高中数学：圆锥曲线有效教学的实践.doc

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1、精品文档 仅供参考 学习与交流高中数学论文：圆锥曲线有效教学的实践【精品文档】第 11 页高中数学论文圆锥曲线有效教学的实践摘要 针对学生解答圆锥曲线综合题的现状，通过圆锥曲线教学中的几个具体案例，进行有效教学的实践。关键词 教学案例；有效教学圆锥曲线将几何和代数进行了完美结合，借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系。圆锥曲线的题目解题思路清晰，解题方法和规律性比较强，但运算过程往往比较复杂，对学生运算能力、恒等变形能力、数形结合能力及综合运用各种数学手段和方法的能力要求很高，因此，在很大程度上成为学生能力和心理上一道难以逾越的障碍。在平时的综合练习中，对于圆锥曲线

2、的综合题，学生往往只能完成第（1）小题，对第（2）（3）小题有的怕烦而懒得下手，有的则怕难而没有信心动笔，如何改变这种现状是摆在我们数学老师面前的严峻问题。本文通过圆锥曲线教学中的几个具体案例，就如何进行有效地课堂教学谈谈自己的拙见，以期抛砖引玉。1 利用问题系列 点拨知识联系圆锥曲线是重要的二次曲线，透彻的理解其定义，掌握定义所反映的曲线的本质，常使问题化繁为简，化难为易。因此圆锥曲线定义的教学尤为重要。案例1 在双曲线概念的教学中，对于定义“平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线”，若直接重述几遍，学生理解肤浅，在处理具体问题时，就可能思路受阻，漏洞百出。为强

3、化对概念的理解，设计了如下的问题系列：（1）将“小于”换成“等于”，其余条件不变，点的轨迹是什么？（2）将“小于”换成“大于”，其余条件不变，点的轨迹是什么？（3）将“绝对值”去掉，其余条件不变，点的轨迹是什么？（4）若“常数”等于零，其余条件不变，点的轨迹是什么？通过以上问题的讨论和探究，学生对双曲线定义中“绝对值”“常数”“小于”等有了深刻的理解，从而培养了思维的深刻性。2 找准典型母题 衍生有效子题圆锥曲线的题型相对比较集中，如圆锥曲线的弦长、标准方程的求法，圆锥曲线有关性质问题、最值问题，角的问题以及圆锥曲线的综合应用问题等，备课时应特别重视每一类题型中的“母题”，它的典型性和代表性是

4、通过改变条件或结论衍生出各种各样的子题。找准合适的母题，即抓住了重点，又节省了时间，同时可以将不同的方法和技巧得到渗透，起到事半功倍的作用。案例2 【母题】已知P是椭圆上任一点，为椭圆的两焦点，若为直角，求点P的坐标。分析 设点P的坐标，利用数量积为零是向量垂直的充要条件，求得点P的坐标。【子题1】已知P是椭圆上任一点，为椭圆的两焦点，若为锐角，求点P横坐标的取值范围。分析 将看作是两向量的夹角，由为锐角得从而可求得点P横坐标的取值范围。【子题2】 (2010浙江卷) 已知m1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点. （1）当直线过右焦点时，求直线的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，的重心分别为

5、.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.分析 原点在以线段为直径的圆内为钝角【子题3】 已知P是椭圆上任一点，为椭圆的两焦点，若为直角三角形，这样点P有_个。分析 “为直角三角形”并不等同于“为直角”，设置此陷阱的目的是培养学生解题的严谨性。3 注重形异质同 培养思维能力案例3 已知椭圆C经过点,两个焦点为。(1)求椭圆C的方程；(2)E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值。分析 直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数类题1抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点,，均在抛物线上。（1）写出该抛物线的方程；（2）当PA与PB的斜率存

6、在且倾斜角互补时，求直线AB的斜率。分析 PA与PB的斜率存在且倾斜角互补直线PA的斜率与PB的斜率互为相反数类题2已知抛物线C的方程为，直线与抛物线C相交于M,N两点，点A,B在抛物线C上。若,求证：直线AB的斜率为定值。分析 MA与MB的斜率存在且倾斜角互补直线MA的斜率与MB的斜率互为相反数类题3 已知抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为（1）求抛物线的方程；（2）若斜率为的直线与抛物线交于两点，且点在直线的右上方，求证：的内心在直线上。分析 的内心在直线上的角平分线为 MA与MB的倾斜角互补直线MA的斜率与MB的斜率互为相反数点评 对于类题（1）中的“倾斜角互补”和类题（2）中的“”，学

7、生不难得出相应的两条直线的斜率互为相反数。学生之所以对类题（3）望而却步，主要原因是学生不会将待解决的问题“的内心在直线上”，通过转化归结为一个已为人们所熟知的问题，即“直线MA的斜率与MB的斜率互为相反数”。因此在教学中，我们应帮助学生认识问题的本质，真正达到由表及里、举一反三、触类旁通的目的，切实培养思维的广阔性。4 适时优化运算 问题轻松获解“设而不求”是解决圆锥曲线问题的常用方法，此法不但可简化解题过程，还可优化解题思路。但有时由于所设的未知数较多，反显得多余而低效，适当减少未知数是十分必要的。如在处理直线与抛物线的位置关系问题时通常利用抛物线方程或直线方程代换一部分未知数，有利于简化

8、运算环节，使问题轻松获解。案例4 已知，是抛物线(为正常数)上的两个动点，设直线AB与x轴交于点P，与y轴交于点Q，且(1)求证：直线AB过抛物线C的焦点；(2)是否存在直线AB，使得若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由。解 （1）略；（2）假设存在满足条件直线AB，并设其方程为，则得，同理，由+=得=即（）联立消去得，代入（）得解得，存在满足条件的直线AB，且它的方程为点评 处理本题的关键是将整体代换成，再根据条件求出的值，运算过程显得简捷明了。5 采用逐句翻译 实现程序解答平面解析几何是用代数的方法研究平面几何问题，其基本思路是：建立坐标系，将问题中的几何关系翻译成代数式，然后

9、经过代数或几何运算得到相关结论。因此在解圆锥曲线综合题时，应养成逐句翻译的习惯，即“读题一句，思考一句；结合目标，翻译一句”。要尽可能地将题设中的条件全部融入图形中去，切实做到文字语言、符号语言、图形语言的相互转化。案例5 已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.(1)求抛物线的方程;(2)已知动直线过点,交抛物线于、两点.是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.分析 （2）设出直线的方程及点A,B的坐标，将条件“已知动直线过点P（4,0）,交抛物线于、两点”翻译成联立抛物线方程和直线方程消去得到一个关于一元二次方程

10、，再利用韦达定理写出两根之和、两根之积。条件“是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？”中涉及到直线被圆截得的弦长问题，因此需设出直线的方程，写出圆M的圆心和半径，再利用圆的弦长公式，化简后即得结果。解 （1）易得抛物线的方程为；（2）设直线的方程为，由消去，整理得，设，则，设直线的方程为，圆M的圆心为半径，圆心M到直线的距离，化简得，要使弦长恒为定值，即为定值，只须，此时3，因此弦长为定值。点评 此题属于直线与圆锥曲线位置关系的问题，常常采用以下程序化步骤：先联立直线与圆锥曲线方程，消去（或），得到一个关于（或）的一元二次方程，然后根据条件，借助于判别式及韦达定理，来表示题目中涉及到的位置关系和数量关系，最后将答案回归到原几何问题中。总之，圆锥曲线有效教学的途径应该是广泛的，做法也应该多样化。在教学中我们要善于启发、引导学生多角度、多层次地分析问题、辨析问题，提出问题和解决问题。在求深、求新、求异和求巧中培养学生的思维能力和创新精神。