2022年新人教版八级数学下册勾股定理知识点和典型例习题 .pdf

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1、新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题一、基础知识点：勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b，斜边为 c ，那么222abc勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦 早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“ 勾三，股四， 弦五 ” 形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补

2、拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一： 4EFGHSSS正方形正方形 ABCD，2214()2abbac ，化简可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc大正方形面积 为222()2Sabaa bb所 以222abc方 法 三 ：1() ()2Sabab梯形，2112S222ADEABESSabc梯形，化简得证.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形

3、和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形.勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC 中，90C，则22cab，22bca，22acb知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b， c 满足222abc ，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“ 数转化为形 ” 来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22ab 与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b

4、， c 为三边的三角形是直角三角形；若cbaHGFEDCBAbacbaccabcababccbaEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页222abc ，时，以 a ，b， c 为三边的三角形是钝角三角形；若222abc ，时，以 a ，b，c 为三边的三角形是锐角三角形；定理中 a ，b， c 及222abc 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a ，b， c 满足222acb ，那么以 a，b， c 为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成： 当斜边的平

5、方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222abc 中， a，b，c 为正整数时，称a ，b， c 为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13； 7,24,25 等用含字母的代数式表示n组勾股数：221,2 ,1nn n（2,nn为正整数）；2221,22 ,221nnnnn（ n为正整数）2222,2,mnmn mn （,mnm ，n 为正整数）勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题 在使用勾股定理时，必须

6、把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形， 在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问

7、题的解决常见图形：ABC30DCBAADBC10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。二、 经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例 .在ABC 中，90C已知6AC，8BC求AB的长已知17AB，15AC，求BC的长分析：直接应用勾股定理222abc解：2210ABACBCCBDA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页228BCABAC题型二：利用勾股定理测量长度例题 1 如果梯子的底端离建筑物9 米，那么 1

8、5 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一” 的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！根据勾股定理AC2+BC2=AB2, 即 AC2+92=152, 所以 AC2=144, 所以 AC=12. 例题 2如图（ 8），水池中离岸边D点 1.5 米的 C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是 0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.解析： 同例题 1 一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2. 由题意可知 ACD中 ,ACD=90 , 在 RtACD中，

9、只知道 CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一” 的类型。标准解题步骤如下（仅供参考）：解： 如图 2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2设水深 AC= x 米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5 x2+1.52=（ x+0.5 ）2 解之得 x=2. 故水深为2 米. 题型三 ：勾股定理和逆定理并用例题 3 如图 3，正方形ABCD 中， E是 BC边上的中点， F是 AB上一点，且ABFB41那么 DEF是直角三角形吗？为什么？解析： 这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由ABFB41可以设 AB=4a，

10、那么 BE=CE=2a,AF=3 a,BF= a,那么在 RtAFD 、 RtBEF和 Rt CDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF 和 DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断DEF是否是直角三角形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页详细解题步骤如下：解： 设正方形 ABCD 的边长为4a, 则 BE=CE=2a,AF=3 a,BF= a 在 RtCDE中， DE2=CD2+CE2=(4 a)2+(2 a)2=20 a2 同理 EF2=5a2, DF2=25a2 在 DEF中， EF2+ DE2=5a2+ 20

11、a2=25a2=DF2 DEF是直角三角形，且DEF=90 . 注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。题型四 ：利用勾股定理求线段长度例题 4 如图 4，已知长方形ABCD 中 AB=8cm,BC=10cm, 在边 CD上取一点E，将 ADE折叠使点 D恰好落在BC边上的点F，求 CE的长 .解析： 解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。详细解题过程如下：解： 根据题意得RtADE RtAEF AFE=90 , AF=10cm, EF=DE设 CE= xcm ，则 DE=EF=CDCE=8x 在 RtABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即 82+BF2=10

12、2，BF=6cm CF=BC BF=10 6=4(cm) 在 RtECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即 (8x) 2=x2+426416x+x2=2+16 x=3(cm), 即 CE=3 cm 注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直例题 5 如图 5， 王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和 CD边，他测得AD=80cm ，AB=60cm ，BD=100cm ，AD边与 AB边垂直吗？怎样去验证 AD边与 CD边是否垂直？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共

13、 9 页解析： 由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图4，矩形 ABCD 表示桌面形状，在AB上截取 AM=12cm, 在 AD上截取 AN=9cm( 想想为什么要设为这两个长度？) ，连结 MN ，测量 MN的长度。如果 MN=15,则 AM2+AN2=MN2,所以 AD边与 AB边垂直；如果 MN= a15, 则 92+122=81+144=225, a2225, 即 92+122 a2，所以 A不是直角。利用勾股定理解决实际问题例题 6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5 米的墙上，任何东西只要移至5 米以内，灯就自动打开，一个身高

14、1.5 米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？解析： 首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5 米还是脚先距离灯 5 米，可想而知应该是头先距离灯5 米。转化为数学模型，如图 6 所示， A点表示控制灯，BM表示人的高度，BC MN,BC AN当头（ B点）距离A有 5 米时，求BC的长度。已知AN=4.5 米, 所以 AC=3米，由勾股定理，可计算 BC=4米 . 即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。题型六 ：旋转问题：例 1、如图， ABC 是直角三角形，BC 是斜边， 将 ABP 绕点 A 逆时针旋转后， 能与 AC P重合，若 AP=3 ，求 PP 的长。变式 1：如图， P是等边三角

15、形ABC内一点， PA=2,PB=2 3,PC=4, 求 ABC的边长 . 分析：利用旋转变换，将BPA 绕点 B逆时针选择 60，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形. 变式 2、如图， ABC 为等腰直角三角形，BAC=90 ， E、 F是BC 上的点，且EAF=45 ，试探究222BECFEF、间的关系，并说明理由. 题型七 ：关于翻折问题例 1、如图，矩形纸片ABCD的边 AB=10cm，BC=6cm，E为 BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点 B恰好落在CD边上的点G 处，求 BE的长 . 变式：如图， AD 是 ABC的中线， ADC

16、=45，把 ADC沿直线 AD 翻折，点C 落在点 C的 位 置 ，BC=4,求 BC的长 . 题型八 ：关于勾股定理在实际中的应用：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页例 1、如图，公路MN 和公路 PQ 在 P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160 米，点 A 到公路 MN的距离为80 米，假使拖拉机行驶时，周围100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18 千米 /小时，那么学校受到影响的时间为多少？题型九 ：关

17、于最短性问题例 5、如右图 119，壁虎在一座底面半径为2 米，高为 4 米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫， 便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（取 3.14，结果保留1 位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为3cm 的正方体，把所有面都分为9 个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点，最少要花几秒钟？三、 课后训练：一、填空题1

18、如图 (1)，在高 2 米，坡角为30的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需_米图(1) 2种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5 ，高为 12 ，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出 4.6 ，问吸管要做。3已知： 如图， ABC 中， C = 90 ，点 O 为 ABC 的三条角平分线的交点，ODBC，OEAC ，OFAB ，点D、 E、 F 分别是垂足，且BC = 8cm， CA = 6cm，则点O 到三边AB ， AC和BC 的距离分别等于cm 4在一棵树的10 米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20 米处的池塘的A 处。另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如

19、果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_米。5. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm 、2dm ，A和 B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_. 二、选择题1已知一个Rt的两边长分别为3和 4，则第三边长的平方是（）A、25 B、14 C、7 D、7 或 25 2Rt一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt的周长为（）A、121 B、120 C、132 D、不能确定3如果 Rt两直角边的比为512，则斜边上的高与斜边的比为（）A、60 13 B、512 C、12 13 D、60169 4已知 Rt

20、ABC中， C=90，若 a+b=14cm，c=10cm，则 RtABC的面积是（）A、24cm2B、36cm2C、 48cm2D、60cm25等腰三角形底边上的高为8，周长为 32，则三角形的面积为（）A、56 B、48 C、 40 D、32 C O A B D E F 第 3 题图D B C A 第 4 题图2032AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页6某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮至少需要（）A、450a 元B、225

21、a 元C、150a 元D、300a 元7已知，如图长方形ABCD 中， AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B与点 D重合，折痕为EF，则 ABE的面积为（）A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm28在 ABC 中， AB=15，AC=13，高 AD=12，则 ABC 的周长为A42B32C 42 或 32 D37 或 33 9. 如图，正方形网格中的ABC ，若小方格边长为1，则 ABC是 （）（ A）直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D)以上答案都不对三、计算1、如图， A、B是笔直公路l 同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是300m

22、和 500m ，两村庄之间的距离为 d(已知 d2=400000m2) ，现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。问最小是多少？2、如图 1-3-11 ，有一块塑料矩形模板ABCD ，长为 10cm ，宽为 4cm ，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P落在 AD边上（不与A、 D重合） ，在 AD上适当移动三角板顶点P：能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由. 再次移动三角板位置，使三角板顶点P在 AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与 DC的延长线交于点Q ，与 BC交于点 E，能否使

23、CE=2cm ？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由. 四、思维训练：1、如图所示是从长为40cm、宽为 30cm 的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm，宽为 10cm 的矩形后，剩下的一块下脚料。工人师傅要将它做适当的切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件， 请根据上述要求， 设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案（在图 2，3 中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕迹）。30cm30cm40cm10cm15020m 30m 第 6 题图A B E F D C 第 7 题图ABCABl精选学

24、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页2、葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常饶着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿着短路线盘旋前进的。难道植物也懂得数学吗？如果阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？如果树的周长为3 cm，绕一圈升高4cm，则它爬行路程是多少厘米？如果树的周长为8 cm，绕一圈爬行10cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10 圈到达树顶，则树干高多少厘米？3 、 在 ， ABC中 ， A CB=90 ， CD AB于D, 求 证 ：222111CDAC

25、BC。1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于18018

26、 推论 1 直角三角形的两个锐角互余19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22 边角边公理 (SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理 ( ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论 (AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理 (SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离

27、相等28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合BADC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论 3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于6034 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论 1 三

28、个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44 定理 3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对

29、称轴上45 逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46 勾股定理直角三角形两直角边a、b 的平方和、等于斜边c 的平方，即a2+b2=c2 47 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c 有关系 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形48 定理四边形的内角和等于36049 四边形的外角和等于36050 多边形内角和定理n 边形的内角的和等于（n-2） 18051 推论任意多边的外角和等于36052 平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53 平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54 推论夹在两条平行线间的平行线段相等55 平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56 平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57 平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58 平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59 平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60 矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页