相似三角形知识点与经典题型.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date相似三角形知识点与经典题型相似三角形知识点与经典题型相似三角形的判定与性质【知识点1】三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相

2、等，两三角形相似4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

3、每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图，RtABC中，BAC=90，AD是斜边BC上的高，则AD2=BDDC，AB2=BDBC ，AC2=CDBC 。1、甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为 _米 甲小华乙 （第1题图） （第2题图）2、如图，在已建立直角坐标系的44正方形方格纸中，画出符号条件的格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P，A，B为顶点的三角形与ABC相似（全等除外），则格点P的坐标是_3、在RtABC中，斜边AC上有

4、一动点D（不与点A，C重合），过D点作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，则满足这样条件的直线共有_条【知识点2】三角形相似基本图形（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2) 如图：其中1=2，则ADEABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”）（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”） 4、如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与ABC相似的是【 】5、 如图所示，给出下列条件：； ；CABDEFACDB（第5题图）其中单独能够

5、判定的个数为【 】A1 B2 C3 D4 （第6题图） （第7题图） （第8题图） 6、如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，CPDAB，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有【 】A1对B2对C 3对D4对7、 如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，下面结论：只有一对相似三角形；EF：ED=1：2；AF：FC=1：2；其中正确的结论是【 】A B C D8、如图：1=2，B=D，则ADEABC，称为“旋转型”的相似三角形。【知识点3】全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA)两角一对边对应相等(AAS)两边及夹角对应相等

6、(SAS)三边对应相等(SSS)直角三角形中一直角边与斜边对应相等(HL)相似判定的预备定理两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例直角三角形中斜边与一直角边对应成比例【知识点4】相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(3)相似三角形周长的比等于相似比(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等9、（山东）如图9，ABC中，点D在线段BC上，且ABCDBA，则下列结论一定正确的是【 】A AB2=BCBD BAB2=ACBD C

7、ABAD=BDBCDABAD=ADCD （第9题图） （第10题图） （第11题图）10、（浙江）如图10，边长为4的等边ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为【 】（A）（B）（C）（D）11、如图11，已知：DEBC，CD和BE相交于点，ADAB，M，N分别是BE，DC的中点，则MNBC等于【 】A.16B.23C.56D.1312、在ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A，D，E三点组成的三角形与ABC相似，则AE的边长为【 】A.16B.14C.16或14D.16或9题型一、相似三角形的判定13、如图所示，已知中，E为AB延长线上

8、的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比. 14、已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点 求证：ADQQCP 题型二、相似三角形的性质 （第14题图） （第15题图）15、（山东）如图，点F是ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是【 】A.= B.= C. = D.=16、ABCDEF，若ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是DEF中一边的长度，你能求出DEF的另外两边的长度吗？试说明理由. 17、如图所示，已知ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于ABC中，且长边

9、FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积. 18、ABC中，DEBC，M为DE中点，CM交AB于N，求.题型三、相似三角形的应用 19、（安徽芜湖）如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD,ABCD,AB=2m,CD=6m,点P到CD的距离是2.7m,则_m（第19题图） （第20题图）20、（青海）如图，ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是 mm 21、如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在

10、该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m(1)图中ABC与ADE是否相似?为什么?(2)求古塔的高度22、已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？ 题型四、相似三角形的周长与面积23、已知：如图，在ABC与CAD中，DABC，CD与AB相交于E点，且AEEB=12，EFBC交AC于F点，ADE的面积为1，求BCE和AEF的面积 24、如图，已知：ABC中，AB=5，BC=3，AC=4

11、，PQ/AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上(1)当PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；(2)当PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；题型五、综合探究25、如图，ABCD，A=90，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PEBP，P为垂足，PE交DC于点E， (1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；(2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由.26、如图，在ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任意一点，PEAB交AC于

12、E，PFAC交AB于F. (1)设BP=，PEF的面积为，求与的函数解析式和的取值范围；(2)当P在BC边上什么位置时，值最大.27、（合肥）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，（1）证明：；（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；（3）当点运动到什么位置时，求的值NDACDBM第27题图参考答案6、【分析】根据题目所给已知条件相等的角，从角度考虑，找到图形中隐含的相等的角来判断相似，结合相似三角形的基本图形分析即可得出结论。【解】CPDA，又GDPPDA,PGDAPD, CPDB，PCFBCP，BPC

13、PFC, 由PGDAPD可得DGPDPA再根据等角的补角相等可得AGP BPF，又AB AGPBPF ，故选C【评注】本题考查相似三角形的判定识别两三角形相似，除了要掌握定义外，判断相似要结合基本图形和，也要注意由此判断出的相似三角形得到的对应角相等为后面找相似提供条件。9、【分析】因为已知相似三角形，得到对应边的比相等【解】ABCDBA，AB2=BCBD.选A10、【分析】由等边ABC边长为4，可得ABC的面积为，又由DE为中位线，可得ADEABC，再相似三角形的面积之比等于相似比的平方的性质可得ADE的面积，两个面积相减可得就四边形BCED的面积。【解答】等边ABC边长为4，ABC的面积为

14、又DE为中位线，DEBC ADEABC，SADE=S四边形BCED=【评注】求四边形面积通常转化为三角形面积的和差。遇到中位线想到平行，所得小三角形的面积是原三角面积的。13、思路点拨：由可知ABCD，ADBC，再根据平行线找相似三角形.解： 四边形ABCD是平行四边形， ABCD，ADBC， BEFCDF，BEFAED. BEFCDFAED. 当BEFCDF时，相似比；当BEFAED时，相似比；当CDFAED时，相似比.14、证明：在正方形ABCD中，Q是CD的中点，=2=3，=4 又BC=2DQ，=2 在ADQ和QCP中，=，C=D=90，ADQQCP16、思路点拨：因没有说明长4cm的线

15、段是DEF的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论.解：设另两边长是xcm，ycm，且xy.(1)当DEF中长4cm线段与ABC中长5cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm.(2)当DEF中长4cm线段与ABC中长6cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm.(3)当DEF中长4cm线段与ABC中长7cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.综上所述，DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm，cm三种可能.总结升华：一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分类.17、思路点拨：利用已知条件及相似三角形的判定方法及性质求出矩形的长和

16、宽，从而求出矩形的面积.解： 四边形EFGH是矩形， EHBC， AEHABC. ADBC， ADEH，MD=EF. 矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得， ， ，. EF=6cm，EH=12cm. .18解：DEBC ，ADEABCM为DE中点， DMBC ， NDMNBC=1：2.总结升华：图中有两个“”字形，已知线段AD与AB的比和要求的线段ND与NB的比分别在这两个“”字形，利用M为DE中点的条件将条件由一个“”字形转化到另一个“”字形，从而解决问题.19、【分析】因为ABCD，所以，PABPCD，设AB与CD间的距离是x,根据

17、相似三角形对应高的比等于相似比，所以【答案】1.820、【分析】正方形的边长与边BC有关，与高AD有关，可利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出边长【解答】：设高AD与PN相交于E，ED=x，正方形PQMN的QM边在BC上，PN=MN=ED=x，PNBC，APNABC，即，解得x=48，边长为48mm故答案为4821、解：(1)ABCADE BCAE，DEAE ACB=AED=90 A=A ABCADE(2)由(1)得ABCADE AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m DE=16m22、思路点拨：光线AD/BE，作EFDC交AD于F.则，利用边的比例关系求

18、出BC.解：作EFDC交AD于F.因为ADBE，所以又因为，所以，所以.因为ABEF， ADBE，所以四边形ABEF是平行四边形，所以EF=AB=1.8m.所以m.23、思路点拨：利用ADEBCE，以及其他有关的已知条件，可以求出BCE的面积ABC的边AB上的高也是BCE的高，根据ABBE=32，可求出ABC的面积最后利用AEFABC，可求出AEF的面积解：DABC，ADEBCESADESBCE=AE2BE2AEBE=12，SADESBCE=14SADE=1，SBCE=4SABCSBCE=ABBE=32，SABC=6EFBC， AEFABCAEAB=13，SAEFSABC=AE2AB2=19S

19、AEF=总结升华：注意，同底(或等底)三角形的面积比等于这底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方24解：(1)SPQC=S四边形PABQ SPQC：SABC=1：2 PQAB， PQCABC SPQC：SABC=(CP：CA)2=1：2 CP2=42， CP=.(2)SPQC的周长与四边形PABQ的周长相等， PC+CQ=PA+AB+QB=(ABC的周长)=6 PQAB， PQCABC ，即： 解得，CP=25、解：(1)ABCD ，A+D=180 A=90， D=90，A=D 又PEBP ，APB+DPE

20、=90， 又APB+ABP=90， ABP=DPE， ABPDPE ，即 (2)欲使四边形ABED为矩形，只需DE=AB=2，即，解得 ，均符合题意，故AP=1或 4.总结升华：(1)求以线段长为变量的两个函数间的关系时，常常将未知线段和已知线段作为三角形的边，利用相似 三角形的知识解决.(2)解决第(2)小问时要充分挖掘运动变化过程中点的特殊位置，再转化为具体的数值，通过建立方程 解决，体现了数形结合的思想.26、解：(1)BC=2， BC边上的高AD=1 ABC的面积为1PFAC，BFPBAC ， 同理CEPCAB ， PEAB， PFAC，四边形PFAE为平行四边形 .(2) 当时，即P点在BC边的中点时，值最大.总结升华：建立三角形的面积与线段长之间的函数关系，可考虑从以下几方面考虑：(1)从面积公式入手；(2)从相似三角形的性质入手；将面积的比转化为相似比的平方；(3)从同底或等高入手，将面积比转化为底之比或高之比.NDACDBM27、解：（1）在正方形中，在中，（2），当时，取最大值，最大值为10（3），要使，必须有，由（1）知，当点运动到的中点时，此时-