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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date、圆内接四边形性质定理、圆内接四边形性质定理CDOBAEP圆内接四边形性质定理证明:如右图:圆内接四边形ABCD,圆心为O,延长BC至E,AC、BD交于P,则:一、 圆内接四边形的对角互补:ABC+ADC=180,BCD+BAD=180二、 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角:DCE=BAD三、 圆内接四边形对应三角形相似:BCPADP四、 相交弦定理:APCP
2、=BPDP五、 托勒密定理:ABCD+ADCB=ACBD一、圆内接四边形的对角互补的证明(三种方法)-【证明】方法一:利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。CABDO如图,连接OB、OD则A=,C=+=360A+C=360=180同理得B+D=180(也可利用四边形内角和等于360)【证明】方法二:利用直径所对应的圆周角为直角。设圆内接四边形ABCD证明:A+C=180,B+D=180连接BO并延长,交O于E。连接AE、CE。则BE为O的直径BAE=BCE=90BAE+BCE=180BAE+BCE-DAE+DAE=180即BAE-DAE+BCE+DAE=180DAE=DCE(同弧所对的圆
3、周角相等)BAE-DAE+BCE+DCE=180即BAD+BCD=180A+C=180B+D=360-(A+C)=180(四边形内角和等于360)【证明】方法三:AOBCD12435678利用四边形内角和为360及同弧所对的圆周角均相等连接AC、BD,将A、B、C、D分为八个角1、2、3、4、5、6、7、81+2+3+4+5+6+7+8=360(四边形内角和为360) 4=1,7=2,8=5,3=6(同弧所对的圆周角相等)1+2+5+6=360=1801+2=A 5+6=CA+C=180B+D=360-(A+C)=180(四边形内角和等于360)二、 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角证
4、明CDOBAEP如图,求证:DCE=BADBCD+DCE=180(平角为180)BCD+BAD=180(圆内接四边形的对角互补)DCE=BAD三、 圆内接四边形对应三角形相似如上图,求证:BCPADP,ABPDCP证明:CBP=DAP,BCP=ADP(一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。)又APD=BPC(对顶角相等)BCPADPBAP=CDP,ABP=DCP(一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。)又APB=DPC(对顶角相等)ABPDCP四、 相交弦定理仍用上图,求证:APCP=BPDP证明:BCPADP(圆内接四边形对应三角形相似)(相似三角形的三边对应成比例)APCP=BPDPC
5、DOBAEP五、 托勒密定理求证:如图,四边形ABCD内接于圆O,那么ABCD+ADBC=ACBD【证明】方法一:作辅助线AE,使BAE=CAD,交BD于点EABE=ACD(同弧AD所对的圆周角相等)BACEOD又BAE=CADABEACD,即ABCD=ACBE (1)BAE=CADBAE+EAC=CAD+EAC即BAC=EAD又ACB=ADE(同弧AB所对的圆周角相等)ABCAED,即BCAD=ACDE (2)(1)+(2),得ABCD+BCAD=ACBE+ACDE=AC(BE+DE)=ACBD【证明】方法二:利用西姆松定理证明托勒密定理。(提示:本题要使用正弦定理),初三现有知识还不能求证
6、。广义托勒密定理广义托勒密(Ptolemy)定理指出,圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,其推论是任意凸四边形ABCD,必有ACBDABCD+ADBC,而且当ABCD四点共圆时取等号。内容:凸四边形对边乘积和对角线的积托勒密定理的推论:任意凸四边形ABCD,必有ACBDABCD+ADBC,当且仅当ABCD四点共圆时取等号。证明如下:在四边形ABCD中,连接AC、BD,作ABE=ACD,BAE=CAD,则ABEACD BE/CD=AB/AC,AB/AC=AE/ADBE*AC=AB*CD ,AB/AE=AC/ADBAE=CADBAE+EAC=CAD+EAC即BAC=DAE又AB/A
7、E=AC/AD,ABCAEDBC/ED=AC/ADED*AC=AD*BC+,得AC*(BE+ED)=AB*CD+AD*BC又BE+EDBDAC*BDAB*CD+AD*BC从而命题得证,且仅当E点落在线段BD上时,等号成立此时ABD=ACDABCD四点共圆托勒密定理逆定理同样成立:一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形内接圆。一个人,来这世间,必须懂得一些人情事理,才能不断成长。就像躬耕于陇亩的农人,必须懂得土地与种子的情怀,才能有所收获。一个女子,一生所求,莫过于找到一个懂她的人,执手白头,相伴终老。即使芦花暖鞋,菊花枕头,也觉温暖;即使粗食布衣,陋室简静,也觉舒适,一句“懂你”,叫人无怨无悔,愿以自己的一生来交付。懂得是彼此的欣赏,是灵魂的轻唤,是惺惺相惜,是爱,是暖,是彼此的融化;是走一段很远的路,蓦然回首却发现,我依然在你的视线里;是回眸相视一笑的无言;是一条偏僻幽静的小路,不显山,不露水,路边长满你喜爱的花草,静默无语却馨香盈怀,而路的尽头,便是通达你心灵的小屋瑟瑟严冬,窗外雪飘,絮絮自语说了这多,你可懂我了吗?若你知晓,无需说话,只报一声心灵的轻叹,那,便是我的花开春暖。你相不相信,人生有一种念想,不求奢华不求结果,不求你在我身边,只愿有一种陪伴暖在心灵,那,便是懂得。有人懂得是一种幸福,懂得别人是一种襟怀,互为懂得是一种境界。懂得,真好!
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