(精品)直线与方程知识点+经典习题.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date(精品)直线与方程知识点+经典习题(精品)直线与方程知识点+经典习题直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾

2、斜程度。当时，； 当时，； 当时，不存在。过两点的直线的斜率公式： 注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：（）直线两点，截矩式：其中直线与轴交于点

3、,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。一般式：（A，B不全为0）注意：各式的适用范围 特殊的方程如：平行于x轴的直线：（b为常数）； 平行于y轴的直线：（a为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）（二）过定点的直线系（）斜率为k的直线系：，直线过定点；（）过两条直线，的交点的直线系方程为（为参数），其中直线不在直线系中。（6）两直线平行与垂直当，时，；注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点 相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解 ； 方程组有无数解与重合（8）两点间

4、距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则 （9）点到直线距离公式：一点到直线的距离（10）两平行直线距离公式利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线，之间的距离公式，推导过程为：在直线上任取一点，则，即. 这时点到直线的距离为。3.11 倾斜角与斜率【知识点归纳】1.直线的倾斜角：2.直线的斜率：3.直线的斜率公式：【典型例题】题型 一 求直线的倾斜角例 1 已知直线的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（ ）. A. 60 B. 30 C. 60或120 D. 30或150变式训练：设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕原点沿逆时针方向旋转45，得到直线，则的倾斜角为（ ）。 A. B.

5、C. D. 当0135时为，当135180时，为题型 二 求直线的斜率例 2如图所示菱形ABCD中BAD=60，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.变式训练： 已知过两点, 的直线l的倾斜角为45，求实数的值.题型 三 直线的倾斜角与斜率的关系例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（ ）. A .k1k2k3B. k3k1k2 C. k3k2k1D. k1k3k2拓展 一 三点共线问题例4 已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值变式训练:若三点P（2，3），Q（3，），R(4，)共线，那么下列成立的是（ ）.

6、 A B C D拓展 二 与参数有关问题例 5 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与线段AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围.变式训练：已知两点，直线过定点且与线段AB相交，求直线的斜率的取值范围. 拓展 三 利用斜率求最值例 6 已知实数、满足当23时，求的最大值与最小值。变式训练： 利用斜率公式证明不等式：且3.1.2 两条直线平行与垂直的判定【知识点归纳】1.直线平行的判定 2.两条直线垂直的判定（注意垂直与x轴和y轴的两直线）：【典型例题】题型 一 两条直线平行关系例 1 已知直线经过点M（-3，0）、N（-15，-6），经过点R（-

7、2，）、S（0，），试判断与是否平行？变式训练：经过点和的直线平行于斜率等于1的直线，则的值是（ ）. A4 B1 C1或3 D1或4题型 二 两条直线垂直关系例 2 已知的顶点，其垂心为，求顶点的坐标变式训练：（1）的倾斜角为45，经过点P（-2，-1）、Q（3，-6），问与是否垂直？（2）直线的斜率是方程的两根，则的位置关系是 .题型 三 根据直线的位置关系求参数例 3 已知直线经过点A(3,a)、B（a-2,-3）,直线经过点C（2，3）、D（-1，a-2）,（1）如果/，则求a的值；（2）如果，则求a的值题型 四 直线平行和垂直的判定综合运用例4 四边形ABCD的顶点为、，试判断四边形

8、ABCD的形状.变式训练：已知A（1，1），B（2，2），C（3，-3），求点D，使直线CDAB，且CBAD探点 一 数形结合思想例 5 已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.（1）证明：点C、D和原点O在同一直线上. （2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.探点 二 分类讨论思想例6 的顶点，若为直角三角形，求m的值.3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程【知识点归纳】1.直线的点斜式方程：2.直线的斜截式方程：【典型例题】题型 一 求直线的方程例1 写出下列点斜式直线方程： （1）经过点

9、，斜率是4；（2）经过点，倾斜角是.例 2 倾斜角是，在轴上的截距是3的直线方程是 .变式训练：1. 已知直线l过点，它的倾斜角是直线的两倍，则直线l的方程为2. 已知直线在轴上的截距为3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线的方程3.将直线绕它上面一点（1，）沿逆时针方向旋转15，得到的直线方程是 .题型 二 利用直线的方程求平行与垂直有关问题例 3 已知直线的方程为的方程为，直线与平行且与在轴上的截距相同，求直线的方程。探究 一 直线恒过定点或者象限问题例 4. 已知直线.（1）求直线恒经过的定点；（2）当时，直线上的点都在轴上方，求实数的取值范围.探究 二 直线平移例 5 已知直

10、线l：y=2x-3 ，将直线l向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位后得到的直线方程为_3.2.2 直线的两点式方程【知识点归纳】1.直线的两点式方程：2.直线的截距式方程：【典型例题】题型 一 求直线方程例 1 已知顶点为，求过点且将面积平分的直线方程.变式训练：1.已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）. A B C D2.已知，则过点的直线的方程是（ ）. A. B. C. D. 例 2求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程.变式训练：已知直线l过点（3，-1），且与两轴围成一个等腰直角三角形，则l的方程为 题型 二 直线方程的应用例 3 长途汽车客运

11、公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图象如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式，并说明自变量x的取值范围；（2）如果某旅客携带了75千克的行李，则应当购买多少元行李票？探究 一 直线与坐标轴围成的周长及面积例 4 已知直线过点，且与两坐标轴构成面积为4的三角形，求直线的方程探究 二 有关光的反射例 5 光线从点A（3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点 B（2，6），求射入y轴后的反射线的方程.变式训练：已知点、，点P是x轴上的点，求当最小时的点P的坐标3.2.3 直线的一般式方程【知识点归纳

12、】1直线的一般式：2直线平行与垂直的条件：【典型例题】题型 一 灵活选用不同形式求直线方程例1 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是，经过点A（8，2）； （2）经过点B(4，2)，平行于轴；（3）在轴和轴上的截距分别是,3； （4）经过两点（3，2）、（5，4）.题型 二 直线不同形式之间的转化例 2 求出直线方程，并把它化成一般式、斜截式、截距式：过点.题型 三 直线一般式方程的性质例 3直线方程的系数A、B、C分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x轴相交；（3）只与y轴相交；（4）是x轴所在直线；（5）是y轴所在直线.变式

13、训练：已知直线。（1）求证：不论为何值，直线总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求的取值范围。题型 四 运用直线平行垂直求参数例 4 已知直线：，：，问m为何值时：（1）； （2）.变式训练：（1）求经过点且与直线平行的直线方程；（2）求经过点且与直线垂直的直线方程.题型 五 综合运用例 5 已知直线，求m的值，使得：（1）l1和l2相交；（2）l1l2；（3）l1/l2；（4）l1和l2重合. 3.3 直线的交点坐标与距离公式【知识点归纳】1.两条直线的焦点坐标：2.两点间的距离公式：【典型例题】题型 一 求直线的交点坐标例 1 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标

14、.（1）直线l1: 2x3y+10=0 , l2: 3x+4y2=0； （2）直线l1: , l2: .题型 二 三条直线交同一点例 2 若三条直线相交于一点，则k的值等于变式训练：1.设三条直线：交于一点，求k的值2.试求直线关于直线:对称的直线l的方程.题型 三 求过交点的直线问题例 3 求经过两条直线和的交点，且平行于直线的直线方程.变式训练：已知直线l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0. 求经过l1和l2的交点，且与直线l3: 3x-2y+4=0垂直的直线l的方程.题型 四 两点间距离公式应用例 4 已知点且，则a的值为变式训练：在直线上求一点，使它到点的距离为

15、，并求直线的方程.题型 五 三角形的判定 例 5已知点，判断的类型探究 一 直线恒过定点问题例 6 已知直线. 求证：无论a为何值时直线总经过第一象限.变式训练：若直线l：ykx与直线2x3y60的交点位于第一象限，求直线l的倾斜角的取值范围.探究 二 利用对称性求最值问题（和最小，差最大）例 7 直线2xy4=0上有一点P，求它与两定点A(4，1)，B(3，4)的距离之差的最大值.变式训练：已知，点为直线上的动点求的最小值，及取最小值时点的坐标3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离【知识点归纳】1.点到直线的距离：2.两条平行间直线的距离：拓展：点关于点、直线对称点的求法

16、【典型例题】题型 一 利用点到直线距离求参数例 1 已知点到直线的距离为1，则a=（ ）. A B C D题型 二 利用点到直线距离求直线的方程例 2 求过直线和的交点并且与原点相距为1的直线l的方程.变式训练：直线l过点P(1，2)，且M(2，3)，N(4，5)到的距离相等，则直线的方程是题型 三 利用平行直线间的距离求参数例 3若两平行直线和之间的距离为，求的值.变式训练：两平行直线间的距离是（ ）. A. B. C. D. 题型 四 利用平行直线间的距离求直线的方程例 4 与直线平行且与的距离2的直线方程是题型 五 点、直线间的距离的综合运用例 5 已知点P到两个定点M（1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1求直线PN的方程探究 一 与直线有关的对称问题例 6 ABC中，. 求A的平分线AD所在直线的方程.变式训练：1.与直线关于点（1，-1）对称的直线方程是2求点A（2，2）关于直线的对称点坐标探究 二 与距离有关的最值问题例 7 在函数的图象上求一点P，使P到直线的距离最短，并求这个最短的距离.变式训练：在直线上求一点P，使得：（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大。（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小。-