立体几何近全国真题及答案文科.doc

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1、空间点、线、面的位置关系(文科)考纲要求常考知识点能力要求命题规律理解点、直线、平面之间的位置关系；证明平行或垂直；求锥体或柱体的高或体积.考查考生空间想象能力，运算求解能力与推理论证能力.通常都会有一道选填题与一道解答题，选填题难度中等，而解答题则位于第18题与第19题之间。【十年真题】（A）组1.（2016年全国卷第4题）边长为的正方体顶点都有同一球面上，则该球的表面积为（A） （B） （C） （D）2.（2015年全国卷第6题）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一

2、个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（A）斛 （B）斛 （C）斛 （D）斛3.（2010年全国卷第7题）设长方体的长、宽、高分别为、,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（A） （B） （C） （D）4.（2012年全国卷第8题）平面截球的球面所得圆的半径为，球心到平面的距离为，则此球的体积为 （A） （B） （C） （D）5.（2015年全国卷第10题）已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（A） （B） （C） （D）

3、6.（2009年全国卷第9题）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（A） （B）（C）三棱锥的体积为定值 （D）的面积与的面积相等7.（2008年海南宁厦卷第14题）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为，则这个球的体积为8.（2013年全国卷第15题）已知是球的直径上一点，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为.9.（2013年全国卷第16题）已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的

4、高的比值为_10.（2017年全国卷第6题）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是11. （2017年全国卷第15题）长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 .12.（2017年全国卷第9题）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（A） （B） （C） （D）13.（2017年全国卷第10题）在正方体中，E为棱CD的中点，则（A） （B）（C）（D）14.（2007年海南宁厦卷第18题） DBAC 如图，为空间四点在中，等边

5、三角形以为轴运动（）当平面平面时，求；（）当转动时，是否总有？证明你的结论15.（2008年海南宁厦卷第18题）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图它的正视图和俯视图在下面画出（单位：cm）（）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（）在所给直观图中连结，证明：面16.（2009年全国卷第18题）如图，在三棱锥中，是等边三角形，（）证明：；（）若，且平面平面，求三棱锥体积17.（2010年全国卷第18题）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，,垂足为，是四棱锥的高.（）证明：平面 平面；（）若,求四棱锥的体积.18.（

6、2011年全国卷第18题）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面（）证明：；（）设，求棱锥的高19.（2014年全国卷第18题）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，是的中点.（）证明：平面；PABCDE（）设，三棱锥的体积，求到平面的距离.20.(2013年全国卷第18题)如图，直三棱柱中，分别是的中点 ()证明：平面； ()设，求三棱锥的体积.21.（2015年全国卷第19题）如图，长方体中，点分别在、上，过的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（II）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值 （B）组22.（2007年海南宁厦卷第11题）

7、已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，则球的体积与三棱锥体积之比是（A） （B） （C） （D）23.（2008年海南宁厦卷第11题）已知平面平面，点，直线，直线，直线，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（A） （B） （C） （D）24.（2016年全国卷第11题）平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则，所成角的正弦值为（A） （B） （C） （D）25.（2016年全国卷第11题）在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球.若，则的最大值是（A） （B） （C） （D）26.（2017年全国卷第16题）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA平面

8、SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为_.BACDEG27.（2015年全国卷第18题）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，.（I）证明：平面平面；（II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.28.（2016年全国卷第18题）如图，在已知正三棱锥的侧面是直角三角形，顶点在平面内的正投影为点，在平面内的正投影为，连接并延长交于点.（I）证明是的中点；（II）在答题卡第（18）题图中作出点在平面内的正投影（说明作法及理由），并求四面体的体积29.（2012年全国卷第19题）如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，是棱的中点.() 证明：平面平面；（）平面分此棱柱为

9、两部分，求这两部分体积的比.30.（2013年全国卷第19题）如图，三棱柱中，.（）证明：；（）若，求三棱柱的体积.AA1C1B1BCO31.（2014年全国卷第19题）如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.()证明：（）若,，求三棱柱的高. 32.（2016年全国卷第19题）如图，菱形的对角线与交于点，点、分别在，上，交于点，将沿折到的位置.（I）证明：；(II)若,求五棱锥体积.ABCDPNM33.（2016年全国卷第19题）如图，四棱锥中，底面，为线段上一点，为的中点.（I）证明：平面;（II）求四面体的体积.34.（2017年全国卷第18题）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/

10、CD，且（）证明：平面PAB平面PAD；（）若PA=PD=AB=DC,且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积.35.（2017年全国卷第18题）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，.（）证明：直线平面;（）若面积为，求四棱锥的体积.36.（2017年全国卷第19题）如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，AD=CD（）证明：ACBD；（）已知ACD是直角三角形，AB=BD若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比37.（2018年全国卷第18题）如图，在平行四边形中，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且（1）证明：平面平面；（2）为

11、线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积38.（2018年全国卷第19题）如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离39.（2018年全国卷第19题）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由空间点、线、面的位置关系（文科）（A）组1.A 2.B 3.B 4.B 5.C 6.D 7. 8. 9. 10.A11. 12.B 13.C EDBCA14.【解析】（）取的中点，连结，因为是等边三角形，所以当平面平面时，因为平面平面，所以平面，可知.由已知可得，在中，（）当以为轴转动

12、时，总有证明：（）当在平面内时，因为，所以都在线段的垂直平分线上，即（）当不在平面内时，由（）知又因，所以又为相交直线，所以平面，由平面，得综上所述，总有15.【解析】（）如图： 3分（）所求多面体体积（）证明：在长方体中，连结，则因为分别为，中点，所以，从而又平面，所以面 16.【解析】（）因为是等边三角形，所以，可得如图，取中点，连结，则，所以平面，所以（）作，垂足为E，连结AE因为，所以AEPC，AE=BE由已知平面PAC平面PBC，故因为，所以都是等腰直角三角形由已知PC=4，得AE=BE=2，的面积因为PC平面AEB，所以三棱锥的体积17.【解析】()因为是四棱锥的高，所以,又, 平

13、面, 平面,且.所以平面，而平面，故平面平面. ()因为四边形为等腰梯形，所以, ,，. 因为， 所以,.可得. 所以等腰梯形的面积为. 所以四棱锥的体积为.18.【解析】（）因为， 由余弦定理得，从而，故.又平面，平面，故.由可得平面. 而平面，故.（）如图，作，垂足为.已知平面，平面，故.由（）知，又，所以.由可得平面.而平面，故.另由，得平面.由题设知，则，根据，得，PABCDEOH即棱锥的高为19.【解析】（）设交于点，连结.因为为矩形，所以为的中点.又为的中点，所以.又平面，平面.所以平面.（）由，可得.作交于.由题设知，所以.故，又，所以到平面的距离为.20.【解析】()连结交于点

14、，则为中点又是中点，连结，则.因为平面，平面，所以平面.()因为是直三棱柱，所以.由已知，为的中点，所以.又，于是平面.由，得，故，即.所以.21.【解析】（I）在上取点,在上取点，使得, 然后连接,即组成正方形，即平面.（II）两部分几何体都是高为10的四棱柱，所以体积之比等于底面积之比，即 （B）组22.【解析】如图，平面截球是大圆，为等腰直角三角形，所以，选D.23.【解析】由题意得，所以正确，当时，不垂直于.24.【解析】如图在正方体的前面补一个相同的正方体，由题意得，由正方体的性质易知与所成的角为，所以与所成的角为.正弦值为.25.【解析】在三边长为6,8,10的直角三角形中，它的内

15、切圆的半径，因为，所以当时球的体积最大，.26.27.【解析】（）四边形为菱形， ，而平面,平面,而，平面，平面.又平面,平面平面. （II）设，在菱形中，又 ，可得，.,在中，可得.平面,平面,，三棱锥的体积=，解得=2， 从而可得.所以的面积为，的面积与的面积均为，故三棱锥的侧面积为. 【考点分析】本小题主要空间线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积、侧面积的计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力. 28.解：（）在平面内的投影为， 即平面， ，又在平面内的正投影为，即平面， ，又、平面，且，平面，又由已知可得：，故点是的中点（）在平面内，过点作的平行线交于点，即为点在平面内的正投影理由如

16、下：由已知可得：，故平面，又，平面，即点为点在平面内的正投影连结，由已知可得：是正三角形的中心，是的中心，故点在上，且 由已知可得：平面，又平面， ，由已知可得：正三棱锥的侧面均为直角三角形且， 可得：，.在等腰直角三角形中，可得四面体的体积为29.【解析】（）由题设知,，且,面, 又面，,另由题设知,即,又, 面, 面，面面；（）设棱锥的体积为，且，由题意得，三棱柱的体积，平面分此棱柱为两部分体积之比为.【考点分析】本小题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积的计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力.30.【解析】（）取的中点，连接、，又，为等边三角形，而，平面，又平面，.

17、（）由题设知与都是边长为的等边三角形，又，即，而，平面，AA1C1B1BCODH【考点分析】本小题主要空间线线、线面垂直的判定与性质及几何体的体积的计算，考查空间想像能力、逻辑推理能力.31.【解析】（）连结，设与的交点为，侧面为菱形，又平面，平面，=而，平面，平面，. （II）作,垂足为,连结,作,垂足为,平面，平面，, 而，平面,又平面,，又,平面.由题设知,为等边三角形,又,可得，而，且，又为的中点，点到平面的距离为，即三棱柱的高为.【考点分析】本小题主要空间线线、线面垂直的判定与性质及几何体的体积的计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力.32.【解析】 （I）由已知得，又由得，故由此得因

18、此， （II）由得由得所以于是故由（I）知，又，所以平面于是又由，所以，平面又由得则五边形的面积因此，五棱锥体积【考点分析】空间中的线面关系判断，几何体的体积ABCDPNMQE33.【解析】（I）取的中点，连接，因为为的中点，所以且因为且，所以又因为，所以且所以四边形为平行四边形.所以.又因为平面，平面所以平面.（II）因为底面，为的中点，所以到平面的距离为. 取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故.所以四面体的体积. 【考点分析】直线与平面平行的判定；三棱锥的体积34.【解析】（）由已知，得,.由于，故，从而平面.又平面，所以平面平面.（）在平面内作，垂足为.由（）知，平面，故，可得平面

19、.设，则由已知可得，.故四棱锥的体积.由题设得，故.从而，.可得四棱锥的侧面积为.35.【解析】（）在平面ABCD内，因为BAD=ABC=90，所以BCAD.又，故BC平面PAD.（）取AD的中点M，连结PM，CM，由及BCAD，ABC=90得四边形ABCM为正方形，则CMAD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以PMAD，PM底面ABCD，因为，所以PMCM.设BC=x，则CM=，CD=，PM=，PC=PD=.取CD的中点N，连结PN，则PNCD，所以.因为PCD的面积为，所以.解得（舍去），于是AB=BC=2，AD=4，PM=，所以四棱锥P-A

20、BCD的体积36.【解析】（）证明：取中点，连，为中点，又是等边三角形，又，平面，平面，.（）设又在中，设由余弦定理得为的中点，则.37.解：（1）由已知可得，=90，又BAAD，所以AB平面ACD又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=又，所以作QEAC，垂足为E，则由已知及（1）可得DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE=1因此，三棱锥的体积为38.（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP=连结OB因为AB=BC=，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OB=2由知，OPOB由OPOB，OPAC知PO平面ABC

21、（2）作CHOM，垂足为H又由（1）可得OPCH，所以CH平面POM故CH的长为点C到平面POM的距离由题设可知OC=2，CM=，ACB=45所以OM=，CH=所以点C到平面POM的距离为39.解：（1）由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM又BCCM=C，所以DM平面BMC而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC（2）当P为AM的中点时，MC平面PBD证明如下：连结AC交BD于O因为ABCD为矩形，所以O为AC中点连结OP，因为P为AM 中点，所以MCOPMC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD