的 距 离 也 相等 请 用 尺 规 作 图 作 出 银 杏 树 的 位 置 点 P 不 写 作 法 ， 保 留 作 图 痕 迹 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页