用导数处理不等式恒成立问题.docx

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date用导数处理不等式恒成立问题用导数处理不等式恒成立问题教学过程一、复习预习一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：求在内的极值；将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值二、知识讲解常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法。考点1：利用导数解决恒成立问题若不

2、等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上考点2：利用导数解决能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.解决不等式恒成立问题和能成立问题，注意一个是全称命题，一个是存在性命题，所以转化的时候要注意求的到底是函数最大值和最小值。三、例题精析【例题1】【题干】设函数在及时取得极值（1）求、的值；（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围【答案】（1），（2）的取值范围为【解析】（1），函数在及取得极值，则有，即，解得，（2） 由（1）可知，当时，；当时，；当时，当时，取得极大值，又，则当时，的最

3、大值为对于任意的，有恒成立，解得或，因此的取值范围为【例题2】【题干】设函数(1)当a=1时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；(3)设函数，若在l，e上至少存在一组使成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）切线为 （2），由题意若函数在其定义域内为增函数，在（0，+）上恒成立，即，（3）在1，e上至少存在一组使成立；则， 9分在1，e上递减，令当时，在上递增，当时时在上递增，不合题意。当时，在上递减，当时，在上递减，ks5u时，不合题意。综上： 【例题3】【题干】已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若在上是增函数，求的取值范围.【解析】（1）当时

4、，在内单调递减，在内单调递增，当时，有极小值，的极小值是（2）在上，是增函数，当且仅当，即.当时，恒成立.当时，若要成立，则需，解得.当时，若要成立，则需，解得.综上，的取值范围是四、课堂运用【基础】1.三次函数f（x）=x33bx+3b在1，2内恒为正值，则b的取值范围是_【答案】 【解析】方法1：拆分函数f（x），根据直线的斜率观察可知在1，2范围内，直线y2与y1=x3相切的斜率是3b的最大值，求出b的取值范围方法2：利用函数导数判断函数的单调性，再对b进行讨论，比较是否与已知条件相符，若不符则舍掉，最后求出b的范围。2. 对于总有成立，则的值为多少？【答案】a=4【解析】若，则不论取何

5、值，显然成立；当，即时可化为.设，则，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而.当，即时，可化为，则在区间上单调递增，因此，从而.综上所述.【巩固】1.设为实数，函数.(1)若，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.【解析】（1）若，则（2）当时， 当时， 综上（3）时，得，当时，；当时，0,得：讨论得：当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为.2. 已知函数，讨论的单调性.【解析】的定义域是(0,+),设,二次方程的判别式. 当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。 当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。w.w.w

6、.k.s.5.u.c.o.m 当，即时，方程有两个不同的实根,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.【拔高】1.设函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.【解析】（）,曲线在点处的切线方程为.（）由，得， 若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若，则当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）由（）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，若，则当且仅当，

7、即时，函数内单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.2. 已知函数f(x)=xax+(a1)，。（1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。【解析】(1)的定义域为。（i）若即,则故在单调增加。(ii)若,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.(II)考虑函数 则由于1a1,证明对任意的c,都有M2: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()若MK对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。【解析】，由在处有极值可得解得

8、或若，则，此时没有极值；若，则当变化时，的变化情况如下表：10+0极小值极大值当时，有极大值，故，即为所求。（）证法1：当时，函数的对称轴位于区间之外。在上的最值在两端点处取得故应是和中较大的一个即证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，在上的最值在两端点处取得。故应是和中较大的一个假设，则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 将上述两式相加得：，导致矛盾，（）解法1：（1）当时，由（）可知；（2）当时，函数）的对称轴位于区间内，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 此时由有若则，于是若，则于是综上，对任意的、都有而当时，在区间上的最大值故对任意的、恒成立的的最大值为。解法

9、2：（1）当时，由（）可知；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）当时，函数的对称轴位于区间内，此时 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，即2. 已知函数,其中 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1） 当满足什么条件时,取得极值?（2） 已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.【解析】(1)由已知得,令,得,要取得极值,方程必须有解,所以,即, 此时方程的根为,所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时,x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.当时,

10、 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.综上,当满足时, 取得极值. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.即恒成立, 所以设,令得或(舍去), w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时,当时,单调增函数;当时,单调减函数,所以当时,取得最大,最大值为.所以当时,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以综上所述,当时, ; 当时, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m -