高中数学选修4-5知识点(最全版).docx

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高中数学选修4-5知识点(最全版)高中数学选修4-5知识点(最全版) 高中数学选修4-5知识点1不等式的基本性质1实数大小的比较(1)数轴上的点与实数之间具有一一对应关系(2)设a、b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A、B.当点A在点B的左边时，ab(3)两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系(不等式的意义)(4)两个实数比较大小的步骤作差；变形；判断差的符

2、号；结论2不等关系与不等式(1)不等号有，bbb，bcac；(3)可加性：ab，cRacbc；(4)加法法则：ab，cdacbd；(5)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb0，cd0acbd；(7)乘方法则：ab0，nN且n2anbn；(8)开方法则：ab0，nN且n2.（9）倒数法则，即ab00，那么 ( )，当且仅当ab时，等号成立(2)定理2的应用：对两个正实数x，y，如果它们的和S是定值，则当且仅当xy时，它们的积P取得最大值，最大值为.如果它们的积P是定值，则当且仅当xy时，它们的和S取得最小值，最小值为2.3基本不等式的几何解释如图，AB是O的直径，C是AB上任意一点，DE

3、是过C点垂直AB的弦若ACa，BCb，则ABab，O的半径R，RtACDRtDCB，CD2ACBCab，CD，CDR，当且仅当C点与O点重合时，CDR，即.4几个常用的重要不等式(1)如果aR，那么a20，当且仅当a0时取等号；(2)如果a，b0，那么ab，当且仅当ab时等号成立(3)如果a0，那么a2，当且仅当a1时等号成立(4)如果ab0，那么2，当且仅当ab时等号成立3三个正数的算术几何平均不等式1如果a、b、cR，那么a3b3c33abc，当且仅当abc时，等号成立2(定理3)如果a、b、cR，那么 ()，当且仅当abc时，等号成立即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均3如果a1，a

4、2，anR，那么，当且仅当a1a2an时，等号成立即对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均二绝对值不等式1绝对值三角不等式1绝对值及其几何意义(1)绝对值定义：|a|(2)绝对值几何意义：实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离|OA|.(3)数轴上两点间的距离公式：设数轴上任意两点A，B分别对应实数x1，x2，则|AB|x1x2|2绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立推论1：如果a，b是实数，那么|a|b|ab|a|b|.推论2：如果a，b是实数，那么|a|b|ab|a|b|.(2)定理2：

5、如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法1|x|a型不等式的解法设a0，则(1)|x|aaxaxa；(4)|x|axa或xa2|axb|c(c0)与|axb|c(c0)型不等式的解法(1)|axb|ccaxbc；(2)|axb|caxbc或axbc3|xa|xb|c与|xa|xb|c型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释(2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想确定各个绝对值号内多项式的正、负号，

6、进而去掉绝对值号(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考察函数的增减性)是关键注：绝对值的几何意义(1)|x|的几何意义是数轴上点x与原点O的距离；(2)|xa|xb|的几何意义是数轴上点x到点a和点b的距离之和；(3)|xa|xb|的几何意义是数轴上点x到点a和点b的距离之差2绝对值不等式的几何意义(1)|x|a(a0)的几何意义是以点a和a为端点的线段，|x|a的解集是a，a(2)|x|a(a0)的几何意义是数轴除去以点a和a为端点的线段后剩下的两条射线，|x|a的解集是(，a)(a，)3解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值变

7、形为不含绝对值的不等式(组)求解例题：例如：分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。例1： 解不等式。分析:由，得和。和把实数集合分成三个区间，即，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。解:当x-2时，得，解得：当-2x1时，得，解得：当时，得 ， 解得：综上，原不等式的解集为。例2：解不等式|2x4|3x9|2时，原不等式可化为解得x2.当3x2时，原不等式可化为解得x2.当x3时，原不等式可化为解得x12.综上所述，原不等式的解集为 x|x第二讲证明不等式的基本方法 一比较法比较法主要有1.作差比较法2.作商比较法1作差比较法(简称比差法)(1)作差比较法的证明依据是：abab

8、0；abab0；abab0时，1ab；1ab；1ab时，一定要注意b0这个前提条件若b0，b，1ab，1a；(nN*)；当ab0，m0时，等第三讲柯西不等式与排序不等式1二维形式的柯西不等式若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立2柯西不等式的向量形式设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立3二维形式的三角不等式设x1，y1，x2，y2R，那么 注意：1二维柯西不等式的三种形式及其关系定理1是柯西不等式的代数形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维

9、形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示2理解并记忆三种形式取“”的条件(1)代数形式中当且仅当adbc时取等号(2)向量形式中当存在实数k，k或0时取等号(3)三角形式中当P1，P2，O三点共线且P1，P2在原点O两旁时取等号3掌握二维柯西不等式的常用变式(1) |acbd|.(2) |ac|bd|.(3) acbd.(4)(ab)(cd)()2.4基本不等式与二维柯西不等式的对比(1)基本不等式是两个正数之间形成的不等关系二维柯西不等式是四个实数之间形成的不等关系，从这个意义上讲，二维柯西不等式是比基本不等式高一级的不等式(2)基本不等式具有放缩功能，

10、利用它可以比较大小，证明不等式，当和(或积)为定值时，可求积(或和)的最值，同样二维形式的柯西不等式也有这些功能，利用二维形式的柯西不等式求某些特殊函数的最值非常有效二一般形式的柯西不等式1三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2，当且仅当bi0(i1，2，3)或存在一个数k，使得aikbi(i1，2，3)时，等号成立2一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1，2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1，2，

11、n)时，等号成立注意：1对柯西不等式一般形式的说明：一般形式的柯西不等式是二维形式 、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方运用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式2关于柯西不等式的证明：对于函数f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2 (anxbn)2，显然f(x)0时xR恒成立，即f(x)(aaa)x22(a1b1a2b2anbn)x(bbb)0对xR恒成立， 4(a1b1a2b2anbn)24(aaa)(bbb)0，除以4得(aaa)(bbb) (a1b1a2b2anbn)2.3一般形式柯西不等式成立的

12、条件：由柯西不等式的证明过程可知0f(x)min0a1xb1a2xb2anxbn0b1b2bn0，或.4柯西不等式的几种常见变形：(1)设aaabbb1，则1a1b1a2b2anbn1；(2)设aiR(i1，2，3，n)，则 ；(3)设aiR，bi0(i1，2，3，n)，则；(4)设aibi0(i1，2，3，n)，则.三排序不等式1乱序和、反序和、顺序和设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn为b1，b2，bn的任一排列，称a1c1a2c2a3c3ancn为乱序和，a1bna2bn1a3bn2anb1为反序和，a1b1a2b2a3b3anbn为顺序和2排序不等式(又称排序原理)

13、设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，那么a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn，当且仅当a1a2an或b1b2bn时，反序和等于顺序和3排序原理的简记反序和乱序和顺序和第四讲用数学归纳法证明不等式 一数学归纳法1数学归纳法的定义一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当nn0时命题成立(2)假设当nk(kN且kn0)时命题成立，证明当nk1时命题也成立在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法2数

14、学归纳法的适用范围适用于证明一个与无限多个正整数有关的命题3数学归纳法的步骤(1)(归纳奠基)验证当nn0(n0为命题成立的起始自然数)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当nk(kN，且kn0)时命题成立，推导nk1时命题也成立(3)结论：由(1)(2)可知，命题对一切nn0的自然数都成立注意：用数学归纳法证明，关键在于两个步骤要做到“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”，因此必须注意以下三点：(1)验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0就是我们要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定就是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是正确运用数学归纳法要

15、注意的第一个问题(2)递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程，必须把归纳假设“nk”时命题成立作为条件来导出“nk1”时命题成立，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次，没有用上归纳假设的证明不是数学归纳法(3)正确寻求递推关系数学归纳法的第二步递推是至关重要的，那么如何寻找递推关系呢？在第一步验证时，不妨多计算几项，并正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的；探求数列的通项公式时，要善于观察式子或命题的变化规律，观察n处在哪个位置；在书写f(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚二用数学归

16、纳法证明不等式举例1数学归纳法证明不等式(1)用数学归纳法证明一个与正整数有关的不等式的步骤证明：当n取第一个值n0时结论成立；假设当nk(kN，且kn0)时结论成立，证明当nk1时结论也成立由可知命题对从n0开始的所有正整数n都成立(2)用数学归纳法证明不等式的重点用数学归纳法证明不等式的重点在第二步(同时也是难点所在)，即假设f(k)g(k)成立，证明f(k1)g(k1)成立2贝努利不等式(1)定义：如果x是实数，且x1，x0，n为大于1的自然数，那么有(1x)n1nx(2)作用：在数学研究中经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1x)n缩小为简单的1nx的形式，这在数值估计和放缩法证明不等式

17、中有重要应用例如：当x是实数，且x1，x0时，由贝努利不等式不难得到不等式1对一切不小于2的正整数n成立(3)贝努利不等式的一般形式(1)当是实数，并且满足1或1)；(2)当是实数，并且满足01)3归纳猜想证明的思想方法数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳猜想证明”这一基本思想方法中一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性，形成“观察归纳猜想证明”的思想方法1关于用数学归纳法证明不等式的四点注意(1)在从nk到nk1的过程中，应分析清楚不等式两端(一般是左端)项数的变化，也就是要认清不等式的结构特

18、征(2)瞄准当nk1时的递推目标，从中分离出nk时的相应式子，借助不等式性质用上归纳假设(3)明确用上归纳假设后要证明的不等式应是怎样的，然后通过运用放缩法、分析法、比较法、综合法等方法进行证明(4)有些不等式先用分析法转化为另一个较为简单的不等式然后再用数学归纳法证明2关于贝努利不等式(1)(1x)n1nx成立的两个条件：nN且n2；x的取值范围是x1且x0.于是有命题：当nN且n2时不等式(1x)n1nx对一切x(1，0)(0，)恒成立(2)常用特例：当x1且x0时，(1x)212x；当x1且x0时，(1x)313x.3重要结论(1)当n5时，n22n.(2)当nN时，|sin n|n|sin |.-