2022年新课标高中数学基础知识求数列通项公式常用方法 .pdf

《2022年新课标高中数学基础知识求数列通项公式常用方法 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年新课标高中数学基础知识求数列通项公式常用方法 .pdf（7页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思新课标高中数学基础知识求数列通项公式常用方法云南昭通昭翼培训学校陈培泽掌握求数列通项公式的常用方法，是学习好数列这章知识的关键，高中新课标要求必须掌握的方法有哪些呢？1.观察 - 猜想 - 验证法：例 . 观察数列，写出它们的一个通项公式，（1）1 3 57,.2 4 8 16（2）13151,.2 1310 121（3）6,66,666,6666,.解： （1）观察分子：1,3,5,7.可以用2n 1表示；再观察分母：2,4,8,16,.可以用2n表示，这样数列通项就可以表示为：212nnna，最后逐项验证，都成立，就完成了。(2) 一 下 观 察 不

2、出 规 律 ， 先 把 系 数 和 分 式 分 开 ， 系 数 为1( 1)n； 再 观 察 分 式 ：13151,.2 13 10 121也难观察出规律，估计是约掉了公因数，把每一项表示成分数，再把分子分母同乘以2 或 3， 等，并且容易看出要使分子，分母，逐项增大，再进行观察：2 46810,.2 8 26 80 242，这时容易得出结论了，12a( 1)31nnnn. （3）变形为：61,611,6111,61111,.，再变形为：99999999996,6,66,.9999再变形为：2342222(101),(101), (101),(101),.3333，所以2a(101)3nn.

3、小结： (1)并不是每一个数列都可以写出它的通项公式，例如：2的不足近似值构成的数列。(2)数列即使有通项公式，通项公式也并不唯一，例如：1,0,1,0,.11( 1)a2nn；|sin|2nna，1(0annn为奇数）（ 为偶数）都是这个数列的通项公式。2.已知a n是等差或等比数列，求an例（ 1）已知数列a n是等差数列，公差d0,nS为数列前n 项和，满足221nnas，求通项公式an. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思解：数列a n是等差数列，满足221nnas，令2

4、111,a,na有1101aa或. 令223n2,as有，211()33adad，d0103ad或111ad或112ad. 33nan或2nan或21nan.(2)已知等比数列a n满足23123| 10,125,aaa a a求数列a n的通项公式。解： 设数列首项为1a， 公比为 q,123125,a a a331a125q，25a， 代入23|10,aa解得35a或3a15，15,1aq或15,33aq，( 1) 5nna或25 3nna. 小结： 在已知数列是等差或等比数列的情况下，一般用前三项建立方程，就可求得通项，要防止小题大做。求递推数列通项公式，常见题型和方法有：3. 形如：1

5、( )nnaaf n，用累加法：例：数列a n，21a22,aa1a2()1nnana，求通项公式na. 解：1221nnaana，用用累加法：11223211()()()()nnnnnnnaaaaaaaaaa22(1)21 2(2)21(2 121) (22)nananaaaa= 2(n a)1.小结 ：注意在变形题中，使用累加法，例如：1nnnaa p q题型，两边取对数，得：1lglglglgnnaapnq，就可以使用累加法了。练习： （1）已知数列满足：11a，13nnnaan，求na. （2）已知数列na中，11a，123nnnaa，求数列的通项公式na. 4形如：1( )nnaf

6、na用累乘法：例：已知数列满足：11a，12311a23.2nnnaanaa，求na. 解：设12311a23.2nnnnsaanaa，则1123122a23.(1)2nnnnnsaananaa，两式相减，得：213(1)2nnanan，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思即：13(1)nnanan，12211231nnnnnnnaaaaaaaaaa13(1) 3(2) 3(3)3 13122nnnnnnnn. 小结： 累乘法和累加法都是新课标中要求掌握的重要方法，要熟悉其变形题，

7、1( )nnaa f n, 1() ( )nnaaf n，等。练习： （1）已知数列满足：11a，1,+1nnnaan求通项公式na. （2）已知数列满足：14a，n132 32,nnnaa求通项公式na. 5.形如：qpaann 1（其中 p，q 均为常数，)0)1(ppq）用待定系数法; 设1()nnaxp ax，即：1(1)nnapapx，比较qpaann 1，得：1qxp. 例： （1）已知数列满足：11a，121nnaa，求通项公式na. 解：2,111qpqxp，112(1)nnaa，1na是首项为1a12，公比2q的等比数列，21nna. 练 习 ： 在 数 列na中 ， 若11

8、1,23(1)nnaaan， 则 该 数 列 的 通 项na_ 6.形 如 ：nnnqpaa1（ 其 中p， q 均 为 常 数 ，)0)1)(1(qppq） 。（ 或1nnnaparq,其中 p， q, r 均为常数）设11()nnnnaxqp axq1(p q)nnnapaxq，比较：nnnqpaa1，1xpq. 例： （1）已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na. 解：设111()232nnnnxxaa，1111a( )332nnnxa，11)21(31nnnaa，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，

9、共 7 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思比较得：3x，32nna是首项为13223a，公比为13的等比数列。所以数列通项公式为：3223nnna. （2）已知数列na中，651a，111( )32nnnaa，求na. 解：因11,32pq，由公式16xpq，所以数列62nna是首项为113a36，公比为13的等比数列，所以通项为613223nnna. 小结： （1）符合题型时直接代公式，是变形题时用待定系数法。（2）用构造法：例：已知数列na中，1115,32nnnaaa，求na. 解：两边同除以12n，整理得：111331,1,22 222nnnnnnnnnaaabbbx2,21nq

10、bp是首项为92，公比为32的等比数列，11193b( )229 3222nnnnnnnab，. 练习：（1）已知数列na中，115,32nnnaaa，求na.（建议用不同方法解同一题，学习效果会更佳。 ）(2)若已知数列na中,115,35 2nnnaaa，求na7. 递推公式为nS与na的关系式。 (或()nnSf a)解 法 ： 这 种 类 型 用11(1)(2)nnnS naSSn与 消 去nS)2(n或 用1nnnaSS代 入()nnSf a，求出nS，再求na. 例： (1)已知数列na前 n 项和1123nnnSa，112a，求na. 解：1123nnnSa，11123nnnsa

11、，后式减前式，得：11123nnnaa，111,623pqxpq，63nna是首项为1522a，公比为12的等比数列。5623nnna. (2)已知nS是数列na的前 n 项和，2221nnnsas，求na精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思解：2n时有：21221nnnnnsasss，2211222nnnnnnssssss. 1112nnss，又2113,nss是公差为2，第二项为3 的等差数列，13(2) 221nnns，121nsn， 代 入2221nnnsas， 化 简 ，

12、 得 ：2(21)(32 )nann，1,(1)2(2)(21)(3 2 )nnannn. 小结： 只有2n时1nnnass才成立，若从第二项起是等差数列，用2(2)naand是等比数列用22nnaa q求na（2n）再验证1a是否成立，若成立，写出通项；若不成立就用分段式1a ,(1)(n),(2)nnnaNan表示。练习：已知nS是数列na的前 n 项和，12a2,a3,1122,(2)nnnsssn，求na. 8.形如：11nnnnaaaa式，两边同乘以11nnaa 转换方法解：对：11nnnnaaaa两边同乘以11nnaa，移项，得：111nnaa，数列1na是公差为，首项为11a的等

13、差数列。111(1)nnaa，取倒数，有：111(1)naaan. 例：已知数列na，1111,2nnnnaaaaa求数列的通项公式na。解：本题可仿照上边方式推出结果，也可以利用公式111(1)naaan，11,2,a代入，得：1a32nn. 小结： （！ ）题型可以变换，例如：11nnnaaa，只是形式上不同，实质一样，只需等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思两边取倒数就行了。一般以分式形式出现的变式1,(0,0)nnnkaakak，都是本题类型，大家不妨推导出通项公式。9

14、.形如1a( )nnaf n类型：举例说明，已知数列na，11a，1a31nnan，求数列的通项公式na. 解：1a31nnan，令：21221,62.kknkaak有：(1) 22 +12 ,6 +1.kknkaak有：(2) 2 +12 +22 +1,6 +4.kknkaak有：(3) 由（ 2）（ 1） ，得：2121a3kka，数列的奇数项构成公差是3，首项是1 的等差数列，211(1) 332kakk. 由（ 3）（ 2） ，得：222a3kka，数列的偶数项构成公差是3，首项是 3 的等差数列，23(1) 33kakk. 10. 通过求数列周期和运用数学归纳法求通项：对于某些数列不

15、易直接求出通项时，可以先求出123,.a a a，看是不是存在周期，如果存在就可以求出an，如果不存在，再归纳出an，最后用数学归纳法证明。例： (1)已知数列na满足)(133,0*11Nnaaaannn，求na，解：1230,3,3,aaa40,a存在周期，3T,0,(3 )3,(31)*()3,(32)nknknakNnk. (2) 已知数列na，1a2，211nnnaana，求数列的通项公式na. 解：1235a2,a3,a4,a6,.猜想：1,nan现在用数学归纳法予以证明。1） 当1n时，左边 =右边 =2，结论成立。2） 当nk时，假设结论成立，1,kak精选学习资料 - - -

16、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思当nk时，21111(1)(1)12(1)1nknakakk kkka，结论也成立。由 1） ，2）知：nN时：1nan. 小结： （1）这类题是用从特殊到一般的方法处理，若是周期数列，先求出周期，再求通项，形如：111nnaa，21nnnaaa，都是周期数列。若不是周期数列，就归纳出通项，再用数学归纳法给以证明。数学归纳法1） ，2）两个步骤缺一不可。练习：已知数列1111,.,1447 710(32)(3n1)n，ns是数列的前n 项和， （ 1）计算：1234s ,s ,s ,s； （2）求ns. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页