-中考数学--几何最值问题解法探讨.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date-中考数学-几何最值问题解法探讨-中考数学-几何最值问题解法探讨几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质

2、求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1. （2012山东济南3分）如图，MON=90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【 】ABC5D例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC=，ABC=45，BD平分ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 。例3、已知A（1，5），B（3，-1）两点，在

3、x轴上取一点M，使AM-BM取得最大值时，则M的坐标为（ ）练习题：1.（2011广西贵港2分）如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则BPG的周长的最小值是 _ 2、（2012四川眉山3分）在ABC中，AB5，AC3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是 .二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题：例4.（2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，A=120，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】A1 B C 2 D1例5.（2012四川广元3分） 如

4、图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为【 】A.（0，0） B.（，） C.（，） D.（，）例6. （2012浙江宁波3分）如图，ABC中，BAC=60，ABC=45，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 练习题：1. （2011浙江衢州3分）如图，OP平分MON，PAON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为【 】A、1B、2 C、3D、42.（2011四川南充8分）如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=AB=CD=2，C=60，M是BC的中点（

5、1）求证：MDC是等边三角形；（2）将MDC绕点M旋转，当MD（即MD）与AB交于一点E，MC（即MC）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成AEF试探究AEF的周长是否存在最小值如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出AEF周长的最小值5.（2011云南昆明12分）如图，在RtABC中，C=90，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿BCA方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不

6、存在，请说明理由三、应用轴对称的性质求最值：典型例题：例7. （2012四川攀枝花4分）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 例8. （2012广西贵港2分）如图，MN为O的直径，A、B是O上的两点，过A作ACMN于点C，过B作BDMN于点D，P为DC上的任意一点，若MN20，AC8，BD6，则PAPB的最小值是。例9. （2012湖北十堰6分）阅读材料：例：说明代数式 的几何意义，并求它的最小值（1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B 的距离之和（填写点B的坐标）（2）代数式 的最小值为 练习题

7、：1. （2011黑龙江大庆3分）如图，已知点A(1，1)、B(3，2)，且P为x轴上一动点，则ABP的周长的最小值为 2. （2011辽宁营口3分）如图，在平面直角坐标系中，有A(1，2)，B(3，3)两点，现另取一点C(a，1)，当a 时，ACBC的值最小3.（2011甘肃天水4分）如图，在梯形ABCD中，ABCD，BAD=90，AB=6，对角线AC平分BAD，点E在AB上，且AE=2（AEAD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是 四、应用二次函数求最值：典型例题：例10. （2012四川自贡4分）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BCCD上两个动点，且始终保持AMMN，

8、当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2例11.（2012江苏扬州3分）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE长的最小值是例3.（2012广东广州14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CEAB于E，设ABC=（6090）（1）当=60时，求CE的长；（2）当6090时，是否存在正整数k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由连接CF，当CE2CF2取最大值时，求tanDCF的值例6.（2012江苏苏州8分）如图，已知半径为2的O

9、与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为. 当 时，求弦PA、PB的长度；当x为何值时，的值最大？最大值是多少？例7.（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存

10、在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）如图1，PE=BE，EBP=EPB又EPH=EBC=90，EPHEPB=EBCEBP，即PBC=BPH。又ADBC，APB=PBC。APB=BPH。（2）PHD的周长不变为定值8。证明如下：如图2，过B作BQPH，垂足为Q。由（1）知APB=BPH，又A=BQP=90，BP=BP，ABPQBP（AAS）。AP=QP，AB=BQ。又AB=BC，BC=BQ。又C=BQH=90，BH=BH，BCHBQH（HL）。CH=QH。PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。（3）如图3，过F作FMAB，垂

11、足为M，则FM=BC=AB。又EF为折痕，EFBP。EFM+MEF=ABP+BEF=90。EFM=ABP。又A=EMF=90，AB=ME，EFMBPA（ASA）。EM=AP=x在RtAPE中，（4BE）2+x2=BE2，即。又四边形PEFG与四边形BEFC全等，。，当x=2时，S有最小值6。【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。【分析】（1）根据翻折变换的性质得出PBC=BPH，进而利用平行线的性质得出APB=PBC即可得出答案。（2）先由AAS证明ABPQBP，从而由HL得出BCHBQH，即可得CH=QH。因此，PDH的周长

12、=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。（3）利用已知得出EFMBPA，从而利用在RtAPE中，（4BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可。例8.（2012陕西省12分）如图，正三角形ABC的边长为（1）如图，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形，且使正方形的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形的边长；（3）如图，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最

13、小值，并说明理由【答案】解：（1）如图，正方形即为所求。 （2）设正方形的边长为x ABC为正三角形，。，即。 （3）如图，连接NE，EP，PN，则。 设正方形DEMN和正方形EFPH的边长分别为m、n（mn），它们的面积和为S，则，。 . 。 延长PH交ND于点G，则PGND。 在中，。 ，即， 。 当时，即时，S最小。 。 当最大时，S最大，即当m最大且n最小时，S最大。 ，由（2）知，。 。【考点】位似变换，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质。【分析】（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形EFPN，如答图所示。（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之

14、间的关系，利用等式EF+AE+BF=AB，列方程求得正方形EFPN的边长 （3）设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（mn），求得面积和的表达式为：，可见S的大小只与m、n的差有关：当m=n时，S取得最小值；当m最大而n最小时，S取得最大值m最大n最小的情形见第（1）（2）问。练习：1.（2012山东日照9分）如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动设运动时间为x秒，PBQ的面积为y（cm2）.（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值

15、范围；（2）求PBQ的面积的最大值.【答案】解：（1）， PB=ABAP=182x，BQ=x，y=（182x）x，即y=x29x（0x4）。（2）由（1）知：y=x29x=。当0x时，y随x的增大而增大， 而0x4，当x=4时，。PBQ的最大面积是20cm2。【考点】矩形的性质，二次函数的最值。X|k | B| 1 . c|O |m【分析】（1）分别表示出PB、BQ的长，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解。（2）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答。2.（2012四川宜宾12分）如图，在ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且ABCDEF，将DEF与ABC重合

16、在一起，ABC不动，ABC不动，DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点（1）求证：ABEECM；（2）探究：在DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积【答案】（1）证明：AB=AC，B=C。 ABCDEF，AEF=B。又AEF+CEM=AEC=B+BAE，CEM=BAE。ABEECM。（2）解：能。AEF=B=C，且AMEC，AMEAEF。AEAM。当AE=EM时，则ABEECM（SAS）。CE=AB=5。BE=BCEC=65=1。当AM=EM时，则MA

17、E=MEA。MAE+BAE=MEA+CEM，即CAB=CEA。又C=C，CAECBA，。BE= BCEC =6。综上所述，当BE=1或时，重叠部分能构成等腰三角形。（3）解：设BE=x，则CE=6xABEECM，即：，。当x=3时，AM最短为。又当BE=x=3=BC时，点E为BC的中点，AEBC。此时，EFAC，。当线段AM最短时，重叠部分的面积为。【考点】全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，二次函数的最值，勾股定理。【分析】（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得B=C，又由ABCDEF与三角形外角的性质，易证得CEM=BAE，则可证得：

18、ABEECM。（2）由AEF=B=C，且AMEC，可得AEAM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，应用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案。（3）设BE=x，由ABEECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得，从而求得AM的值，利用二次函数的性质，即可求得线段AM的最小值，从而求得重叠部分的面积。例3.（2012四川南充8分）在RtPOQ中，OP=OQ=4,M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与POQ的两直角边分别交于点A、B，(1)求证：MA=MB(2)连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，AOB的周长是否存在最小值，若存在

19、，求出最小值，若不存在。请说明理由。【答案】解：（1）证明：连接OM 。 RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点， PQ=4，OM=PM=PQ=2，POM=BOM=P=450 。 PMA+AMO=OMB+AMO，PMA=OMB。PMAOMB（ASA）。 MA=MB。(2) AOB的周长存在最小值。理由如下:PMAOMB ， PA=OB。 OA+OB=OA+PA=OP=4。令OA=x， AB=y，则y2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+88。当x=2时y2有最小值8，从而 y的最小值为2。AOB的周长存在最小值，其最小值是4+2。【考点】直角三角形斜边上的中线性质，

20、全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。【分析】（1）连接OM，证PMA和OMB全等即可。(2) 先计算出OP=OA+OB=OA+PA=4，再令OA=x，AB=y，则在RtAOB中，利用勾股定理得y2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+8求出最值即可。练习题：1. （2011宁夏自治区10分）在等腰ABC中，AB=AC=5，BC=6动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MNBC将AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？（2）当MN=x，MNP与等腰ABC重叠部分的面积为y，试写出

21、y与x的函数关系式当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？2.（2011福建龙岩14分）如图，在直角梯形ABCD中，D=BCD=90，B=60，AB=6，AD=9，点E是CD上的一个动点(E不与D重合)，过点E作EFAC，交AD于点F(当E运动到C时，EF与AC重合)把DEF沿EF对折，点D的对应点是点G，设DE=x，GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y。(1) 求CD的长及1的度数；(2) 若点G恰好在BC上，求此时x的值；(3) 求y与x之间的函数关系式。并求x为何值时，y的值最大?最大值是多少?4. （2011江苏宿迁12分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边C

22、D上一动点，设DQt（0t2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QEAB于点E，过M作MFBC于点F （1）当t1时，求证：PEQNFM； （2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值6.（2011内蒙古巴彦淖尔、赤峰14分）如图（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，AEF=90，且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N，FNBC（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，ECF的面积为y求y与x的函数关系式；当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值 图1 图2-