新课标高中数学必修2第四章_圆与方程.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流新课标高中数学必修2第四章_圆与方程.精品文档.第29讲 4.1.1 圆的标准方程学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；能用待定系数法、几何法求圆的标准方程.知识要点：1. 圆的标准方程：方程表示圆心为A（a，b），半径长为r的圆.2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；（2）待定系数法：先根据条件列出关于a、b、r的方程组，然后解出a、b、r，再代入标准方程.例题精讲：【例1】（01年全国卷.文）过点、且圆心在直线xy20上的圆的方程是（ ）.A.（

2、x3）2（y1）24 B.（x3）2（y1）24C.（x1）2（y1）24 D.（x1）2（y1）24解：由圆心在直线xy20上可以得到A、C满足条件, 再把A点坐标（1，1）代入圆方程. A不满足条件. 所以，选C.另解：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r, 因为圆心C在直线x+y2=0上, b=2a.由|CA|=|CB|，得（a1）2+（b+1）2=（a+1）2+（b1）2，解得a=1，b=1.因此，所求圆的方程为（x1）2+（y1）2=4. 选C.【例2】求下列各圆的方程：（1）过点，圆心在；（2）圆心在直线上的圆C与y轴交于两点解：（1）设所求圆的方程为. 则 ， 解得. 圆的方程为

3、.（2）圆心在线段AB的垂直平分线上，代入直线得，圆心为，半径. 圆C的方程为.【例3】推导以点为圆心，为半径的圆的方程.解：设圆上任意一点，则.由两点间的距离公式，得到.化简即得圆的标准方程：点评：这里的推导方法，实质就是求曲线方程的通法，其基本步骤是：建系设点（建立合适的坐标系，设所求曲线上的动点）写条件（写出动点M所满足的条件）列式（用坐标来表示所写出的条件，列出方程）化为最简特殊说明.【例4】一个圆经过点与，圆心在直线上，求此圆的方程.解：设圆心，则， 解得.圆的半径. 圆的标准方程为.另解：线段AB的中点，即. 直线AB的斜率.所以弦AB的垂直平分线的方程为，即.解方程组，得， 即圆

4、心.圆的半径. 圆的标准方程为.点评：两种解法，都是先求出圆心与半径，第一种解法用设圆心坐标后列方程而求，第二种解法用两条直线的交点求圆心. 由上可得，解法关键都是如何求圆心与半径.第29练 4.1.1 圆的标准方程基础达标1圆的圆心和半径分别是（ D ）.A，1 B，3 C， D，2已知直线l的方程为，则圆上的点到直线l的距离的最小值是（ B ）.A. 3 B. 4 C. 5 D. 63过两点P(2,2),Q(4,2) 且圆心在直线上的圆的标准方程是（A ）.AB. C. D. 4（04年天津卷理7）若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ A ）.A. B. C. D. 5已知圆，一束光

5、线从点经轴反射到圆周的最短路程是（ B ）.A. B. 8 C. D. 10解：圆心坐标(5,7),半径=2，A点相对X轴的对称点是A(-1,-1)，AC与圆C相交于点D，则线段AD的长度就是最短距离。AD的长度 |AD| = |AC| - |CD|=根号(5+1)2+(7+1)2-2=10-2=8即最短是86已知点A(4，5)，B(6，1)，则以线段AB为直径的圆的方程为 . 7（04年江苏卷.14）以点为圆心，与直线相切的圆的方程是 . 能力提高8求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程.解：设所求圆的方程为，则 ，解得. 所求圆的方程为(x-4)2+(y-5

6、)2=10.另解：由AB为圆的弦，可知圆心P在AB中垂线x=4上，则由，解得圆心P（4，5）， 半径r=|PA|=. 圆方程为(x-4)2+(y-5)2=10.9求与x轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长等于的圆的方程. 解：因圆心在直线上，故可设圆心. 又 圆与轴相切， ， 从而设圆方程为. 由弦心距， ，解得. 当时，圆方程为. 当时，圆方程为.探究创新10（03年京春文）设A（c，0），B（c，0）（c0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a0），求P点的轨迹.解：设动点P的坐标为P（x，y）, 由=a（a0），得=a， 化简得：（1a2）x2+2c（1+a2）

7、x+c2（1a2）+（1a2）y2=0.当a1时，得x2+x+c2+y2=0. 整理得：（xc）2+y2=（）2. 当a=1时，化简得x=0.所以当a1时，P点的轨迹是以（c，0）为圆心，|为半径的圆；当a=1时，P点的轨迹为y轴.第30讲 4.1.2 圆的一般方程学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程；能用待定系数法求圆的一般方程.知识要点：1. 圆的一般方程：方程 （）表示圆心是，半径长为的圆. 2. 轨迹方程是指点动点M的坐标满足的关系式.例题精讲：【例1】求过三点A(2,2)、B(5,3)、C(3,1)的圆的方程.解：设所求圆的方程为. 则， 解得.

8、 圆的方程为.【例2】设方程，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及圆心的轨迹方程. 解：配方得，该方程表示圆，则有，得，此时圆心的轨迹方程为，消去m，得，由得x=m+3. 所求的轨迹方程是，【例3】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆上运动，求线段AB的中点轨迹方程. （教材P133 例5 另解）（利用中点坐标公式可更简单）解：设圆的圆心为P(-1,0)，半径长为2，线段AB中点为M(x, y). NM(x,y)AyxPB(4,3)取PB中点N,其坐标为(,)，即N(,). M、N为AB、PB的中点, MNPA且MN=PA=1. 动点M的轨迹为以N为圆心，半径长为1的圆.所求轨迹

9、方程为：.点评：此解为定义法，利用中位线这一几何性质，将所求动点的轨迹转化为到定点的距离等于定长，即圆的定义. 解法关键是连接PB，取PB的中点N，得到MN的长度为定值. 教材中的解法是通过设动点的坐标，然后找出相关的几何条件，得到动点坐标所满足等式即所求轨迹方程.【例4】求经过两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的方程.解：设所求圆的方程为. 当时，则； 当时，则.则， 解得. 圆的方程为.点评：用待定系数法的一般步骤是“设（设含待定系数的方程）列（利用条件列出系数所满足的方程组）求（解方程组）写（写出所求方程）”. 当已知圆上三点或两点时，选用圆的一般方程形式较为简单. 当易知圆心和

10、半径时，选用圆的标准方程形式易求解.第30练 4.1.2 圆的一般方程基础达标1方程表示圆的条件是（ D ）. A. B. C. D. 2M（3，0）是圆内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是（ B ）. A. B. C. D. 解：配方(x-4)+(y-1)=17，圆心C(4,1)，最长的弦就是直径，所以就是MC，MC斜率是(1-0)/(4-3)=1所以是x-y-3=0 3（04年重庆卷.文理3）圆的圆心到直线的距离为（ D ）. A . 2 B. C. 1 D. 4（1999全国文）曲线x2+y2+2x2y=0关于（ B ）. A. 直线x=轴对称 B. 直线y=x轴对称 C. 点（2，）

11、中心对称 D. 点（，0）中心对称5若实数满足，则的最大值是（ A ）. A. B. C. D. 解;易知，d=(x+y)的意义就是圆:(x+2)+(y-1)=9上的点到原点的距离，而该圆的圆心(-2,1)到原点O的距离为5,数形结合可知，(x+y)max=5.+36已知圆C：(x-1)2+y2=1，过坐标原点O作弦OA，则OA中点的轨迹方程是 . （x0）；7（1997上海卷）设圆x2+y24x5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是 . . x+y4=0.解：首先确定圆心O为（2，0），设经过圆心和AB中点的直线方程为：y=kx+b，计算得出：k=1,b=-2因为OPAB，（

12、垂径定理）可知：直线AB斜率为-1，这样算出直线AB的方程为：y=-x+4能力提高8求经过三点、的圆的方程.解：设所求圆的方程为， 、三点在圆上，代入圆的方程并化简，得，解得D7，E3，F2. 所求圆的方程为.9一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程. 解：设是曲线上的任意一点， 点M到点O、A的距离之比为，化简得.探究创新10如图，过圆O：x2+y2=4与y轴正半轴交点A作此圆的切线AT，M为AT上任一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，求MAQ垂心P的轨迹方程. 解：连OQ，则由OQMQ，APMQ得OQAP. 同理，OAPQ.又OA=OQ, OA

13、PQ为菱形, |PA|=|OA|=2.设P(x，y)，Q(x0，y0)，则.又x02+y02=4， x2+(y-2)2=4（x0）.第31讲 4.2.1 直线与圆的位置关系学习目标：能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定： 方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x或（y），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；方法二：利用圆心（）到直线的距离，比较d与r的大小.（1）相交 ；（2）相切；（3）相离.2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几

14、何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式例题精讲：【例1】（02年全国卷.文）若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2y22x0相切，则a的值为 .解：将圆x2y22x0的方程化为标准式：（x1）2y21, 其圆心为（1，0），半径为1，由直线（1a）xy10与该圆相切，则圆心到直线的距离， a1. 【例2】求直线被圆所截得的弦长. （P144 练习1题）解：由题意，列出方程组，消y得，得，.设直线与圆交于点，则另解：圆心C的坐标是，半径长. 圆心到直线的距离.所以，直线被圆截得的弦长是.【例3】（04年辽宁卷.13）若经过点的直线与圆相切，则此直线在y轴上的截距是 . 解：圆的标准方程为

15、，则圆心，半径.设过点的直线方程为，即. 圆心到切线的距离，解得. 直线方程为，在y轴上的截距是1.点评：研究直线和圆的相切，简捷的方法是利用公式，还可以由方程组只有一个实根进行解答. 选择恰当的方法，是我们解题的一种能力.【例4】设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为，求圆的方程. 解：设A关于直线x+2y=0的对称点为A. 由已知得AA为圆的弦，得到AA的对称轴x+2y=0过圆心.设圆心P（-2a，a），半径为r， 则r=|PA|=(-2a-2)2+(a-3)2.又弦长，圆心到弦AA的距离为， ， 即4(a+1)2+(a-3)2=

16、2+， 解得a=-7或a=-3.当a=-3时，r=；当a=-7时，r=. 所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.点评：在解答与圆的弦长相关的一些问题时，常用勾股定理，得到圆心到弦的距离d、半径r、半弦长的一个勾股式. 这种方法与方程组的思想求解弦长问题相比，计算过程较为简单.第31练 4.2.1 直线与圆的位置关系基础达标1直线4x3y20与圆的位置关系是（ A ）. A相交B相切 C相离D以上都不对2（08年全国卷. 文10）若直线与圆有公共点，则（ D ）. ABCD3平行于直线2xy+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（ D ）.

17、A2xy+5=0B2xy5=0 C2xy+5=0或2xy5=0 D2xy+5=0或2xy5=04直线x=2被圆所截弦长等于, 则a的值为（ C ）. A. 1或3 B.或 C. 1或3 D. 5（04年全国卷. 文5理4）圆在点处的切线方程为（ D ）. A. B. C. D.6已知圆C：及直线：，则直线被C截得的弦长为 . 7（03年上海春）若经过两点A（1，0）、B（0，2）的直线l与圆（x1）2+（ya）2=1相切，则a= 4能力提高8求直线x+y2=0截圆x2y24得的劣弧所对的圆心角. 解：如图所示，由, 消y得：x23x+2=0, x1=2，x2=1. A（2，0），B（1，）.

18、|AB|=2.又|OB|OA|=2, AOB是等边三角形，AOB=.9一直线过点，被圆截得的弦长为8, 求此弦所在直线方程.解：（1）当斜率k不存在时, 过点P的直线方程为, 代入,得.弦长为, 符合题意.（2）当斜率k存在时, 设所求方程为, 即.由已知, 弦心距， , 解得.所以，此直线方程为, 即. 所以所求直线方程为或.探究创新10（1997全国文）已知圆满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为31；圆心到直线l：x2y=0的距离为. 求该圆的方程.解：设圆的方程为（xa）2+（yb）2=r2. 令x=0，得y22by+b2+a2r2=0.|y1y2|=2，得r2=a

19、2+1令y=0，得x22ax+a2+b2r2=0， |x1x2|=，得r2=2b2由、，得2b2a2=1.又因为P（a，b）到直线x2y=0的距离为，得d=，即a2b=1.综上可得或，解得或. 于是r2=2b2=2.所求圆的方程为（x+1）2+（y+1）2=2或（x1）2+（y1）2=2.第32讲 4.2.2 圆与圆的位置关系学习目标：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系. 掌握坐标法的思想，用解方程组判别位置关系或求交点坐标.知识要点：两圆的位置关系及其判定： 设两圆圆心分别为，半径分别为，则：（1）两圆相交；（2）两圆外切；（3）两圆内切；例题精讲：【例1】已知圆：，圆：（1）试判断两

20、圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程.解：（1）圆的圆心为（3,0），半径为，圆的圆心为（0，2），半径为，又，圆与相交.（2）由，得公共弦所在的直线方程为.【例2】求经过两圆和的交点，并且圆心在直线上的圆的方程.解：设所求圆的方程为，即则所求圆的圆心为.圆心在直线上，解得. 所求圆的方程为【例3】（04年全国卷.文理4）已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为 A. B. C. D.解：已知圆的半径，圆心，圆心关于直线的对称点为，则圆C的方程为. 选C.点评：圆关于直线的对称图形仍然是圆，半径不变，圆心关于直线对称. 我们要掌握一些常见对称问题的解答思路，例如点关于直线的对称，曲线关于

21、直线的对称，曲线关于点的对称等，解答理论基础有中点坐标公式、垂直时斜率乘积为1、代入法、转化思想.同时，我们也要掌握一些简单对称，如点关于直线的对称点为.【例4】求圆与圆的公共弦的长. （教材P144 习题A组9题）解：由题意，列出方程组，消去二次项，得.把代入，得，解得，于是，两圆的交点坐标是，所以，公共弦长.另解：由题意，列出方程组，消去二次项，得，它即公共弦所在直线的方程.圆的圆心到直线的距离为.所以，两圆的公共线长为.点评：为何两圆的方程消去二次项后，即为公共弦所在直线的方程，我们易由曲线系的知识可得. 比较方程思想与几何方法求解两圆的公共弦长，几何方法更为简捷. 先求公共弦所在直线，

22、再求一圆心到直线的距离，通过公式求得弦长.第32练 4.2.2 圆与圆的位置关系基础达标1圆与圆外切，则m的值为（ C ）. A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 不确定2（1995全国文）圆x2y22x0和x2y24y0的位置关系是（ C ）. A.相离 B.外切 C.相交 D.内切3（04年湖北卷.文4）两个圆与的公切线有且仅有（ B ）. A1条 B2条 C3条 D4条4求与圆同心，且与直线相切的圆的方程.解：将方程配方，得，所以所求圆的圆心为（1，-2）.又所求圆与直线相切，圆的半径，所求圆的方程. 5圆和的公共弦所在直线方程为（ B ）. A. B. C. D. 6两圆：x 2 +

23、 y 2 + 6 x + 4y = 0及x 2+y 2 + 4x + 2y 4 =0的公共弦所在直线方程为 . x+y+2=0 7（2000上海春，11）集合A（x，y）|x2y24，B（x，y）|(x3)2(y4)2r2，其中r0，若AB中有且仅有一个元素，则r的值是 . 3或7 .能力提高8若圆和圆关于直线对称，则直线的方程为（ C ）. A. B. C. D. 9求圆关于直线的对称圆方程. 解：圆方程可化为, 圆心C(-2,6), 半径为1. 设对称圆圆心为，则C与C关于直线对称，因此有, 解得. 所求圆的方程为. 探究创新10求一宇宙飞船的轨道，使得在轨道上任一点处看地球和月球的视角都

24、相等. 解：设地球和月球的半径分别为R、r，球心距为d，以地球、月球球心连线的中点为原点，连线所在直线为x轴，建立平面直角坐标系（如图）.设地球大圆圆心，月球大圆圆心，轨道上任一点，从M点向圆作切线，切点为A，从M点向圆作切线，切点为B，由题意知，即，整理得. 满足条件的宇宙飞船的运行轨道为圆.第33讲 4.2.3 直线与圆的方程的应用学习目标：能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想.知识要点：坐标法：建立适当的直角坐标系后，借助代数方法把要研究的几何问题，转化为坐标之间的运算，由此解决几何问题例题精讲：【例1】有一种大型商品，

25、A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，A地的运费是B地运费的3倍已知A、B两地相距10千米，顾客购物的标准是总费用较低，求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地解：建立使A(5，0)、B(5，0)的直角坐标系，设单位距离的运费是a元. 若在A地购货费用较低，则：价格A地运费价格B地运费即 .a0， 8x28y2100x200y0.得(x)2y2()2 .两地购物区域的分界线是以点C(，0)为圆心，为半径的圆. 所以，在圆C内的居民从A地购物便宜，圆C外的居民从B地购物便宜，圆C上的居民从A、B两地

26、购物总费用相等【例2】自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射, 其反射光线所在的直线与圆相切, 求光线l所在的直线方程.解：由已知可得圆C：关于x轴对称的圆C的方程为，其圆心C（2，-2），易知l与圆C相切. 设l: y-3=k(x+3), 即kx-y+3k+3=0.，整理得12k2+ 25k+12=0, 解得或.所以，所求直线方程为y-3= (x+3)或 y-3= (x+3)，即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.点评：关于求切线问题, 利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件, 是解决圆的切线方程的常用方法. 如果由方程组思想，通过“”求切线方程也可, 但过程要复杂些. M

27、(x,y)Q(4,0)oxyP【例3】实数满足， 求下列各式的最大值和最小值：（1）；（2）.解：原方程为，表示以为圆心，2为半径的圆. （1）设，几何意义是：圆上点与点连线的斜率. 由图可知当直线MQ是圆的切线时，取最大值与最小值。 设切线，即. 圆心P到切线的距离，化简为，解得或. 的最大值为0,最小值为.（2）设，几何意义是：直线与圆有公共点. 圆心P到直线的距离2，解得. 的最大值为，最小值为.点评：代数式最大值最小值的研究，常用数形结合思想方法，将要研究的代数问题转化为几何问题，关键是如何挖掘代数式的特点，利用几何意义进行转化。例如，由代数式联想到两点的距离公式，或圆的方程；由代数式

28、联想到两点的斜率，或直线的方程；由代数式联想到直线的方程；由代数式联想到数轴上到两点的距离之和，等等。第33练 4.2.3 直线与圆的方程的应用基础达标1实数x，y满足方程，则的最小值为（ C ）. A. 4 B. 6 C. 8 D. 122若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a,b)的位置是（ B ）. A.在圆上B.在圆外 C.在圆内D.都有可能3如果实数满足，则的最大值为（ A ）. A. B. C. D. 4一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过（ C ）. A. 1.4米 B. 3.

29、0米 C. 3.6米 D. 4.5米5（2000全国）过原点的直线与圆x2y24x30相切，若切点在第三象限，则该直线方程是（ C ）. A. y=x B. y=x C. y=x D. y=x6（04年全国卷. 文15理14）由动点P向圆引两条切线PA、PB，切点分别为A、B， APB=60，则动点P的轨迹方程为 . 7已知直线与曲线有两个公共点，则c的取值范围 . 能力提高8已知实数满足，求的值域.解：方程化为，其几何意义为：以为圆心，1为半径的圆.设，其几何意义为：圆C上的点与点连线的斜率.将变形为，则圆心到直线PQ的距离，解得. 的值域为. 9在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，使

30、三角形的一边为AB，顶点C在半圆上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于ABC的矩形水池DEFN，其中，DE在AB上，如图的设计方案是使AC8， BC6. （1）求 ABC中 AB边上的高 h；（2）设DNx，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树 解：(1)由，得.（2）NFAB，CNFCAB，.当x2.4时，的值最大（3）当最大时x=2.4，此时F为BC中点在RtFEB中，EF2.4，BF3，

31、 .又BM=1.85BE，故大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案.又 当x2.4时，DE5， AD3.2.由圆的对称性知满足题设条件的另外设计方案是如图（2），此时，AC6，AD1.8，BD8.2，此方案满足条件且能避开大树探究创新10船行前方的河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面为9m，拱圈内水面宽22m船只在水面以上部分高6.5m、船顶部宽4m，故通行无阻近日水位暴涨了2.7m，船已经不能通过桥洞了船员必须加重船载，降低船身试问船身必须降低多少，才能顺利地通过桥洞？解：画出正常水位时的桥、船的示意图如图1；涨水后桥、船的示意图如图2以正常水位时河道中央为原点，建立如图2

32、所示的坐标系设桥拱圆顶的圆心O1(0，y1)，桥拱半径为r，则桥拱圆顶在坐标系中的方程为x2+(y-y1)2=r2.桥拱最高点B的坐标为(0，9)，桥拱与原始水线的交点A的坐标为(11，0)圆O1过点A，B，因此 02+(9-y1)2=r2，112+(0-y1)2=r2，两式相减后得 121+18y1-81=0， y1=-2.22；回代到两个方程之一，即可解出r11.22所以桥拱圆顶的方程是 x2+(y+2.22)2=125.94当船行驶在河道的正中央时，船顶最宽处角点C的坐标为(2，y)使船能通过桥洞的最低要求，是点C正好在圆O1上，即22+(y+2.22)2=125.94，解出 y8.82

33、扣除水面上涨的2.70， 点C距水面为8.822.70=6.12船身在水面以上原高6.5，为使船能通过桥洞，应降低船身6.56.12=0.38(m)以上第34讲 4.3.1 空间直角坐标系学习目标：通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.知识要点：1. 空间直角坐标系：从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.2. 右手直角坐标系：在空间直

34、角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3. 空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M，作出M点在三条坐标轴Ox轴、Oy轴、Oz轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z，则把有序实数组(x, y, z)叫做M点在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x, y, z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.4. 在xOy平面上的点的竖坐标都是零，在yOz平面上的点的横坐标都是零，在zOx平面上的点的纵坐标都是零；在Ox轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零，在Oy轴上的点的横坐标、竖坐标都是零

35、，在Oz轴上的点的横坐标、纵坐标都是零M（6，-2,4）Oxyz624例题精讲：【例1】在空间直角坐标系中，作出点M(6，2,4).解：点M的位置可按如下步骤作出：先在x轴上作出横坐标是6的点，再将沿与y轴平行的方向向左移动2个单位得到点，然后将沿与z轴平行的方向向上移动4个单位即得点M.M点的位置如图所示.【例2】在长方体中，AB=12，AD=8，=5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.解：以A为原点，射线AB、AD、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)、B(12,0,0)、C(12,8,0)、D(0,8,0)、(0,0,5)、(12,0,5)、

36、(12,8,5)、(0,8,5).【例3】已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.分析：先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系. 解：正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，正四棱锥的高为.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB、BC所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2,-2,0)、B(2,2,0)、C(-2,2,0)、D(-2,-2,0)、P(0,0,).点评：在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便

37、于计算所需确定的点的坐标.【例4】在空间直角坐标系中，求出经过A(2,3，1)且平行于坐标平面yOz的平面的方程.分析：求与坐标平面yOz平行的平面的方程，即寻找此平面内任一点所要满足的条件，可利用与坐标平面yOz平行的平面内的点的特点来求解.解：坐标平面yOzx轴，而平面与坐标平面yOz平行， 平面也与x轴垂直， 平面内的所有点在x轴上的射影都是同一点，即平面与x轴的交点， 平面内的所有点的横坐标都相等。平面过点A(2,3,1)， 平面内的所有点的横坐标都是2， 平面的方程为x=2.点评：对于空间直角坐标系中的问题，可先回忆与平面直角坐标系中类似问题的求解方法，再用类比方法求解空间直角坐标系

38、中的问题。本题类似于平面直角坐标系中，求过某一定点且与x轴(或y轴)平行的直线的方程.第34练 4.3.1 空间直角坐标系基础达标1点在空间直角坐标系的位置是（ C ）. A. y轴上 B. 平面上 C. 平面上 D. 平面上 2在空间直角坐标系中，下列说法中：在x轴上的点的坐标一定是；在平面上的点的坐标一定可写成；在z轴上的点的坐标可记作；在平面上的点的坐标是. 其中正确说法的序号依次是（ D ）. A. B. C. D. 3结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图. 其中实点代表钠原子，黑点代表氯原子. 建立空间直角坐标系Oxyz后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是（ A ）

39、. A B C D4点在x轴上的射影和在平面上的射影点分别为（ B ）. A. 、 B. 、 C. 、 D. 、5点分别在面（ A ）. A. 上 B. 上 C. 上 D. 上6点关于原点对称的点的坐标是 . 7连接平面上两点、的线段的中点M的坐标为，那么，已知空间中两点、，线段的中点M的坐标为 . 能力提高8如图，点，在四面体ABCD中，AB平面BCD，BC=CD，BCD=90，ADB=30，E、F分别是AC、AD的中点. 求D、C、E、F这四点的坐标. 解：由及ADB=30，得到点D坐标.又BC=CD，BCD=90，得. 由E、F分别是AC、AD的中点，得，9在空间直角坐标系中，给定点，求

40、它关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标.解：点关于平面、平面、平面的对称点的坐标分别是、.点关于x轴、y轴、z轴、原点的对称点的坐标分别是、. 探究创新?10在空间直角坐标系中，求出经过B(2,3,0)且垂直于坐标平面xOy的直线方程 解：所求直线的方程为x=2, 且y=3.第35讲 4.3.2 空间两点间的距离公式学习目标：通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.知识要点：1. 空间两点、间的距离公式：.2. 坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：在立体几何图形中建立空间直角坐标系；依题意确定各相应点的坐标 ；通过坐标运算得到答案.3. 对称

41、问题，常用对称的定义求解. 一般地，点P(x, y, z) 关于坐标平面xOy、yOz、zOx的对称点的坐标分别为(x, y,- z)、(-x, y, z)、(x, -y, z)；关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(x, -y,- z)、(-x, y, -z)、(-x, -y, z)；关于原点的对称点的坐标为(-x,- y,- z).例题精讲：【例1】已知A(x,2,3)、B(5,4,7)，且|AB|=6，求x的值.解：|AB|=6， 即，解得x=1或x=9.【例2】求点P(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标.解：设点P关于坐标平面xOy的对称点为，连交坐标平面xOy于Q，则坐

42、标平面xOy，且|PQ|=|Q|，在x轴、y轴上的射影分别与P在x轴、y轴上的射影重合， 在z轴上的射影与P在z轴上的射影关于原点对称，与P的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数， 点P(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(1,2,-3).【例3】在棱长为a的正方体-中，求异面直线间的距离. 解：以D为坐标原点，从D点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设P、Q分别是直线和上的动点，其坐标分别为(x, y, z)、(0，)，则由正方体的对称性，显然有x=y. 要求异面直线间的距离，即求P、Q两点间的最短距离. 设P在平面AC上的射影是H，由在中，所以，x=a-z， P的坐标为(a-z, a-z, z) |PQ|= 当时，|PQ|取得最小值，最小值为. 异面直线间的距离为.点评：通过巧设动点坐标，得到关于两点间距离的目标函数，由函数