二重积分的计算法16327.ppt

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1、二重积分的计算法二重积分的计算法1632716327 Four short words sum up what has lifted most successful Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. individuals above the crowd: a little bit more. -author -author -date-date一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分且在且在D上连续时上连

2、续时, 0),(yxf当被积函数bxaxyxD)()(:21由曲顶柱体体积的计算可知由曲顶柱体体积的计算可知, 若若D为为 X 型区域型区域 )(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 直角坐标系下化二重积分为二次积分直角坐标系下化二重积分为二次积分( , )zf x y 应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法, ,zyx由此得：由此得：0 x.),()()()(000201 xxdyyxfxA Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd则则)(0 xA),( yxfz),(0yxfz ab( , )Df

3、 x y d 的值等于以的值等于以D为底，为底，以曲面以曲面为顶的圆柱体的体积，为顶的圆柱体的体积，)(2xy)(1xy 若若D为为Y 型区域型区域dycyxyD)()(:21xyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(则则)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D当被积函数当被积函数),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非负均非负DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在在D上变号时上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .由于由于Dyxyxfdd

4、),(2oxy说明说明: (1) 若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域型区域 , Dyxyxfdd),(为计算方便为计算方便,可选择积分序可选择积分序, 必要时还可以交换积分序必要时还可以交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干1D2D3DX-型域或型域或Y-型域型域 , 321DDDD则则 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y 轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不

5、多于两个交点.直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点.计算中的技巧（问题）：计算中的技巧（问题）： 、先画积分区域草图；、先画积分区域草图； 、有无奇偶对称性、有无奇偶对称性: X X型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x 轴的轴的 Y Y型区域的特点型区域的特点： ,Dfx y dxdy 0, ,fx y ,fx y 12,Dfx y dxdy ,fx y ,fx y关于关于x奇，奇，D关于关于y轴对称轴对称关于关于y奇，奇，D关于关于x轴对称轴对称关于关于x偶，偶，关于关于y偶，偶，D关于关于y轴对称轴对称D关于关于x轴对称轴对称 ,( ,

6、),fx yf x y 称称f(x,y)关于关于x为奇，为奇， ,( , ),fx yf x y称称f(x,y)关于关于x为偶，为偶，、交换积分次序：、交换积分次序：、题目本有要求；、题目本有要求； 、出现、出现 21sin;lnaxxedxdxdxxx 或或或或、二重积分恒等式证明。、二重积分恒等式证明。 、积分原则：与定积分计算基本一致；、积分原则：与定积分计算基本一致； （先对（先对 x 积分，视积分，视 y 为常量，为常量， 对对y 积分，视积分，视 x 为常量为常量) 、何时不得不将积分域、何时不得不将积分域D分块？分块？ 穿入穿出不唯一。穿入穿出不唯一。 xy 1例例 1 1 改改

7、变变积积分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分区域如图01:01xxDxx 01:01yyDxy xy 222xxy 例例 2 2 改改变变积积分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的的次次序序.原原式式 102112),(yydxyxfdy.解解积分区域如图积分区域如图1201:02xxDxxx 201:112yyDyxy 212:02xxDxx 例例 3 3 改变积分改变积分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的次序的次序.axy2 解解22xaxy 22yaax a

8、2aa222yxa 202:22xxaDaxxaxx = ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdya2aa2a21220:2yyaDyxaaya 22220:yyaDaxaay 232:22yayaDyxaa xy211xy o221d y例例4. 计算计算,dDyxI其中其中D 是直线是直线 y1, x2, 及及yx 所围的闭区域所围的闭区域. x解法解法1. 将将D看作看作X型区域型区域, 则则:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 将将D看作看作Y

9、型区域型区域, 则则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y例例5. 计算计算,dDyx其中其中D 是抛物线是抛物线xy 2所围成的闭区域所围成的闭区域. 解解: 为计算简便为计算简便, 先对先对 x 后对后对 y 积分积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线及直线则则 例例6. 计算计算,ddsinDyxxx其中其中D 是直线是直线 ,0,yxy所围成的闭区域所围成的闭

10、区域.oxyDxxy 解解: 由被积函数可知由被积函数可知,因此取因此取D 为为X 型域型域 :00:xDyx Dyxxxddsin0sindxxyx 0dsinxx0cosx20dx x先对先对 x 积分不行积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序还需交换积分顺序.例例7求求I= 2,:1,yDedxdy Dyyyx 轴轴，围围成成；oxyDxy 110Idy 解解: 由被积函数可知由被积函数可知, 取取D 为为X 型域型域 :01:1xDxy 因此取因此取D 为为Y 型域型域 :01:0yDxy 210yeydy 21012ye 1112

11、.e20yyedx 先对先对 y 积分不行积分不行, 例例8求求I= oxy2Dxy 112III解解: 被积函数关于被积函数关于x为奇，关于为奇，关于y为奇为奇201:yDyxy 因此取因此取D 分为两部分分为两部分 :110:xDxyx 1 1D1221Dxyxy dxdy2221Dxyxy dxdy000.22111,:,Dxyxy dxdy Dyx xy 围围成成；例例9. 计算计算,dd)1ln(2yxyyxID其中其中D 由由,42xy1,3xxy所围成所围成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示如图所示)显然显然,1上在

12、D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224xyokkkrr 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下在极坐标系下, 用同心圆用同心圆 r =常数常数则除包含边界点的小区域外则除包含边界点的小区域外,小区域的面积小区域的面积kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkkkkkkrrkkkr221kkkrr221)(及射线及射线 =常数常数, 分划区域分划区域D 为为krkrkkkrd ddrrDyxfd),(ddrrDrrf)sin,cos(drrddrd)(1ro)(2r)()(21d

13、)sin,cos(rrrrf设设,)()(:21rD则Drrrrfdd)sin,cos(dDo)(1r)(2r1. 极点在积分区域外极点在积分区域外设设0( ):,rD 则则AoD)(r0( )( cos , sin ).f rrrdr Drdrdrrf )sin,cos(d 设设20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD则则2. 极点在积分区域的边界上极点在积分区域的边界上3. 极点在积分区域的内部极点在积分区域的内部若若 f 1 则可求得则可求得D 的面积的面积d)(21202Dd思考思考: 下列各图中域下列各图中域 D 分别与分

14、别与 x , y 轴相切于原点轴相切于原点,试试答答: ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx问问 的变化范围是什么的变化范围是什么?(1)(2)22)2(适合类型：适合类型：、积分域为圆域或圆域的一部分（包括环形域）；、积分域为圆域或圆域的一部分（包括环形域）；、被积函数含、被积函数含22xy 因子。因子。注意的问题：注意的问题：、必须画出积分区域图；、必须画出积分区域图；、特别注意积分向量、特别注意积分向量r、限的确定问题；限的确定问题；、不要忘记、不要忘记r rdxdyd d积分限的决定积分限的决定：一般来讲，定好一般来讲，定好 是比较关键的是比较关键的r:表示常数表示常数曲线任意一

15、点到极点的距离曲线任意一点到极点的距离积分限的确定（一般积分限的确定（一般 )02、假设极点在闭区域、假设极点在闭区域D内，则：内，则：02、若极点在区域、若极点在区域D之外或边界上：看区域之外或边界上：看区域D夹在夹在?与与?之间，之间， 以此来定以此来定的范围（通过图形来看）；的范围（通过图形来看）；注意：注意：、外层一定是常数限；、外层一定是常数限；、选定、选定还是还是r r积分限的确定积分限的确定 （仍用穿刺法）具体做法：（仍用穿刺法）具体做法：在在D内任找一点，从原点内任找一点，从原点0出发向外作射线出发向外作射线（要注意此时与（要注意此时与D边界的交点不能多于两个），边界的交点不能

16、多于两个），先穿出的的边界解出的先穿出的的边界解出的 为下限，后穿出为下限，后穿出的边界解出的的边界解出的r为上限。为上限。、上限必须大于下限；、上限必须大于下限；例例1. 计算计算,dd22Dyxyxe其中其中.:222ayxD解解: 在极坐标系下在极坐标系下,200:arD原式原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角故本题无法用直角2reddrr20d由于由于故故坐标计算坐标计算.例例2：求：求I= 2222369,:.Dyxydxdyxya 其其中中 0199DdxdyA 解解：；022;Dy dxdy 033

17、-60.DDxdxdyydxdy 2369DDDDy dxdyxdxdyydxdydxdy I I 22200sin009adrrdra 42232220001sin999.44aardr draaa 其中其中A为为D的面积的面积内容小结内容小结(1) 二重积分化为累次积分的方法二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则则xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(

18、dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD)()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(则则)()(21d)sin,cos(drrrrf极坐标系情形极坐标系情形: 若积分区域为若积分区域为ddrrDo)(1r)(2roxy若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成可将它分成1D2D3D若干若干X-型域或型域或Y-型域型域 , 321DDDD则则 (3) 计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域画出积分域 选择坐标系选择坐标系 确定积分序确定积分序 写出积分限写出积分限 计算要简便计算要简便域边界应尽量多为坐标线域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少积分域分块要少累次积好算为妙累次积好算为妙图示法图示法不等式不等式( 先积一条线先积一条线, 后扫积分域后扫积分域 )充分利用对称性充分利用对称性应用换元公式应用换元公式