数学分析公式定理1-11章.doc

《数学分析公式定理1-11章.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学分析公式定理1-11章.doc（60页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流数学分析公式定理1-11章.精品文档. 第一章 变量与函数1 函数的概念一 变量 变量、常量、实数性质、区间表示二 函数 定义 设，如果存在对应法则，使对，存在唯一的一个数与之对应，则称是定义在数集上的函数，记作().也记作。习惯上称自变量，为因变量。函数在点的函数值，记为，全体函数值的集合称为函数的值域，记作. 。注 （1） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。例：1） （不相同，对应法则相同，定义域不同）2） （相同，对应法则的表达形式不同）。（2）函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法则来表示一个函数。即“函数”或“函数”。

2、（3）“映射”的观点来看，函数本质上是映射，对于，称为映射下的象。称为的原象。3. 函数的表示方法 1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。2 可用“特殊方法”来表示的函数。分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。例：，（符号函数）用语言叙述的函数。 例：）（的最大整数部分）（irichlet）三 函数的一些几何特性 1、单调函数 定义2 设为定义在上的函数， （）若，则称为上的增函数；若，则称为上的严格增函数。（）若，则称为上的减函数；若，则称为上的严格减函数。例：证明：在上是严格增函数。例：讨论函数在上的单调性。注：单调性与所讨论的区间有关，区间必须关于原点对称。2、奇函数

3、和偶函数 定义3 设为对称于原点的数集，为定义在上的函数。若对每一个，有（），则称为上的奇函数；（），则称为上的偶函数。注：（）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于轴对称；（）奇偶性的前提是定义域对称；（）从奇偶性角度对函数分类：。3、周期函数 定义4. 设为定义在数集上的函数，若存在，使得对一切xX有，则称为周期函数，称为的一个周期。注：（1）若是的周期，则也是的周期，所以周期不唯一。（2）任给一个函数即使存在周期也不一定有最小正周期，如： （为常数），任何正数都是它的周期。2 复合函数和反函数一 复合函数 引言 先考察一个例子。 例：质量为的物体自由下落，

4、速度为，则功率为. 我们得到两个函数，把代入，即得.这样得到的函数称为“复合函数”。2 定义（复合函数） 设有两个函数，若内，则对每一个，通过对应内唯一一个值，而又通过对应唯一一个值，这就确定了一个定义在上的函数，它以为自变量，因变量，记作。这种函数成为复合函数。注：两个函数能复合，第一个函数的值域必须包含在第二个函数的定义域中。3. 例子 讨论函数与函数能否进行复合。4 说明 不仅要会复合，更要会分解例：.二、反函数 、 反函数概念|：设函数。满足：对于值域中的每一个值，中有且只有一个值，使得，则按此对应法则得到一个定义在上的函数，称这个函数为的反函数，记作 .2 注：a) 并不是任何函数都

5、有反函数；b) 函数与互为反函数，并有: 则函数的反函数通常记为 .定理设为严格增（减）函数，则必有反函数，且在其定义域上也是严格增（减）函数。3 基本初等函数一 初等函数 1.基本初等函数（7类）：常量函数（为常数）；幂函数；指数函数； 对数函数；三角函数；反三角函数。双曲函数 ，初等函数 定义由基本初等函数经过在有限次四则运算与有限次复合运算所得到的函数，统称为初等函数如：不是初等函数的函数，称为非初等函数。如Dirichlet函数、Riemann函数、取整函数等都是非初等函数。 例：求函数表为基本初等函数的复合。第二章 极限与连续2-数列的极限与无穷大量 一、 数列极限的定义 数列的定义

6、 定义：若函数的定义域为全体正整数集合，则称 为数列。注：记，则数列就可写作为：，简记为。 例：（1）；（2） （3）2、数列极限 （）引言 容易看出，数列的通项随着的无限增大而无限地接近于零。一般地说，对于数列，若当无限增大时，能无限地接近某一个常数，则称此数列为收敛数列，常数称为它的极限。不具有这种特性的数列就称为发散数列。据此可以说，数列是收敛数列，是它的极限。数列都是发散的数列。需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说明如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。以为例，可观察出该数列具以下特性：随着n的无限增大，无限地接近于1随着n

7、的无限增大，与的距离无限减少随着n的无限增大，无限减少会任意小，只要n充分大。如：要使，只要即可；要使，只要即可；任给无论多么小的正数，都会存在数列的一项，从该项之后，。即，当时，。如何找？（或存在吗？）解上面的数学式子即得：，取即可。这样当时，。综上所述，数列的通项随的无限增大，无限接近于，即是对任意给定正数，总存在正整数，当时，有。此即以为极限的精确定义，记作或。（2）.数列极限的定义 定义1 设为数列,a为实数,若对任给的正数,总存在正整数,使得当时有, 则称数列收敛于a, a称为数列的极限, 并记作或. 若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列。问题：如何表述没有极限？ （）举例说明

8、如何用定义来验证数列极限例：证明. 例：证明.例：证明.例：证明.例：证明，其中.（） 关于数列的极限的定义的几点说明a）关于： 的绝对任意性；的暂时固定性；的多值性；正由于是任意小正数， 我们可以限定小于一个确定的正数。 b）关于： 相应性（对应于给定的）；多值性。c）数列极限的几何理解： “当时有” 所有下标大于的项都落在邻域内；而在之外，数列中的项至多只有个（有限个）。d）数列极限的等价定义（邻域定义）：定义 任给，若在之外数列中，只有有限个，则称数列收敛于极限a.由此可见：数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关。所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或

9、改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响。例：证明都是发散数列。二 、 无穷小数列 在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：定义若，则称为无穷小数列。如都是无穷小数列。数列收敛于a的充要条件：定理数列收敛于的充要条件是为无穷小数列。三、 收敛数列的性质性质1（保序性）设数列与均收敛，若存在正数，使得当时有，则。性质2（保号性）若（或），则对任何（或），存在正数，使得当时有（或）。性质3（极限唯一性）若数列收敛，则它只有一个极限。性质4（迫敛性）设收敛数列、都以a为极限，数列满足：存在正数，当 时有，则数列收敛，且.注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而

10、且也提供了一个求数列极限的工具。例：求数列的极限。性质5（有界性）若数列收敛，则为有界数列。注：数列收敛则必有界，反之未必。例如数列有界，但它不收敛。四、 数列极限的运算性质（极限的四则运算法则）：若、为收敛数列，则也都收敛，且有 （1）;（2）.（3）若再做假设及，则数列也收敛，且有.在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。例：求，其中.例：求。五、 单调有界数列 在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）。这是极限理论的两基本问题。下面将重点讨论极限的存在性问题。定义若数列的各项满足不

11、等式，则称为递增（递减）数列。递增和递减数列统称为单调数列例如：为递减数列；为递增数列。定理（单调有界定理）在实数系中，有界且单调数列必有极限。例：设其中，证明数列收敛。例：证明下列数列收敛，并求其极限：例：证明存在。六、 无穷大量的定义 定义：设是一个数列。若当时必有，则称是无穷大量。 几何解析： 例：证明是无穷大量。定义：设是一个数列。若当时必有，则称是正无穷大量。定义：设是一个数列。若当时必有，则称是负无穷大量。七、 无穷大量的性质和运算 1、无穷大量和无穷小量的关系定理：为无穷大量，当且仅当，为无穷小量，这里要求。 2、无穷大量的一些运算法则定理：正无穷大量的和仍是正无穷大量，负无穷大

12、量的和仍是负无穷大量。无穷大量加上有界数列仍是无穷大量。定理：设为无穷大量，收敛于，则是无穷大量。2函数的极限一、 函数在一点的极限现在讨论当时，对应的函数值能否趋于某个定数。先看下面几个例子：例：。当时，当时，）。由上例可见，对有些函数，当时，对应的函数值能趋于某个定数；但对有些函数却无此性质。所以有必要来研究当时，的变化趋势。定义1设函数在点的附近有定义，为定数，若对任给的，使得当时有，则称称为时的极限，记作或.注:（）是结论，是条件，即由推出。（）是表示函数与的接近程度的。（3） 是表示与的接近程度，它相当于数列极限的定义中的。它的第一个特性是相应性。第二个特性是多值性。（）在定义中，只

13、要求函数在的某空心邻域内有定义，而一般不要求在处的函数值是否存在，或者取什么样的值。（）定义的几何意义。例：证明; 二、 函数极限的性质和运算性质1（局部保号性）若，则对任何正数，存在，当时，有；若，则对任何负数，存在，当时有。性质2（保序性）设和都存在，且存在，当时，有。性质3（唯一性）若极限存在，则此极限是唯一的。性质4（迫敛性）设，且存在，当时有，则。性质5（局部有界性）若存在，则在的某空心邻域内有界。性质6（海涅定理）都有。性质7（四则运算法则）若和都存在，则函数当时极限也存在，且 ）；）. 又若，则当时极限也存在，且有 ）。性质8 无穷小量乘有界变量仍是无穷小量。三 、 单侧极限 引

14、言 有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如或函数在某些点仅在其一侧有定义，如。这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？ 2定义2设函数在点的有近旁有定义，为定数，若对任给的，使得当时有，则称数为函数当趋于时的右极限，记作：或或。类似可给出左极限定义。注：右极限与左极限统称为单侧极限。例：讨论函数在的左、右极限。例：讨论在的左、右极限。3函数极限与的关系。定理.注：利用此可验证函数极限的存在。四、 函数在无限远处的极限 定义3设为定义在上的函数，为实数。若对任给的，存在正数，使得当时有 , 则称函数当时以为极限。记作或. 类似可定义和。注：。例: 按定义证明.例: 按定义证明）

15、；）.五、 函数值趋于无穷大的情形 定义4设函数在点的附近有定义，若对任给的，使得当时有，则称在点时趋于无穷大，记作。类似可定义，。六、 两个重要的极限1、证明：应用： 例：求.例：求.注：利用归结原则，可求数列极限。如求，直接利用是不严格的；但已知，故取，则，从而由归结原则. 例：求.2、证明：或.应用： 例：求.例：求.例：求3连续函数 一、连续的定义 1、（在点连续）定义设函数在某点的附近包括点有定义，若，则称在点连续。注：，即“在点连续”意味着“极限运算与对应法则可交换。例：在处连续。例：。例：讨论函数在点x=0处连续性。注：1）设，函数在点的增量。2）等价定义：函数在点连续。3) 等

16、价定义：函数在点连续，当时，。注：一个定义是等价的，根据具体的问题选用不同的表述方式。总的来讲，函数在点连续的要求是：在点有定义；存在；. 任何一条不满足，在点就不连续。同时，由定义可知，函数在某点是可连续，是函数在这点的局部性2在点左（右）连续定义（1）定义；设函数在点点的右(左)近旁包括点有定义，若 （），则称在点右（左）连续。（2）定理1（在点连续的等价刻划 ）：函数在点连续在点既是右连续，又是左连续。 例：讨论函数在点的连续性。二、 连续函数的性质和运算定理2（四则运算）若和在点连续，则也都在点连续。问题两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续？定理3（复

17、合函数的连续性）若在点连续，记，函数在连续，则复合函数 在 点连续。注： 根据连续性定义，上述定理可表为：.（即函数运算与极限可以交换次序，条件是函数连续，利用它可来求一些函数的极限。）三、 初等函数的连续性 定理4任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数。定理5 一切基本初等函数都是其定义域上连续函数。利用初等函数的连续性可计算极限例：设，证明：。例：求。四 、不连续点（间断点）的类型 不连续点分类） 可去间断点若，而在点无定义，或有定义但，则称为的可去间断点。 例如：是函数的可去间断点。设是的可去间断点，且。令，则是的连续点。） 第一类间断点若存在，但左右极限不相等，则称点为函数的第一类间

18、断点。 例如，对，故是它的第一类间断点。） 第二类间断点左右极限至少有一不存在的点（即函数至少有一侧极限不存在的点）称为函数的第二类间断点。 例如，是函数，的第二类间断点。五、 区间上连续函数的基本性质性质（最大、最小值定理）若在闭区间上连续，则在上有最大值与最小值。性质（有界性定理）若在上连续，则在上有界。注：上述性质成立的条件是充分的，而非必要的。性质（介值定理）设在上连续，且。若是介于和之间的任何实数，则至少存在一点，使得。注表明若在上连续，又的话，则在上可以取得和之间的一切值。性质（根存在定理）若在上连续，且和异号（），则至少存在一点，使得。几何意义若点和分别在轴两侧，则连接、的曲线与

19、轴至少有一个交点。 例：设在上连续，满足。证明：存在，使得。提示：构造适当的；构造适当的闭区间。六、一致连续性 一致连续的定义 定义3（一致连续）设为定义在区间上的函数。若对任给的，存在一个，使得对任何，只要，就有，则称函数在区间上一致连续。 2、函数在区间上连续与一致连续的比较 (1) 区别：（如下表）定义函数在连续，当时，函数在上一致连续，当，时，对的要求对于上的不同的点，相应的是不同的，换言之，的取值除依赖于外，还与有关，由此记为表示与和有关。的取值只与有关，而与无关，或者说，存在适合于上所有点的公共的，记作，它对任意的都适用。性质与区间中每一点及其附近的情形有关，即只要在区间中每一点，

20、连续就行。也即在每一点中可有适合定义中的，这是局部性质。要知在整个区间的情形，在整个区间内来找适合定义中的，这种性质称为整体性质。 (2) 关系 若在上一致连续，则在上连续；反之不成立。定理（康托Cantor定理）若函数在闭区间上连续，则在上一致连续。例：证明在上一致连续。例：（）证明函数在内不一致连续。（），证明在内是一致连续的。4无穷小量与无穷大量的阶两个无穷小量，在收敛于0的过程中，哪一个收敛速度更快呢？可以用它们之间的阶来比较。定义1 设当时，均为无穷小量。1) 若，则称为的高阶无穷小量，记作；2）若，则称为的同阶无穷小量，记作。3）若，则称和为等价无穷小量，记作。4）若，则称为K阶无

21、穷小量，称为的主要部分。注：可类似定义无穷大量。例：求当时，的阶和主要部分。注：在求极限过程中，可利用等价无穷小量代换求极限，但应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代。例：求极限。第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明1. 关于实数的基本定理一 子列 定义1 在数列中，保持原来次序自左至右任一选区无限多项，构成新的数列，就称为 的子列，记为。 子列的极限和原数列的极限的关系定理1 若，则的任何子列都收敛，并且它的极限也等于。注：该定理可用来判别不收敛。 例：证明 不收敛。推论：若对任何：都有收敛，则在的极限

22、存在。二 上确界和下确界 上确界的定义，下确界的定义定理2 非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界。定理3 单调有界数列必收敛.三 区间套定理 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件 对, 有 ;则称该闭区间序列为为区间套 .注：区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.（ 都不是）.例：和都是区间套.但定理4设是一闭区间套. 则存在唯一的点属于所有的区间。注：区间套中的任何一个条件去掉，定理一般将不成立。四 致密性定理 定理5 任一有界数列必有收敛子列。推论 若是一个无界数列，则存在子列。五 Cauchy收敛原理定理6 数列收敛 当时，有。注：定理可通过数列本身来判别它收敛还是发

23、散。例：设，证明发散。例：设，证明收敛。六 有限覆盖定理 复盖: 先介绍区间族.定义 (复盖 )：设是一个数集,是区间族.若对使得, 则称区间族复盖了, 或称区间族是数集的一个复盖. 记为若每个都是开区间，则称区间族是开区间族.开区间族常记为.定义 (开复盖 )：数集的一个开区间族复盖称为的一个开复盖,简称为的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.例：复盖了区间, 但不能复盖。定理7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖。注：在定理的条件中，若不是开区间集，或为非闭区间，则从中就不一定能选出有限个区间来覆盖。2闭区间上连续函数性质的证明一 有界性定理 定理1 闭区间上的连续函数必定有界。注：开区

24、间上的连续函数既可能有界，也可能无界。二 最大值和最小值定理 定理2 闭区间上的连续函数必定有最大值和最小值。三 零点存在定理 定理3 在闭区间连续，且，则在内至少有一个根。证法一(用区间套定理)； 证法二(用确界原理)； 证法三 (用有限复盖定理)。四 一致连续性定理 定理4 闭区间上的连续函数必定一致连续。证法一 (用区间套定理)； 证法二 (用致密性定理)。 第四章 导数与微分1 导数的引进和定义一 、 导数的引进 引言（背景） 来看两个实际问题。问题1 已知曲线求它的切线：曲线方程，是其上一点，求过点的切线方程。问题2 已知运动规律求物体运动速度：运动规律：，为某一确定时刻，求质点在时

25、刻的速度。上述两问题中，第一个是几何学的问题，后一个是物理学问题，但问题都归结到求形如 的极限问题。二、导数的定义及几何意义定义1（导数） 设函数在的某邻域内有定义，若极限 存在，则称函数在点处可导，并称该极限为在点处的导数，记作。即。若上述极限不存在，则称在点处不可导。1.利用导数定义求导数的几个例子 例：求在点处的导数。2.可导与连续的关系 定理1 若函数在点可导，则在点连续。注： 若在点不连续，则在必不可导。但在点连续，未必有在可导。3.单侧导数的概念 定义2 （右导数） 设函数在点的某右邻域上有定义，若右极限 存在，则称该极限为在点的右导数，记作。（左导数） 设函数在点的某左邻域上有定

26、义，若左极限 存在，则称该极限为在点的左导数，记作。左、右导数统称为单侧导数。4.可导函数 若函数在区间I上每一点都可导（对区间端点，仅考虑单侧导数），则称为I上的可导函数。5. 导函数6. 函数在点的导数与导函数的区别与联系区别：导数是就一点而言的，是一个确定的数，一般与所给函数以及的值均有关，与 无关；导函数是就一个区间而言的，是一个确定的函数，与所给函数有关，与、均无关。联系：函数在某点的导数就是导函数在该点的值，因此，在的导数也记为：7导数与左、右导数的关系：定理2 若函数在点的某邻域内有定义，则存在。，都存在，且=。例: 设 讨论在处的左、右导数与导数。注 讨论分段函数在分段点处的导

27、数，应用导数的定义。8. 导数的几何意义 表示点的切线的斜率。例: 求曲线在点处的切线方程与法线方程。2 简单函数的导数一 、 常数的导数 。二 、三角函数的导数 ；三 、对数函数的导数 。四 、 幂函数的导数 。例 ：按定义证明，可导的偶函数其导函数是奇函数。3 求导法则一、 导数的四则运算 一般地，有如下的求导法则：定理1（和差的运算法则） 若，可导，则函数也可导，且 。 例： ，求，。定理2（积的运算法则）若，可导，则函数也可导，且。 例： ，求。定理3（数乘的运算法则）若可导，则函数也可导，。定理4（相除的运算法则） 若函数，可导，且，则也可导，且。 例3：设，求。二 、 反函数的导数

28、 定理5 设为的反函数，若在点的某邻域内连续，严格单 调且，则在点（）可导，且 。注：反函数的倒数等于原函数的倒数分之一。例：（）；例：例：，。4 复合函数求导法一、复合函数的导数 定理1. 设在点可导，在点可导，则复合函数在点可导，且。例： ，求。 例： 设，求，。例： 设，其中且和均可导，试求此幂指函数的导数。（对数求导法）例： 设 （），求。5 微分及其运算一、微分概念 1引言 先考察一个具体的问题，推得一般情形。2微分的定义 定义1 函数定义在点的某邻域内。当给一个增量，时，相应地得到函数的增量为。如果存在常数，使得能有 （1） 则称函数在点可微，并称（1）中右端第一项为在点的微分，记

29、作： or 定义2 若在区间上每一点都可微，则称为上的可微函数。函数在上任一点处的微分记作 ， 。注： （1）依赖于和，但与无关是两个相互独立的变量。（2）可微与可导的关系： 定理1 函数f在点可微f在点可导，而且。（3），所以微分。（4）对可导函数，有，从而有，即函数的导数是函数微分与自变量微分的商（导数即微商）。二 微分的运算法则（1）；（2）；（3）；（4），其中。注 在（4）中，由于，。即（4）式：不仅在为自变量时成立，当它是另一个可微函数的因变量时也成立。这性质成为一阶微分的形式不变性。例：求的微分。例：求的微分。6 隐函数及参数方程所表示函数的求导法 一、 隐函数求导法 设，为的函

30、数，等式两边对求导，得。从而 。例：设，求。二、 参数方程所表示函数的求导法 设函数由参数方程确定，其中是参数，则 .例：求所确定的函数在时的导数。例：求由下面参数方程 在所确定的函数的导数，。注 分清求导的对象，即到底是关于哪个变量求导。7 不可导的函数举例例：在不可导。例：求函数在点的左导数和右导数。注：处处连续但处处不可导的函数是存在的。8 高阶导数与高阶微分一、 高阶导数及其运算法则1、定义 若函数的导函数在点可导，则称在点的导数为在点的二阶导数，记作，或。函数的二阶导数一般仍旧是的函数。如果对它再求导数，如果导数存在的话，称之为函数的三阶导数，记为，或。函数的阶导数的导数称为函数的阶

31、导数，记为，或。二阶及二阶以上的导数都称为高阶导数。从高阶导数的定义可知，求高阶导数无非是反复运用求一阶导数的方法。例：求幂函数的各阶导数。一般地，任何首项系数为1的多项式：的阶导数为，阶导数为零。 例： 。例：，则；。2、高阶导数的计算法则 （1） 。(2). ， （Leibniz公式） 其中，。注 将Leibniz公式与二项式展开作一比较可见：。（这里 ），在形式上二者有相似之处。从定义出发，重复应用一阶导数法则，容易建立“复合函数”的高阶导数，“参数方程”的高阶导数公式。但这些公式非常繁，对于求高阶导数没有多大帮助，因此不作深入讨论。 作为例子，我们指出参数方程求二阶导数的方法。设，在上

32、都是二阶可导，则由参数方程所确定的函数的一阶导数。则。例：试求由摆线参量方程所确定的函数的二阶导数。二 高阶微分 对于函数，类似于高阶导数，可以定义高阶微分，具体做法如下：二阶微分定义为 称之为函数的二阶微分。记作 or 。一般地，阶微分是阶微分的微分，记作，即注 （1）； 是x的二阶微分（=0）；是的微分（一阶）（）； （2）是n阶导数记法的来由；（3）一阶微分具有形式不变性，对于高阶微分已不具备此性质，以二阶微分为例。若，则（）当x为自变量时，；（）当为因变量，如时，。例：记，分别求，（1）当是自变量时，（2）当是因变量时。第五章 微分中值定理及其应用1 微分中值定理引言 在前一章中，我们

33、引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。本章以中值定理为中心，来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用。一 费马定理 定义1（极值） 若函数f在区间上有定义，

34、。若存在的邻域，使得对于任意的，有，则称f在点取得极大值，称点为极大值点。若存在的邻域，使得对于任意的，有，则称f在点取得极小值，称点为极小值点。 极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。极值存在的必要条件费马定理 若函数在点的邻域内有定义，且在点可导。若为f的极值点，则比有。 何几意义：可导极值点的切线平行于轴。由费马定理可知, 可导极值点是稳定点，反之不然。如,点x=0是稳定点，但不是极值点。二 中值定理 1、 Lagrange定理 若函数f满足以条件：（1）f在上连续；（2）f在)内可导。则在内至少存在一点， 使得。 特别地，当时，有如下Rolle定理：2、Rolle定

35、理 若f满足如下条件：（1）在上连续；（2）在)内可导；（3），则存在，使得。如把曲线弧用参数方程函数，则可得出以下中值定理：3、Cauchy定理 若函数，满足如下条件：（1）在上连续；（2）在内可导；（3）。则存在（a，b）使得。说明 （1）几何意义：Rolle：在每一点都可导的连续曲线，如果曲线两端点高度相同，则至少存在一水平切线（在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线）；Lagrang：可微曲线上存在一点，使其切线平行于端点的连线；Cauchy：视为曲线的参数；u=f(x)，v=g(x)，xa,b，则以v为横坐标，u为纵坐标可得曲线上有一点，该处切线与曲线端点连线平行。（2）三个定理关系如下

36、：（3）三个定理中的条件都是充分但非必要。以Rolle定理为例，三个条件缺一不可。1）不可导，不一定存在；2）不连续，不一定存在；3）f(a)f(b)，不一定存在。“不一定存在”意味着一般情况如下：Rolle定理不再成立。但仍可知有的情形发生。如y=sgnx，x-1,1不满足Rolle定理的任何条件，但存在无限多个(-1,1)，使得。（4）Lagrang定理中涉及的公式：称之为“中值公式”。这个定理也称为微分基本定理。中值公式有不同形式：（）f(b)-f(a)=(b-a) ，(a,b)；（）f(b)-f(a)=，01；（）f(a+h)-f(a)=，01. 此处，中值公式对ab均成立。此时在a，

37、b之间；（）、（）的好处在于无论a，b如何变化，易于控制。三 中值定理的一些推论 1、Rolle定理的推论：若f在，上连续，在(，)内可导，则存在，使得（简言之：可导函数的两个之间必有导数的零点）。2、Lagrang定理的推论：推论 若函数f在区间I上可导，且，则f为I上的一个常量函数。 几何意义：斜率处处为0的曲线一定是平行于x轴的直线。推论 若函数f和g均在I上可导，且，则在区间I上f(x)与g(x)只差一个常数，即存在常数C，使得。例：设f，在连续可微，在（a,b）二阶可微，且，证明：在(a,b)中至少有一个根。例：设，证明于（0, 2）中至少有一根。例：证明：当ab0时，。 例：证明：

38、，。2. 泰勒公式一 利用导数作近似计算 1近似计算 前已描述，如果在点可微，则当很小时，有，亦即，当时有（用导数作近似计算公式）。 注：导数作近似计算公式常用于：直接计算比较困难，而在点附近一点处的函数值的导数却都比较容易求得。例：求的近似值。例：计算的近似值。把用于具体函数，可得：，。2误差估计 实际测量或计算所得的数据，一般都是近似值。要知道这些数据的准确程度，就必须估计这些数据的近似程度，即估计它与准确值的差，这就是误差估计。一般地，如果一个量A的近似值为a，那么=|A-a|叫作绝对误差，而/a叫作相对误差。一般地，对函数，若是由测量得到的，如果由计算时，有误差，则有绝对误差和相对误差

39、。 例：测得一球体的直径为42cm，测量工具的精度为0.01cm，试求此直径计算球体积时所起的误差。二 泰勒公式 不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便。一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？前面讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数f在点可导，则有有限存在公式； 即在附近，用一次多项式逼近函数时，其误差为。然而，在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为，其中n为多项式次数。为此，有如下的n

40、次多项式：易见：，（多项式的系数由其各阶导数在的取值唯一确定）。定理 若在点有直到阶连续导数，那么：其中在与之间。这就是泰勒公式。余项称为拉格朗日余项。注：带有皮亚诺余项的泰勒公式。的余项称为皮亚诺余项。（1）常见的麦克劳林公式 （2）带Lagrange型余项的麦克劳林公式例： 写出的Maclaurin公式，并求与。 例： 求在处的Taylor公式。例： 例： （1）计算e的值，使其误差不超过；（2）证明e为无理数。3 函数的升降、凸性与极值一 函数的上升与下降 定理1 设f(x)在区间上可导，则f(x)在上递增（减）.注 （1）这个定理的主要用途在于用它研究函数的单调性，确定单调区间。例：

41、设，试讨论函数的单调区间。（2）从实现充分性的证明中发现，若，即f严格递增（减），从而有如下推论：推论 设函数在区间连续，在可微，若且不变号，则在上严格递增（减）。（3）上述推论是严格递增（减）的一个充分非必要条件。例：证明等式：当时，例：证明：当时，例：已知，证明：至多只有一个根。 例：证明方程：只有一个根。二 函数的极大值和极小值函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征。Fermat定理告诉我们：若函数在点可导，且为的极值点，则，即可导函数在点有极值的话，必有。进一步的问题是：如果在点不可导，它有没有可能在点取得极值呢？回答是肯定的，例如，在不可导，但在有极

42、小值。定理2 若是的极值点，那么或在点不可导。把这两类点称为“极值可疑点”或“可疑极值点”。如何来判定一个极值可疑点且又是真正的极值点呢？ 定理2（极值判别法之一）设点连在续，在和内可导，那么（1）若当时，；当时，则为极小点；（2）若当时，；当时，则为极大点；（3）若在和内不等号，则点不是极值点。若f是二阶可导函数，则有如下判别极值的方法：定理3（极值判别法之二） 设，（1）若，则是极大值；（2）若，则是极小值。例：求的单调区间、极值点和极值。例：求的极值点与极值。例：试求函数的极值。三 函数的最大值与最小值 若在连续，则在上一定有最大、最小值。这为求连续函数的最大、小值提供了理论保证，问题是

43、如何求出最大、小值呢？函数在上最大（小）值可能在或取得，也可能在内取到，若在内取得，则最大（小）值点一定是极大（小）值点。于是，为求f在 上的最大（小）值，可按以下步骤进行：（1）求出在内的点，和在内不可导的点，并求出相应的函数值；（2）计算，；（3）把上述函数值作比较，其中最大者为最大值，最小者为最小值。例：求函数在上的最大值与最小值。例：剪去正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒，问剪去小正方形的边长为何值时，可使盒子的容积最大？四 函数的凸性 引言 上面已经讨论了函数的升降与极值，这对函数性状的了解是有很大作用的。为了更深入和较精确地掌握函数的性状，我们在这里再讲述一下有关函数凸性的

44、概念及其与函数二阶导数的关系。什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例，从直观上看一看何谓函数的凸性。如函数所表示的曲线是向上凸的，而所表示的曲线是向下凸的，这与我们日常习惯上的称呼是相类似的。或更准确地说：从几何上看，若yf(x)的图形在区间I上是下凸的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若yf(x)的图形在区间I上是上凸的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方。从而有以下定义：定义1 设函数在连续，若对上任意两点、和任意实数总有，则称f为上的下凸函数。反之，如果总有，则称f为I上的上凸函数。定义2 设曲线在点()的一边为上凸，一边为下凸，则称 ()为曲线的拐点。注：若()是曲线的一个拐点，在点的导数不一定存在，如在的情形。定理4（凸函数与二阶导数的关系） 设在二阶可导，则 （1）若在内，则在为上凸；（2）若在内，则在为下凸。定理5（拐点必要条件） 若()为拐点，则要么（1）；要么（2）f在点不可导。应用： 例：（1）讨论函数的下凸和上凸