最新同济大学第六版高数第3章课件1幻灯片.ppt

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1、 2 Cabxyo)(xfy AB( (几何解释）几何解释） ),( 内内至至少少有有一一点点则则在在baD 上上连连续续在在闭闭区区间间 , 1ba罗尔定理罗尔定理 若函数若函数 f(x)满足满足 内可导内可导在开区间在开区间 ),( 2ba )()(3bfaf 0)( f使使. 0)( F则则使使得得0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式)()()()()(ababafbfbfbF )()(afaF )(af , ),( 内内至至少少存存在在一一点点则则在在ba,),(,)(内内可可导导在在上上连连续续，在在注注：设设baba

2、xf).10()()()(000 xxxfxfxxf则则有有),(,00baxxx ，0)( xf推论推论,:21baxx 任任取取证证0)( xf),(21xx 至至少少存存在在一一点点)()( 12xfxf 即即0)()(12 xfxf若函数若函数 f(x) 在闭区间在闭区间a,b上连续上连续, 在在(a,b)内内恒有恒有则函数则函数 f(x) 在在a,b上是一个常数上是一个常数.)()()( 1212xxfxfxf 使使故故 f(x) 是一个常数是一个常数 f(x) 在在x1,x2连续，在连续，在(x1,x2)可导，可导，例例2 2).11(2arccosarcsin xxx证明证明证证

3、1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf设设)11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx,1xxx 例例3 3.)ln(, xxxxx 110时时证证明明当当证证:),1ln()(ttf 设设)0(),0)()0()(xxffxf ,)(,)( 1100ff由上式得由上式得,)ln( 11xxx 111, 11111 x 1x.)1ln(1xxxx 即即 f(t) 在在0,x连续，在连续，在(0,x)可导，可导，oXY)(bFB)(aFA)(1 F)(2 FC )

4、()(:xfYxFXL柯西定理柯西定理如果函数如果函数 f (x)、F(x)满足满足使等式使等式 成立成立 )(xF )()()()()()( FfaFbFafbf（1）在闭区间）在闭区间a, b上连续上连续,（2）在开区间）在开区间(a, b)内可导内可导,且在且在(a, b)内每一点处内每一点处均不为零，均不为零，则在则在(a, b)内至少有一点内至少有一点 ,)()()()(aFbFafbfKAB )(),(),(),(bfbFBafaFA端端点点：D)(1 F)(2 FXoY)(aFA)(bFBC)(xFNM )()(xfYxFX)()()()()()(:aFXaFbFafbfafYA

5、B 弦弦分析分析:)()()()()()()(aFxFaFbFafbfafY 证证 设设 , )(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x . 0)(,),( 使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在ba).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx , 0)()()()()()( FaFbFafbff即即.)()()()()()( FfaFbFafbf,)(xxF 当当, 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf).()()( fabafbf,)(xxF 当当, 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( F

6、faFbFafbf)()()( fabafbf罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；Rolle定理定理)()(bfaf Lagrange中值定理中值定理xxF )(Cauchy中值定理中值定理注：注：xxF )()()(bfaf 0)( fACDxyo)(xfy ab1 2 几何解释：几何解释： 一条连续曲线一条连续曲线AB ，若除端点外，处处有，若除端点外，处处有不垂直于不垂直于x 轴切线，则该曲轴切线，则该曲线上至少有一点的切线平线上至少有一点的切线平行于端点连线行于端点连线AB。BD)(bFBC)(1 F)(aFA)(2

7、FXoY )()(xfYxFXab1 2 xoy)(xfy ABCD ),3)(2)(1()( 4不不求求出出导导数数设设例例 xxxxxf在在的的区区间间。根根的的情情况况，并并指指出出根根所所讨讨论论0)( xf 3 , 0)( 上连续、可导上连续、可导在在由由解解xf0)3()2()1()0( ffff且且1 )1 , 0( 内至少存在一点内至少存在一点在在0)(1 f使使2 )2 , 1( 内至少存在一点内至少存在一点在在3 )3 , 2( 内至少存在一点内至少存在一点在在0)(2 f使使0)(3 f使使 0)(有有三三个个实实根根是是一一个个三三次次方方程程，至至多多而而 xf内内、

8、其三个实根分别在其三个实根分别在)3 , 2()2 , 1()1 , 0(, 0)2() 1( 2 , 1 )( 5 ffxf上上有有二二阶阶导导数数，且且在在设设例例内至少存在内至少存在证明在证明在又又)2 , 1( ),()1()(2xfxxF 0)(, F使使得得一一点点证证, 0)2()1( ff由由, 0)2()1( FF知知使使内至少存在一点内至少存在一点在在, )2 , 1( )()1()(2 xfxxF又又)()1()()1(22xfxxfx 0)1( F0)( F上上连连续续、可可导导在在又又, 1)( xF0)(, )2 , 1( F使使得得上上至至少少存存在在一一点点在在上连续、可导上连续、可导在在因为因为2 , 1)(xF).0()1(2)(),1 , 0( :,)1 , 0(,1 , 0)( fffxf 使使至至少少存存在在一一点点证证明明内内可可导导在在上上连连续续在在设设函函数数例例6 6证证 分析分析: :结论可变形为结论可变形为 2)(01)0() 1 (fff xxxf)()(2,)(2xxg 设设,1 , 0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内至少存在一点内至少存在一点在在, )1 , 0( 2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即21 结束语结束语