最新圆锥曲线的参数方程选修ppt课件.ppt

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1、进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热怎么这么热”，于是三，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑五成群，聚在大树下，或站着

2、，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑强子，别跑了，快来我给你扇扇了，快来我给你扇扇”。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你你看热的，跑什么？看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国

3、已有三千年多年的历史。取材的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过

4、了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅道，袅1.1.椭圆的参数方程椭圆的参数方程OAMxyNB知识归纳知识归纳椭圆的标准方程椭圆的标准方程: :12222byax椭圆的参数方程中参数椭圆的参数方程中参数的几何意义的几何意义: :)(sinbycosa为为参参数数 xxyO圆的标准方程圆的标准方程: :圆的参数方程圆的参数方程: : x2+y2=r2)(sinycos为为参参数数 rrx的几何意义是的几何意义是AOP=PA椭圆的参数方程椭圆的参数方程: :是是AOX=,不是不是MOX=.圆

5、的参数方程圆的参数方程与与椭圆的参数方程椭圆的参数方程中中参数的几何意义参数的几何意义MOXYN(x,y)(sincos为参数ayax)(sincos为参数byaxABOXYNM(x,y) 为为OX轴逆时针旋转到与轴逆时针旋转到与OM重合时所转过的角度重合时所转过的角度 并非并非为为OX轴逆时针旋转到轴逆时针旋转到与与OM重合时所转过的角度重合时所转过的角度是是AOX=,不是不是MOX=.【练习【练习1】把下列普通方程化为参数方程把下列普通方程化为参数方程. 22149xy22116yx (1)(2)3 cos5 sinxy8 cos10 sinxy(3)(4)把下列参数方程化为普通方程把下列

6、参数方程化为普通方程2 cos(1)3 sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx练习练习2：已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为 ( 是是参数参数) ，则此椭圆的长轴长为（，则此椭圆的长轴长为（ ），短轴长为），短轴长为（ ），焦点坐标是（），焦点坐标是（ ），离心率是），离心率是（ ）。）。2cos sinxy4232( , 0)3例例1、如图，在椭圆如图，在椭圆x29+y24=1上求一点上求一点M，使，使M到直线到直线 l：x+2y-10=0的距离最小的距离最小.xyOP分析分析1平移直线平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求至首次与椭圆

7、相切，切点即为所求.22204936xymxy000,M(,)mxy消元，利用，求出及切点0025xymdM(3cos ,2sin ),设|3cos4sin -10|5d则小结：小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。例例1、如图，在椭圆如图，在椭圆x29+y24=1上求一点上求一点M，使，使M到直线到直线 l：x+2y-10=0的距离最小的距离最小.分析分析23cos()2sinxy椭圆参数方程为：为参数34|5cossin-10|555（）0|5cos-

8、10|5（）00034cos,sin55其中满足05d当=0时, 取最小值，0098coscos,2sin2sin55此时339 8M( , )210055 5Mxy时，点与直线的距离取最小值。22,122516xyx yzxy与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数满足的前提下，求出的最大值和思考：最小值吗？(5cos ,4sin )M设是椭圆上的一点，5cos8sinz则089cos()0cos() 1,1 89, 89z 例例2、如图，在椭圆如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点上求一点P，使，使P到直线到直线 l：x-y+4=0的距离最小的距离最小.xyOP分析分析1：),y,y(288

9、P设设2882|4yy|d则则分析分析2：),sin,cos(P 22设设222|4sincos| d则则分析分析3：平移直线平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求至首次与椭圆相切，切点即为所求.小结：小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。例例2.已知椭圆已知椭圆 ,求椭圆内接矩形面积求椭圆内接矩形面积的最大值的最大值.22221(0)xyabab解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为( cos , sin )ab4co

10、ssinSab矩形()24kkZSab矩形当时，最大。所以椭圆内接矩形面积的最大值为所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab.2sin2ab2ab练习练习3已知椭圆已知椭圆 有一内接矩形有一内接矩形ABCD，求矩形求矩形ABCD的最大面积。的最大面积。22110064xy:10cos ,8sinA解 设20cos,16sin20 16 sincos160 sin2ADABS,ABCD160所以 矩形最大面积为yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX例例3:已知已知A,B两点是椭圆两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭在第一象限的椭圆弧上求一点圆弧上求一点P,

11、使四边形使四边形OAPB的面积最大的面积最大.22941yx:解 由椭圆参数方程，设点P(3cos ,2sin)PAB即求点到直线的距离的最大值。,ABCABPS面积一定 需求 S最大即可132xy直线AB的方程为：22|cossin6 |23d6662 sin()1413,d当=时有最大值 面积最大.4322P这时点 的坐标为(, 2)2360 xy练习练习41、动点、动点P(x,y)在曲线在曲线 上变化上变化 ，求，求2x+3y的最的最大值和最小值大值和最小值14922yx.,2626最小值最小值最大值最大值2、取一切实数时，连接取一切实数时，连接A(4sin,6cos)和和B(-4cos

12、, 6sin)两点的线段的中点轨迹是两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆圆 B. 椭圆椭圆 C. 直线直线 D. 线段线段B设中点设中点M (x, y)x=2sin-2cosy=3cos+3sin22y249x3cos ,2sinxy236cos6sinxy6 2sin()41(3cos ,2sin ).(2,3).(3,0).(1,3).(0,)2PABCD、当参数 变化时，动点所确定的曲线必过点 点 点 点它的焦距是多少？它的焦距是多少？B2 5练习练习53 17cos()_,8sin2_.xy2.椭圆为参数 的中心坐标为准线方程为(3, 2)289315x 2224 cos2 sin3c

13、os0 xyxy解：方程2224 cos2 sin3cos0,()_?xyxy3.已知圆的方程为为参数 ，那么圆心的轨迹的普通方程为22(2cos )(sin )1xy可化为2cos()sinxy圆心的参数方程为为参数2214xy化为普通方程是2214xy小结小结（1）椭圆的参数方程与应用）椭圆的参数方程与应用12222byax)(sincos为参数byax注意：椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意义不同。注意：椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意义不同。（2）椭圆与直线相交问题）椭圆与直线相交问题2.2.双曲线的参数方程双曲线的参数方程aoxy)MBABA双曲线的参数方程双曲线的参数方程探究

14、：双曲线探究：双曲线 的参数方程的参数方程22221xyabb12,Oa bC C以原点 为圆心，为半径分别作同心圆1,ACOAOxOA设 为圆上任意一点，作直线设为始边，为终边的角为1AC过点 作圆的切线AA与x轴交于点A ,22.CC过圆与x轴的交点B作圆的切线BB与直线OA交于点B过点A ,B分别作y轴,x轴的平行线A M,BM交于点M.aoxy)MBABA双曲线的参数方程双曲线的参数方程b( , )M x y设( ,0),( , ).A xB b y则1AC点 在圆上A(acos ,asin ).OAAAOA AA 又,=02cos (cos )( sin )0axaacosax解得：

15、又点B在角 的终边上，tan.yb由三角函数定义有：tanyb1seccos记secxaxaMybsec()tan点点的的轨轨迹迹的的参参数数方方程程是是为为参参数数AA=(x-acos ,-asin )sec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：b3 ,2 )22o通 常 规 定且，。 双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式与三角恒等式22221xyab22sec1tan 相比较而得到，所以双曲线的参数方程相比较而得到，所以双曲线的参数方程 的实质是三角代换的实质是三角代换.说明：说明： 这里参数这里参数 叫做双曲线的离心角与直线

16、叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同的倾斜角不同.aoxy)MBABAb双曲线的参数方程双曲线的参数方程例例2、2222100 xyMabOabMABMAOB(,) 如如图图，设设为为双双曲曲线线任任意意一一点点，为为原原点点，过过点点作作双双曲曲线线两两渐渐近近线线的的平平行行线线，分分别别与与两两渐渐近近线线交交于于 ，两两点点。探探求求平平行行四四边边形形的的面面积积，由由此此可可以以发发现现什什么么结结论论？OBMAxy.byxa 双曲线的渐近线方程为：解：解：不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标（asec ,btan为）,b将y=x代入，解得点A的横坐标为aAax = （secta

17、n ）2.Bax = （se同理可得，点B的横坐cta2标n为）.ba设 AOx= ,则tan.MAOB所以的面积为MAOBS=|OA|OB|sin2 =ABxxsin2coscos2222a (sec-tan)=sin24costan.2baba22aa=22MAOB由此可见，平行四边形的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。tan(sec ).bybxaMAa 则直线的方程为： 双曲线的参数方程双曲线的参数方程 sec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：b2222221sectan1xyab注意：双曲线：的参数方程实质是由三角恒等式而代换得来的sec

18、()tanyaxb为参数2a222yx-=1(a0,b0)的参数方程为：b为离心角注意:双曲线还有什么参数方程?1()1xtttytt 为参数()ttttxeetyee 为参数3.3.抛物线的参数方程抛物线的参数方程xyoM(x,y)22.(1)ypx设抛物线的普通方程为tan.(2)yx由三角函数的定义可得(1),(2), x y由解出，(1)()这就是抛物线不包括顶点的参数方程1,(,0)(0,),tantt 如果令22()2xpttypt 则为参数有抛物线的参数方程抛物线的参数方程22tan()2tanpxpy得到为参数(0,0)0t ，由参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点当时2(,2

19、()2)xpttyptt 为当时，参数方程就参数表示抛物线。t参数 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。M抛物线上任意点 （x,y)MOX220)ypx p抛物线（的参数方程为：22()2xpttypt 为参数t参数 的几何意义-抛物线上除顶点外的任意一点 与原点连线的斜率的倒数。22(0)?xpy p思考：怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线 的参数方程22tan()2tanxpyp为参数tan,(,)tt 如果令22()2xpttypt为参数t参数 的几何意义-抛物线上除顶点外的任意一点 与原点连线的斜率。22(0)xpy p抛物线 的参数方程为：22()2xptty

20、pt为参数抛物线的参数方程22()2xpttypt 为参数t抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线参数 的几的斜率何意义：的倒数。220)ypx p（220)ypx p （22()2xpttypt 为参数t抛物线上除顶点外的任意一点与原参点数 的几何意义：连线的斜率。22(0)xpy p22()2xpttypt为参数抛物线的参数方程22(0)xpy p 22()2xpttypt 为参数xyoBAM23,2(0),OA Bypx pOAOB OMABABMM例 、如图 是直角坐标原点，是抛物线上异于顶点的两动点，且并于相交于点，求点的轨迹方程。( , ),M x y解：设点211(2,2),Apt

21、pt222(2,2)Bptpt1212(,0)ttt t且( , ),OMx y 211(2,2),OAptpt222(2,2),OBptpt222121(2 (),2 ()ABp ttp tt,OAOB221 21 2(2)(2 )0,pt tp t t,OAOB23,2(0),OA Bypx pOAOB OMABABMM例 、如图 是直角坐标原点，是抛物线上异于顶点的两动点，且并于相交于点，求点的轨迹方程。221 21 2(2)(2 )0,pt tp t t1 21.(1)t t ,OMAB2221212()2()0px ttpy tt12(0).(2)yttxx 211(2,2),AMx

22、ptypt222(2,2)MBptxpty,A M B且三点共线，221221(2)(2)(2)(2)xptptyptxypt121 2()20.(3)y ttpt tx即：(1),(2)(3),()20yypxx将代入得到:2220(0)xypxx即M这就是点的轨迹方程222113(2)(2)OAptpt由例 可得:22222(2)(2)OBptpt21121p tt3,?A BAOB在例 中，点在什么位置时，的面积最小？最小值探：是多少究12AOBSOA OB22221p tt2221222ptt2221 2122(1) (1)p t ttt22122()4ptt24p12tt 当且仅当，

23、,A Bx即当点关于 轴对称时，AOB的面积最小，24.p最小值为21212121212121221()2, ,11xpttyptMMt tM MAttBttCDtttt 、若曲线为参数 上异于原点的不同两点，所对应的参数分别是则弦所在直线的斜率是（ ）、， 、， 、， 、c练习：练习：22111222(2,2),(2,2)MptptMptpt解：设112222122222M Mptptkptpt121tt20022( 1,0)MyxMPM MP、设为抛物线上的动点，给定点，点 为线段的中点，求点 的轨迹方程。练习：练习：( , )P x y解：设22Myx为抛物线上的动点，22,2)Mptpt可设 （00( 1,0)MPM M又定点，点 为线段的中点，2212(22ptxtpty为参数）, tP消参数得点 的轨迹方程：2.2pypx小结：小结：1、抛物线的参数方程的形式、抛物线的参数方程的形式2、抛物线参数的意义、抛物线参数的意义44 结束语结束语