高中数学：立足化归思想实现有效解题.doc

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1、精品文档 仅供参考 学习与交流高中数学论文：立足化归思想，实现有效解题【精品文档】第 12 页高中数学论文立足化归思想 实现有效解题任何一个数学问题的解决，都需要进行一系列的推理和运算，而这些推理和运算，本质上就是一连串的问题转化与归结，即数学化归思想，灵活的转化和巧妙的归结是研究和解决数学问题的重要策略，又是一种数学能力，也是数学解题的核心思想，该思想渗透到所有的数学教学内容和解题过程中，在高考中占有十分重要的地位。下面以含参数二次型函数为主体阐述化归思想在解题中的具体应用，引导学生建立合理的解题逻辑，掌握有效常规的解题方法，实现优质高效的解题目的。一、换位思考，将问题简单化解决含参数问题时

2、，我们习惯了以为变量思考问题，但有时候在处理问题时会难以入手，难以理清思路，易出错。如果换一个角度思考，以另一参数为主元，却能使问题变得简单，容易解决。例1 对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。分析：题设为已知变量的取值范围，求变量的取值范围，可以考虑以为主元，为参数，把问题归结为关于的一次函数来处理，避免分类讨论，达到化繁为简的目的。解：原不等式等价于对任意恒成立，即等价于，即，解得。变式1 设，若在上变化时，恒取正值，求实数的范围。解：问题转化为，在时恒成立。由，得，解得：，故。变式2 设是定义在上的增函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围。解：由已知得，即对任意恒成立，等价于对任意

3、恒成立，即，得。评注：上述各题均化归为一次函数来解决，使问题转变为学生最熟悉的类型，化繁为简，有利于知识模块的建构。二、数形结合，将问题形象化在数学中，数与形是相互联系，相互制约的，在一定条件下又可以相互转化，互为补充，将数与形巧妙地结合起来，能使数学问题的解决直观形象又不失严密性。在处理含参数问题时，适当运用数形结合能达到高效解题的效果。例2 设方程，在上有唯一解，求实数的取值范围。分析：如果根与系数的关系分类讨论，情况比较多，显得复杂，若分离变量，可利用图像法，转化为两个函数图像的交点个数问题，能直观形象地解决。解：由已知得，作二次函数在上的图像，直线与上述图像有一个交点时，易得。评注：数

4、形结合解题时，应尽量使所得的函数为基本函数，便于作图，本例化为作二次函数的图像。变式1 若方程仅有一个实根，那么的取值范围是。解：等价于，即在上仅有一个实数根。作直线和函数在上的图像，由交点一个可得：。评注：这里的基本函数为“对勾函数”，函数图像及性质是我们比较熟悉的。变式2 关于的方程有4个不同的实数解，求实数的取值范围。解：转化为，分别作直线和函数的图像，当四个交点时，即。评注：这里的基本函数为二次函数型的分段函数。变式3 直线与曲线有四个交点，则实数的取值范围是。解：即方程有四个不同的实数根，令，则进一步转化为方程在上有两个不同的解，分别作直线和函数在上的图像，由交点两个得。评注：这里的

5、基本函数也是二次函数。综上所述，对处理含参数的二次方程有几个根的问题时，利用分离变量，恰当转化为宜于作图的基本函数是解题的有效方法。三、逆向思考，将问题一般化当数学问题正面解决困难时，就可以考虑转化到反面，或者逆向求解，如补集法、反正法等，往往能使问题转化为我们熟悉的，容易解决的道路上来。例3 已知二次函数，若，试判断函数上是否有零点。分析：若正面考虑“是否有零点”，情况相当复杂，不利于准确解题，容易出错，但是，如果考虑函数有零点，则问题变得简单，容易解决。解：若函数上有零点，则在有解，得，有，得，解得，这与矛盾，故函数上无零点。变式1 若二次函数，在上至少有一个值，使，求实数的范围。解：问题

6、等价于在有解，假设在恒成立，则，得，解得。取补集得，这就是原问题的答案。四、理性分析，将问题常规化在数学问题的解答中，我们不妨冷静的思考、从不同角度作理性的分析，发掘一些隐含的条件，往往能把问题转化到常规题来解决，起到四两拨千斤的效果。例4 已知函数，若对任意恒成立，去实数的取值范围。分析：本题如果直接分类讨论或者分离变量，会使解答繁琐。仔细分析可得：，再结合图像，易知在上无零点。解：由于，问题转化为在上无零点，结合图像知：，得。评注：是隐含条件，充分利用这一条件使问题简单化，变为常规题，便于解决。变式1 二次函数，是否存在实数、，使的定义域和值域分别为和？说明理由。分析：直接解答无从入手，思

7、路受阻，找不到方向。如果按求二次函数值域的一般方法讨论，情况也比较复杂。而由，若结论成立，则必有，即，从而函数在上位增函数，这样问题就容易解决了。解：由，若结论成立，则必有，即，从而函数在上位增函数，则有，解得，。评注：发现这一隐含条件是解题的关键，也是把问题变为常规题的转化条件。五、函数思想，将问题和谐化方程和不等式问题可以在函数的观点下统一起来，它们是密切相关，可以相互转化的。函数可以看成方程，也可以将方程或不等式的两边都看成函数。函数与方程的和谐统一是相互转化的根本，在解决含参数的问题中有广泛的应用。例5 方程在中至少有一个根，求实数的范围。解：等价于方程在中有解，等价求函数在上的值域，

8、易知此时函数为增函数，得，即，故。评注：本题将方程根的个数问题转化为求“对勾函数”值域问题。变式1 关于的方程至少有一个负根，求实数的范围。解：显然，故，令，问题转化为关于的方程至少有一个负根，下面求在的值域，得，所以，即。评注：本题将方程根的个数问题转化为求二次函数的值域来解决。变式2 函数，如果函数在上有零点，求实数的范围。解：由，得在上有解，令，则，即在上有解。转化为求在上的值域，而在上的值域为，从而得变式3 已知是实数，函数，如果函数在上有零点，求实数的范围。解：显然不符合条件。当时，转化为在上有解，令，则，有解。转化为求函数的值域。而由，得，即，故。变式4 关于的方程在有实根，求实数的范围。解：显然（否则方程无符合条件的实根），得在有实根，转化为求得函数在的值域，此函数为增函数，解得值域为，即，得。评注：上述各题采用分离变量的手段，把方程问题转化为求函数值域问题，避免了分类讨论的繁琐过程。总之，在数学解题中，要灵活运用转化和化归思想，把问题转化为我们熟悉的类型，做到简单化，形象化，快速化，高效化，实现有效解题，形成优良的数学素养。