2022年新人教版第九章不等式与不等式组 .pdf

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1、1 / 22 第九章 不等式与不等式组9.1 不等式9.1.1 不等式及其解集教案目标使学生正确理解不等式的解、不等式的解集、解不等式的概念，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法。教案重难点重点：正确理解不等式、不等式的解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上。难点：正确理解不等式解集的意义。课时安排2 课时教案互动设计第 1 课时（一）创设情景，导入新课多媒体演示 ：（也可以借助天平演示导入）两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏。现在换了一个小胖子上去，跷跷板发生了倾斜，游戏无法继续进行下去了，着是什么原因？一辆匀速行驶的汽车在11:20 时距离 A 地 50 千 M。要在 12:00

2、以前驶过 A 地，车速应该具备什么条件？若设车速为每小时x 千 M，能用一个式子表示吗？世纪公园的票价是：每人5元，一次购票满30 张可少收 1 元，某班有 27 名少先队员去世纪公园进行活动，当领队王小华准备好了零钱到售票处买了27 张票时，爱动脑的李敏同学喊住了王小华，提议买30 张票，但有的同学不明白，明明只有27 个人，买 30张票，岂不浪费吗？那么，究竟李敏的提议对不对呢？是不是真的浪费呢？（二）合作交流，解读探究1.不等式、一元一次不等式的概念在学生充分发表自己的意见的基础上，师生共同归纳得出：用“”表示大小关系的式子叫做不等式；用“”表示不等式关系的式子也是不等式。练一练 下列式

3、子中哪些是不等式？（1） a+b=b+a (2)-3-5 (3) x 1 (4)x+36 (5)2mn (6)2x-3上述不等式中，有些不含未知数，有些含有未知数。我们把那些类似于一元一次方精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页2 / 22 程，含有一个未知数且未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式。小组交流说说生活中的不等关系分组活动先独立思考，然后小组内互相交流并做记录，最后各组选派代表发言，在此基础上引出不等号“”和“”。补充说明：“”和“”表示不等式关系的式子也是不等式。练一练下列不等式中，哪些是一元一次不

4、等式？（） +；（） x+y（）x1-；（） -x.不等式的解多媒体演示创设情景中的第题问题要使汽车在 12:00以前驶过 A 地，你认为车速应该为多少呢？问题车速可以是每小时85 千 M 吗？每小时 82千 M 呢？每小时 75.1千 M 呢？每小时 74 千 M 呢？问题我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，我们也可以把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。刚才同学们所说的这些数，哪些是不等式x32的解呢？（由此导出不等式的解集）（三）应用迁移，巩固提高例 用不等式表示：（） x 的倍大于；（） y 与的差大于零；（）x 与的和大于；（）x 的41小于. 例 2 用不等

5、式表示：（1）a与 1 的和是正数；（ 2）x 的 2倍与 y 的 3 倍的差是非负数；（ 3）x 的 2 倍与 1的和大于 -1；（4）a的一半与 4 的差的绝对值不小于a；（5）x 的x1与的和至多为 . 练习1.下列数值哪些是不等式x+36的解?哪些不是 ? -4，-2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12 .用不等式表示 : （） a是正数；（） a是负数；（） a与的和小于；（） a与的差大于 -；（） a的倍大于；（） a的一半小于 . 例 当 x-2 时,不等式 x-12 成立吗 ?当 x=3 呢?当 x=4 呢? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名

6、师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页3 / 22 练习直接想出不等式的解集 : （） x；（） x；（） x . 备选例题.方程 x的解有个，不等式 x的解有个。.燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10 cm 以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度为0.02ms，人离开的速度为4m/s，导火线的长x（m）应满足什么样的关系式？（四）总结反思，拓展升华通过本节课的学习，你有哪些体会？针对本节课所学内容，请学生回答以下问题：1. 如何区别不等式的解，不等式的解集及解不等式这几个概念？2. 找出一元一次方程与不等式在“解”，“求解”等概念上的异同

7、点. 3. 记号“”、“”各表示什么含义？拓展 适合不等式 x-30的非负整数是哪几个数？适合不等式x+30 的非正整数有哪几个?分别求出来 . （五）课堂跟踪反馈1.下列各数： -5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5中，同时适合 x+5和 2x+20 的有哪几个数？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页4 / 22 0 1 2 3 4 第 2 课时（一）创设情景，导入新课1.用不等式表示：（1）x 的一半与 3 的差是正数；（ 2）2x 与 1 的和小于 0；（3）a的 2 倍与 4 的差是正数；（4）

8、b 的一半与 x 的和是负数；（ 5）a与 b 的差是非正数；（ 6）x 的绝对值与 1的和不小于 1. 2.下列各数中，哪些是不等式x+25的解？哪些不是？3，2，1，0，1.5，3，3.5，5，7 （二）合作交流，解读探究做一做 请你在数轴上表示：（1）小于 3的正整数；（ 2）不大于 3的正整数；（3）绝对值小于 3大于 1的整数；（ 4）大于 3的数概括：（ 1）一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为着个不等式的解集 . （2）求不等式的解集的过程，叫做解不等式. （3）不等式的解集在数轴上可直观的表示出来，但应注意不等式的类型，小于在左边，大于在右边 .当不等号为“”“

9、”时用空心圆圈，当不等号为“”“”时用实心圆圈 . 注意：不等号“”“”表示不等关系，它们具有方向性，因而不等号两侧不可互相交换，例如-，不能写成 -. （）含有一个未知数，未知数的次数为的不等式，叫做一元一次不等式. （三）应用迁移，巩固提高例 在数轴上表示下列不等式的解集：（） x- ；（） x；（） x-211；（） - x（） x（） - x点评分别让名学生板演，其余学生自行完成，教师巡视，遇到问题，及时纠正.此题在讲解时，教师要着重强调：注意所给的解集是否包含分界点，是左边部分还是右边部分 . 例 用不等式表示出下列各数轴所表示的数的范围. （投影，请学生回答，教师板精选学习资料 -

10、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页5 / 22 x 演）（）（）（）练习不等式的解集x与 x有什么不同？在数轴上表示它们时怎样区别？分别在数轴上把着两个解集表示出来.（四）总结反思，拓展升华.在数轴上表示不等式的解集时应注意不等号的类型. .在数轴上表示不等式解集时应注意什么？结合学生的回答，教师再强调指出，不等式的解、不等式的解集及解不等式这三者的定义是区别它们的唯一标准；在数轴上表示不等式解集时，需特别注意解的范围的分界点，以便在数轴上正确使用空心圆圈“。”和实心圆点. （五）课堂跟踪反馈.下列说法错误的是.x.x.x.x.不

11、等式 x-的最小值是，不等式x的最大值是.如果 a，那么1a，a1. .不等式的解集x与 x有什么不同？在数轴上表示它们时怎么区别？分别在数轴上把这两个解集表示出来.求不等式 x的正整数解0 x -1.5 -1 0 0 -1 1 x -2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页6 / 22 9.1.2不等式的性质教案目标使学生掌握不等式的三条基本性质，回用不等式的三条基本性质正确地解一元一次不等式，培养学生用所学知识确定实际问题的能力教案重难点重点：不等式的三条基本性质，并能准确地求出不等式的解集. 难点：不等式的三条

12、基本性质. 课时安排 2 课时教案互动设计第 1课时（一）创设情景，导入新课在实际生活中，同类量之间具有一种不相等的关系这种不相等的关系是大量存在的，是普遍的，本章将从了解表示不相等关系的不等式的意义开始，研究不等式的性质，一元一次不等式和它的解法，一元一次不等式组和它的解法本节课我们首先来学习不等式的基本性质（二）合作交流，解读探究学生完成课本 129的观察不等式的基本性质：.不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变. 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变此时教师要特别强调不等式基本性质，并举

13、例：若ab，c，则acbc（或cacb）. 然后，让学生用不等式两边都分别加上，两边都分别乘以，来验证上述不等式的三条基本性质问题：（）在不等式两边都乘以m 后，结论将会怎样？（当字母m 的取精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页7 / 22 值不明确时，需对m 分情况讨论）（）比较等式性质与不等式的基本性质的异同（问这两个问题的目的在于强化学生对不等式基本性质的理解，特别是对不等式基本性质的理解）（三）应用迁移，巩固提高例判断题：（）不等式两边同乘以一个整数，不等号的方向不变（）（）如果 ab，那么 a b（）（）如

14、果 acbc，那么 ab（）（）如果 ab，那么 acbc（）例 2 根据不等式基本性质 ，把下列等式化成 xa或 xa的形式：（） x；（） 6x5x；（）21x（） 4x点评解题时 ,要求学生要联想到解一元一次方程的思想方法,并将原题与xa 或 xa对照着用哪条基本性质能达到题目要求,同时强调推理的根据 ,尤其要注意不等式基本性质3 和基本性质 2的区别 ,解题书写要规范 . 例设 ab，用“”或“”号填空：（） ab；（）2a2b（） 4a4b；（） mamb.点评解题时 ,要让学生明白推理要有依据,并要求以后做类似的习题时,都要写出根据 ,逐步培养学生逻辑思维的能力. 例 4 不等式

15、(m)x的解集为 x21m，则（）mmmm（四）总结反思，拓展升华首先，让学生回答如下问题：1本节课学习哪些内容？2不等式的三条基本性质与等式的基本性质异同点是什么？3运用什么思想方法来学习不等式的基本性质的？然后，在学生回答上述问题的基础上，教师指出：在运用不等式的基本性质时，要特别注意不等式的基本性质3，也就是注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个数时，一定要分清楚是正数还是负数，对于代表任意数的字母要分情况加以讨论；在学习不等式的基本性质时，我们运用了对比的方法，它是学习不等式这章所采用的一种重要的思想方法 . （五）课堂跟踪反馈精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

16、总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页8 / 22 1.如果关于 x 的不等式 (a+1)xa+1的解集为 x1,那么 a的取值范围是 ( ) .a.aaa2.比较 a与 3a的大小 . 3 根据不等式的基本性质 ,把下列不等式化成“ xa”“xa”的形式：（） x10。 (2) 63231xx (3)3x7 (4)4.比较 a与a1的大小第 2 课时（一）创设情景，导入新课在下列各题横线上填入不等号,使不等式成立 ,并说明是根据哪一条不等式的基本性质. (1)若 a39,则 a12。 (2)a10,则 a10。 (3)若41-1,则 a4。 (4)若a320,则 a0. (

17、在讲授本课时 ,应启发学生在添加不等号“”或“”时,呀和题目中的已知条件进行对比 ,观察它是根据不等式的哪条基本性质,是怎样由已知条件变形得到的.同时还应强调在运用不等式基本性质3 时,不等号要改变方向 )（二）合作交流，解读探究利用不等式的性质解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来. (1) x726。 (2)3x2x+1。 (3)32x50。 (4)4x3. 练习 利用不等式的性质解下列不等式,并把解集在数轴上表示解集: (1)x+51。 (2)4x3x5。 (3)71x76。 (4)8x10 （三）应用迁移，巩固提高例 1 根据不等式的性质 ,解下列不等式 . (1)31x32x2。(2

18、)22121xx例 2 某长方体形状的容器长5cm,宽 3cm,高 10cm.容器内原有水的高度为3cm,现准备向它继续注水 ,用 V cm3表示新注入水的体积 ,写出 V 的取值范围 . 例 3 已知不等式 3xa0 的解集是 x2, 求 a 的取值范围 .（四）总结反思，拓展升华小结 1.通过本节课学习 ,你有哪些体会 ? 2.用不等式基本性质解不等式时、与解方程相似，也需程次，移项时要注意什么？移项的目的是什么？（五）课堂跟踪反馈1. 如果不等式 2xm 0的正整数解是 1，2，3，那么 m的取值范围是2. 如果关于 x 的不等式 3x2a+5和 2x4 的解集相同 , 那么 a 的值为

19、3. 当时, 代数式 5x1 的值小于 7x+2的值.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页9 / 22 4. x 取何值时 , 代数式 2x1 的不大于 2.5. 满足 x2 的所有的负整数解是 .9.2 实际问题与一元一次不等式教案目标会根据实际问题中的数量关系列不等式解决问题,熟练掌握一元一次不等式的解法. 教案重难点重点：根据题意 ,分析各类问题中的数量关系,回熟练列不等式解应用问题. 难点：把生活中的实际问题抽象为数学问题. 课时安排3 课时教案互动设计第 1课时（一）创设情景，导入新课上节课 ,我们学习了什

20、么叫一元一次不等式,以及如何解一些简单的一元一次不等式,下面大家先回忆一下 . 不等式的两边都是整式,只含有一个未知数 ,且未知数的最高次数是一次,这样的不等式叫一元一次不等式 . （二）合作交流，解读探究在上一节课里 ,我们看到不等式x+36,根据不等式的基本性质1,变形得解集为x3.某一项改变符号后从不等式的一边移到另一边. (教师此时需强调 :所移的项要变号 ,不移的项以及不等号都不变) 解下列方程 ,并用数轴表示它的解 . 解下列不等式 ,并用数轴表示它的解集. (请一名学生口述解方程及用数轴表示它的解,教师板演 ,请另一名学生口述解不等式及用数轴表示它的解集 ,参照左边解方程的步骤及

21、格式口述,教师板书 ) 针对上述解方程与不等式的步骤及格式的比较,想学生提出如下问题 : (1) 解一元一次不等式的步骤是怎样?它与解一元一次方程的步骤有何异同? (2) 解一元一次不等式时 ,需注意什么 ? (3) 解一元一次不等式的基本思想是什么? 结合学生的回答 ,教师需提醒学生 :在解方程中易犯的错误,在解不等式也易犯 ,要特别注意 .如要去分母时 ,各项都要乘以公分母.加括号与去括号时 ,呀遵循有关法则等。注意当不等式的两边同乘以、除以同一个负数时，不等号要改变方向；解一元一次不等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，

22、共 22 页10 / 22 的基本思想是运用不等式的三条基本性质，将不等式变形为xa(或 xa)的形式 ,从而得等式的解集 . 归纳 解一元一次方程 ,要根据等式的性质 ,将方程逐步化为x=a 的形式。而解一元一次不等式 ,则要根据不等式的性质 ,将不等式逐步化为xa(或 xa)的形式. （三）应用迁移，巩固提高例 1 解不等式 3(1x)2(x+9),并把它的解集在数轴上表示出来. 例 2 下面各题解法对不对 ?为什么? (1) 8x54x6. 解法一 : 解法二 : 8x+4x56, 654x8x, 12x11, 1 4x x1211. x41(2)45184)2(3xx解法一 : 解法二

23、 : 70613136518)2(3xxxxxx27171257236)5(72)2(3xxxxxx点评本题首先让学生观察每个解法中存在的错误,然后用“曲线”标出来 ,最后说明错误的原因 .此时,教师结合学生的回答情况,再次强调指出解一元一次不等式时应注意的问题. 例 3 解下列不等式 (普通班可选用 (1)(2)题): (1)2233xx (2)2) 1(31312xx(3)17)13(2283xxx (4)3522121476xxx点评这两个题让两名学生分别板演，其余学生在练习本上自行完成，教师巡视，对学生在解题过程中出现的问题及时纠正.对于在解方程中易犯的错误，即在去分母、去括号、移项、

24、合并中出现的错误，应请出错学生自己找出原因，或在同学及教师帮助下找出原因 . 练习（1）35223xx； （2）643312xx. （四）总结反思，拓展升华根据前面的练习和例题，我们来总结一下不等式的一般步骤.理论依据及注意事项 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页11 / 22 （）去分母（不等式性质2 或 3）注意：勿漏乘不含分母的项；分子是两项或两项以上的代数式时要加括号；若两边同时乘以一个负数，需注意不等号的方向要改变. （）去括号（去括号法则和分配律）注意：勿漏乘括号内的每一项；括号前面试“”号，括号

25、内各项要变号（）移项（不等式性质）注意：移项要变号（）合并（合并法则）（）系数化为（不等式基本性质或性质）注意：当同乘以一个负数时，不等号的方向要改变拓展解不等式：xxx4)1(4321（五）课堂跟踪反馈某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12 辆和 6 辆，现需要调往A 县 10辆，调往 B 县 8 辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A 县和 B 县的运费分别为40 元和80 元，从乙仓库调运一辆农用车到A 县和 B 县的运费分别为 30元和 50元. （）设从甲仓库调往A 县农用车 x 辆，用含 x 的代数式表示总运费w 元；（ 2）请你用尝试的方法，探求总运费不超过900 元，共有几种方案

26、?你能否求出总运费最低的调运方案 . 2.分别解不等式)1(325xx和yy237121，再根据它们的解集写出x 与 y 的大小关系 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页12 / 22 第 2 课时（一）创设情景，导入新课解 下 列 不 等 式 ： （ 1 ） x+84x 1 。(2)10 4(x 3)103 且 x10+3，即 x且 x13，这二者并不矛盾，比7 大比 13 小的数在数轴上可表示为如下图的阴影部分，在这部分数中任取一个都能与3cm 和 10cm 构成一个三角形，所给的三条边6cm、9cm、14

27、cm 中只有9cm 符合要求 .这就是说第三边的取值必须同时满足两个条件：比7 大且比 13 小，把 x6930-313-67精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页19 / 22 与 x13组合成一个整体即构成一元一次不等式组，即把两个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组，由此例可知不等式组的解集即为各个不等式的解集的公共部分. 通过以上分析可知：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集，解不等式组就是求它的解集. 试一试 解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来. （1）;827,01

28、53xxx（2）;1213,1112xxx（3）; 513, 422xx（4）. 343,421xxx（二）应用迁移，巩固提高例 1 解不等式组.423, 532xx点评本题应让一名学生板演，其余学生在笔记本上完成，教师巡视，及时纠正学生在解题过程中出现的错误. 例 2 解不等式组.237121),1( 325xxxx点评安排一名学生板演，其余学生做在笔记本上，并且发动学生在解完题后，互相检查，以起到一题多解的功效.同时，教师应提醒学生注意，解集中包含4这个数 . 例 3 解不等式组.06,04,02xxx点评本题让一名学生口答，教师板书完成.教师在将不等式、的解集表示在数轴上时，应用不同颜色

29、的彩色粉笔，以使学生感到醒目，从而突出不等式组的解集是这个不等式组中每一个不等式的解集的公共部分. 例 4 当 x 取哪些整数时，不等式2（x+2）x+5与 3(x-2)+82x 同时成立？点评本题由学生口答，教师板书完成，并同时注意解题过程的书写格式. （三）总结反思，拓展升华a) 你是如何确定方程组的解的？（方程组的解即是指同时满足各个方程的解）b) 方程组的解与不等式组的解有什么异同？（无论是方程组还是不等式组，它们的解均是指同时满足各个方程或不等式的解的公共部分，但方程组的解一般只有一组，而不等式组的解一般有很多范围可选择.）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

30、结 - - - - - - -第 19 页，共 22 页20 / 22 c) 不等式组的解的四种情形（）. 若：当bxax时，则不等式的公共解集为x；当bxax时，不等式的公共解集为；当bxax时，不等式的公共解集为xb；当bxax时，不等式无解 .（四）课堂跟踪反馈a)若不等式组nxmx1,2的解集是21x，则 m=，n=. b)方程组ayxyx2, 1的解为 x,y，且 x， y0,则的取值范围是 . c)解不等式组：xx23321. d)关于不等式组axxxx423, 1)3(32有四个整数解，则a的取值范围是（）A.25411a B. 25411a C. 25411a D.25411a

31、5.已知关于 x 的不等式组axxx12无解，则 a的取值范围是（）A.1a B. 21a C. 2a D. 2a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页21 / 22 第 2 课时（一）创设情景，导入新课当一个未知数同时满足几个不等关系时，我们就按这些关系分别列几个不等式，这样就得到不等式组，用不等式组解决实际问题，其公共解是否一定为实际问题的解呢？请举例说明 . （二）应用迁移，巩固提高例 1 一群女生住若干宿舍，每间住4 人，剩 19 人无房住；每间住6 人，有一间宿舍住不满 .（1）设有 x 间宿舍，请写出x

32、应满足的不等式组；（ 2）可能有多少间宿舍、多少名学生？例 2 已知利民服装厂现有A 种布料 70M，B 种布料 52M，现计划用这两种布料生产M，N 两种型号的时装共80 套，已知做一套M 型号时装需A 种布料 0.6M，B 种布料0.9M，做一套 N 型号的时装需用A 种布料 1.1M，B 种布料 0.4M，若设生产 N 型号的时装套数为 x，用这批布料生产这两种型号的时装有几种方案？（三）总结反思，拓展升华小结 应用不等式组解决实际问题的步骤：a) 申清题意；b) 设未知数，根据所设未知数列出不等式组；c) 解不等式组；d) 由不等式组的解确立实际问题的解；e) 作答.（与列方程组解应用

33、题进行比较）拓展 火车站有某公司待运的甲种货物1530 吨，乙种货物1150吨，现计划用50 节A、B 两种型号的车厢将这批货物运至北京，已知每节A 型货厢的运费是0.5 万元，每节B 货厢的运费是0.8万元；甲种货物35 吨和乙种货物 15 吨可装满一节 A 型货厢，甲种货物 25吨和乙种货物 35吨可装满一节 B 型货厢，按此要求安排A、B 两种货厢的节数，共有哪几种方案？请你设计出来，并说明哪种方案的运费最少. （四）课堂跟踪反馈a) 一个长方形足球场的长为x m，宽为70m，如果它的周长大于350m，面积小于7560 平方 M，求 x 的取值范围，并判断这个球场是否可以用作国际足球比赛（注：用于国际比赛的足球场的长100M 到 110M 之间） . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页22 / 22 b) 某工程队要招聘甲乙两种工人150 人，甲乙两种工种的工人的月工资为600 元和1000 元，现在要求乙工种的人数不少于甲工种的人数的2 倍，问甲乙两种工人各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？最少付工资是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页