2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ).doc

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1、2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合A（x，y）|x2+y21，B（x，y）|yx，则AB中元素的个数为（）A3B2C1D02（5分）设复数z满足（1+i）z2i，则|z|（）ABCD23（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是（）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D各

2、年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4（5分）（x+y）（2xy）5的展开式中的x3y3系数为 （）A80B40C40D805（5分）已知双曲线C：1 （a0，b0）的一条渐近线方程为yx，且与椭圆+1有公共焦点，则C的方程为（）A1B1C1D16（5分）设函数f（x）cos（x+），则下列结论错误的是（）Af（x）的一个周期为2Byf（x）的图象关于直线x对称Cf（x+）的一个零点为xDf（x）在（，）单调递减7（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A5B4C3D28（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直

3、径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）ABCD9（5分）等差数列an的首项为1，公差不为0若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为（）A24B3C3D810（5分）已知椭圆C：1（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab0相切，则C的离心率为（）ABCD11（5分）已知函数f（x）x22x+a（ex1+ex+1）有唯一零点，则a（）ABCD112（5分）在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若+，则+的最大值为（）A3B2CD2二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）若x，y满足

4、约束条件，则z3x4y的最小值为 14（5分）设等比数列an满足a1+a21，a1a33，则a4 15（5分）设函数f（x），则满足f（x）+f（x）1的x的取值范围是 16（5分）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最小值为60；其中正确的是 （填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个

5、试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。17（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA0，a2，b2（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积18（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，

6、统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？19（12分）如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体

7、积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值20（12分）已知抛物线C：y22x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，2），求直线l与圆M的方程21（12分）已知函数f（x）x1alnx（1）若f（x）0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）（1+）m，求m的最小值（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参

8、数）设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：（cos+sin）0，M为l3与C的交点，求M的极径选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+1|x2|（1）求不等式f（x）1的解集；（2）若不等式f（x）x2x+m的解集非空，求m的取值范围2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合A（x，y）|x2+y21，B（x，y）|yx，则AB中元素的个数为（）

9、A3B2C1D0【解答】解：由，解得：或，AB的元素的个数是2个，故选：B2（5分）设复数z满足（1+i）z2i，则|z|（）ABCD2【解答】解：（1+i）z2i，（1i）（1+i）z2i（1i），zi+1则|z|故选：C3（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是（）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【解答】解：由已有中20

10、14年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故A错误；年接待游客量逐年增加，故B正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；故选：A4（5分）（x+y）（2xy）5的展开式中的x3y3系数为 （）A80B40C40D80【解答】解：（2xy）5的展开式的通项公式：Tr+1（2x）5r（y）r25r（1）rx5ryr令5r2，r3，解得r3令5r3，r2，解得r2（x+y）（2xy）5的展开式中的x3y3系数22（1）3+2340故选：C5（5分）已

11、知双曲线C：1 （a0，b0）的一条渐近线方程为yx，且与椭圆+1有公共焦点，则C的方程为（）A1B1C1D1【解答】解：椭圆+1的焦点坐标（3，0），则双曲线的焦点坐标为（3，0），可得c3，双曲线C：1 （a0，b0）的一条渐近线方程为yx，可得，即，可得，解得a2，b，所求的双曲线方程为：1故选：B6（5分）设函数f（x）cos（x+），则下列结论错误的是（）Af（x）的一个周期为2Byf（x）的图象关于直线x对称Cf（x+）的一个零点为xDf（x）在（，）单调递减【解答】解：A函数的周期为2k，当k1时，周期T2，故A正确，B当x时，cos（x+）cos（+）coscos31为最小值，

12、此时yf（x）的图象关于直线x对称，故B正确，C当x时，f（+）cos（+）cos0，则f（x+）的一个零点为x，故C正确，D当x时，x+，此时函数f（x）不是单调函数，故D错误，故选：D7（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A5B4C3D2【解答】解：由题可知初始值t1，M100，S0，要使输出S的值小于91，应满足“tN”，则进入循环体，从而S100，M10，t2，要使输出S的值小于91，应接着满足“tN”，则进入循环体，从而S90，M1，t3，要使输出S的值小于91，应不满足“tN”，跳出循环体，此时N的最小值为2，故选：D8（5分）已知圆柱

13、的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）ABCD【解答】解：圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，该圆柱底面圆周半径r，该圆柱的体积：VSh故选：B9（5分）等差数列an的首项为1，公差不为0若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为（）A24B3C3D8【解答】解：等差数列an的首项为1，公差不为0a2，a3，a6成等比数列，（a1+2d）2（a1+d）（a1+5d），且a11，d0，解得d2，an前6项的和为24故选：A10（5分）已知椭圆C：1（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxa

14、y+2ab0相切，则C的离心率为（）ABCD【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab0相切，原点到直线的距离a，化为：a23b2椭圆C的离心率e故选：A11（5分）已知函数f（x）x22x+a（ex1+ex+1）有唯一零点，则a（）ABCD1【解答】解：因为f（x）x22x+a（ex1+ex+1）1+（x1）2+a（ex1+）0，所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1（x1）2a（ex1+）有唯一解，等价于函数y1（x1）2的图象与ya（ex1+）的图象只有一个交点当a0时，f（x）x22x1，此时有两个零点，矛盾；当a0时，由于y1（x1）2在（，1）上递增、在（1，+）上

15、递减，且ya（ex1+）在（，1）上递增、在（1，+）上递减，所以函数y1（x1）2的图象的最高点为A（1，1），ya（ex1+）的图象的最高点为B（1，2a），由于2a01，此时函数y1（x1）2的图象与ya（ex1+）的图象有两个交点，矛盾；当a0时，由于y1（x1）2在（，1）上递增、在（1，+）上递减，且ya（ex1+）在（，1）上递减、在（1，+）上递增，所以函数y1（x1）2的图象的最高点为A（1，1），ya（ex1+）的图象的最低点为B（1，2a），由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a1，即a，符合条件；综上所述，a，方法二：f（x）x22x+a（ex2+ex+2）（x1）2

16、+a（ex1+ex+1）1，令tx1，则f（t）t2+a（et+et）1为偶函数，图象关于t0对称，若f（t）0有唯一零点，则根据偶函数的性质可知f（0）1+2a0，所以a故选：C12（5分）在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若+，则+的最大值为（）A3B2CD2【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，BC2，CD1，BDBCCDBDr，r，圆的方程为（x1）2+（y2）2，设点P的坐标为（cos+1

17、，sin+2），+，（cos+1，sin+2）（1，0）+（0，2）（，2），cos+1，sin+22，+cos+sin+2sin（+）+2，其中tan2，1sin（+）1，1+3，故+的最大值为3，故选：A二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）若x，y满足约束条件，则z3x4y的最小值为1【解答】解：由z3x4y，得yx，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线yx，由平移可知当直线yx，经过点B（1，1）时，直线yx的截距最大，此时z取得最小值，将B的坐标代入z3x4y341，即目标函数z3x4y的最小值为1故答案为：114（5分）设等比数列an满足a1+a21，

18、a1a33，则a48【解答】解：设等比数列an的公比为q，a1+a21，a1a33，a1（1+q）1，a1（1q2）3，解得a11，q2则a4（2）38故答案为：815（5分）设函数f（x），则满足f（x）+f（x）1的x的取值范围是（，+）【解答】解：若x0，则x，则f（x）+f（x）1等价为x+1+x+11，即2x，则x，此时x0，当x0时，f（x）2x1，x，当x0即x时，满足f（x）+f（x）1恒成立，当0x，即x0时，f（x）x+1x+，此时f（x）+f（x）1恒成立，综上x，故答案为：（，+）16（5分）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a

19、，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最小值为60；其中正确的是（填写所有正确结论的编号）【解答】解：由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故|AC|1，|AB|，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量（0，1，

20、0），|1，直线b的方向单位向量（1，0，0），|1，设B点在运动过程中的坐标中的坐标B（cos，sin，0），其中为BC与CD的夹角，0，2），AB在运动过程中的向量，（cos，sin，1），|，设与所成夹角为0，则cos|sin|0，正确，错误设与所成夹角为0，cos|cos|，当与夹角为60时，即，|sin|，cos2+sin21，cos|cos|，0，此时与的夹角为60，正确，错误故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。17（12分）ABC的内角

21、A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA0，a2，b2（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积【解答】解：（1）sinA+cosA0，tanA，0A，A，由余弦定理可得a2b2+c22bccosA，即284+c222c（），即c2+2c240，解得c6（舍去）或c4，故c4（2）c2b2+a22abcosC，1628+4222cosC，cosC，CDCDBCSABCABACsinBAC422，SABDSABC18（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往

22、年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达

23、到最大值？【解答】解：（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，P（X200）0.2，P（X300），P（X500）0.4，X的分布列为： X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑200n500，当300n500时，若最高气温不低于25，则Y6n4n2n；若最高气温位于区间20，25），则Y6300+2（n300）4n12002n；若最高气温低于20，则Y6200+2（n200）4n8002n，EY2n0.4+（12002n）0.4+（8002n）0.26400.4n，当200n300时，若最高气

24、温不低于20，则Y6n4n2n，若最高气温低于20，则Y6200+2（n200）4n8002n，EY2n（0.4+0.4）+（8002n）0.2160+1.2nn300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元19（12分）如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，ODABC是等边三角形，OBACABD与CBD中，ABBDBC，ABDCBD，ABDCBD，A

25、DCDACD是直角三角形，AC是斜边，ADC90DOACDO2+BO2AB2BD2BOD90OBOD又DOACO，OB平面ACD又OB平面ABC，平面ACD平面ABC（2）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为hD，hE则平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，1点E是BD的中点建立如图所示的空间直角坐标系不妨取AB2则O（0，0，0），A（1，0，0），C（1，0，0），D（0，0，1），B（0，0），E（1，0，1），（2，0，0）设平面ADE的法向量为（x，y，z），则，即，取同理可得：平面ACE的法向量为（0，1，）cos二面角DAEC的余弦值为20（12分）已知抛物线C：y2

26、2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，2），求直线l与圆M的方程【解答】解：方法一：证明：（1）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，2），则（2，2），（2，2），则0，则坐标原点O在圆M上；当直线l的斜率存在，设直线l的方程yk（x2），A（x1，y1），B（x2，y2），整理得：k2x2（4k2+2）x+4k20，则x1x24，4x1x2y12y22（y1y2）2，由y1y20，则y1y24，由x1x2+y1y20，则，则坐标原点O在圆M上，综上可知：坐标原点O在圆M上；方法二：设直线l的

27、方程xmy+2，整理得：y22my40，A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y24，则（y1y2）24x1x2，则x1x24，则x1x2+y1y20，则，则坐标原点O在圆M上，坐标原点O在圆M上；（2）由（1）可知：x1x24，x1+x2，y1+y2，y1y24，圆M过点P（4，2），则（4x1，2y1），（4x2，2y2），由0，则（4x1）（4x2）+（2y1）（2y2）0，整理得：k2+k20，解得：k2，k1，当k2时，直线l的方程为y2x+4，则x1+x2，y1+y21，则M（，），半径为r|MP|，圆M的方程（x）2+（y+）2当直线斜率k1时，直线l的方程为yx2，同理求得

28、M（3，1），则半径为r|MP|，圆M的方程为（x3）2+（y1）210，综上可知：直线l的方程为y2x+4，圆M的方程（x）2+（y+）2，或直线l的方程为yx2，圆M的方程为（x3）2+（y1）21021（12分）已知函数f（x）x1alnx（1）若f（x）0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）（1+）m，求m的最小值【解答】解：（1）因为函数f（x）x1alnx，x0，所以f（x）1，且f（1）0所以当a0时f（x）0恒成立，此时yf（x）在（0，+）上单调递增，这与f（x）0矛盾；当a0时令f（x）0，解得xa，所以yf（x）在（0，a）上单调递减，在（a

29、，+）上单调递增，即f（x）minf（a），若a1，则f（a）f（1）0，从而与f（x）0矛盾；所以a1；（2）由（1）可知当a1时f（x）x1lnx0，即lnxx1，所以ln（x+1）x当且仅当x0时取等号，所以ln（1+），kN*ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+11，即（1+）（1+）（1+）e；因为m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）（1+）m成立，当n3时，不等式左边大于2，所以m的最小值为3（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程

30、为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：（cos+sin）0，M为l3与C的交点，求M的极径【解答】解：（1）直线l1的参数方程为，（t为参数），消掉参数t得：直线l1的普通方程为：yk（x2）；又直线l2的参数方程为，（m为参数），同理可得，直线l2的普通方程为：x2+ky；联立，消去k得：x2y24，即C的普通方程为x2y24（y0）；（2）l3的极坐标方程为（cos+sin）0，其普通方程为：x+y0，联立得：，2x2+y2+5l3与C的交

31、点M的极径为选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+1|x2|（1）求不等式f（x）1的解集；（2）若不等式f（x）x2x+m的解集非空，求m的取值范围【解答】解：（1）f（x）|x+1|x2|，f（x）1，当1x2时，2x11，解得1x2；当x2时，31恒成立，故x2；综上，不等式f（x）1的解集为x|x1（2）原式等价于存在xR使得f（x）x2+xm成立，即mf（x）x2+xmax，设g（x）f（x）x2+x由（1）知，g（x），当x1时，g（x）x2+x3，其开口向下，对称轴方程为x1，g（x）g（1）1135；当1x2时，g（x）x2+3x1，其开口向下，对称轴方程为x（1，2），g（x）g（）+1；当x2时，g（x）x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x2，g（x）g（2）4+2+31；综上，g（x）max，m的取值范围为（，第22页（共22页）