一元二次方程根的判别式与韦达定理.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date一元二次方程根的判别式与韦达定理一元二次方程根的判别式与韦达定理一元二次方程根的判别式与韦达定理一.一元二次方程根的判别式.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),记=b2-4ac.则有:0方程有两个不等实数根;=0方程有两个相等实数根;0方程没有实数根.注意：（1）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。（2）如果说方程有实数根

2、，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac0切勿丢掉等号.(3)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a0.(4)显然,当、异号时，0，方程必有两不等的根，此结论宜熟记于心.二.根的判别式有以下应用： 不解一元二次方程，判断根的情况.例1.不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 2x2+3x-4=0;(2). 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.例2.求k的何值时,关于x的方程2(k+1)x2+4kx+2k-1=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；(4)有一根. 证明字母系

3、数方程有实数根或无实数根.例3求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。 三.韦达定理(一元二次方程根与系数的关系). 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个根分别为、，则有： ，. 注意:此定理成立的前提是方程为一元二次方程(a0),且方程有两根(包括相等的两根,即要满足0)四.韦达定理的应用. 求根或参数的值.例4.(1)已知方程的两个根为和,求、的值. (2)已知方程的一个根是,求方程的另一个根及m的值. (3)若方程的一个根是2, 求方程的另一个根及k的值. 说明:这3个题目均有两种解法,即代根法与韦达定理法,其中(1)(2)用韦达定理更简单,(3)用代根

4、法更简单. 求与两根有关的对称式的值.例5.设、是方程的两根,试求下列各式的值: (1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8) ;(9). 说明(1)这类题目除了利用韦达定理解外,也可以直接求出方程的根代入各式求值,对于此题这样做显然计算量大.但如果方程的根为全整数时,比如方程替换为,则宜选用带人求值的方法.(2)一般的,对于方程ax2+bx+c=0(a0),当时,有=,此结论及其推导过程必须牢记于心.分析一元二次方程根的范围(主要指符号).例6.已知关于的方程.根据下列各条件分别求的取值范围.(1)两根异号;(2)两根均为正数;(3)两根异号,且负根绝对值大.构造一元二次方

5、程.理论依据是:以x1、x2为根的一元二次方程是x2-（x1+x2）x+x1x2=0.例7. 求作一个一元二次方程使它的两根分别是1和1+.例8.解下列方程组: (1) ; (2) ; (3) ; (4) .五.作业1一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是()ABCD2若是方程的两个根，则的值为( )ABCD3已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于()ABCD4若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )ABCD大小关系不能确定5若实数，且满足，则代数式的值为( )ABCD6如果方程的两根相等，则之间的关系是 _ 7已

6、知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _ 8若方程的两根之差为1，则的值是 _ 9设是方程的两实根，是关于的方程 的两实根，则= _ ，= _ 10已知实数满足，则= _ ，= _ ，= _ 11对于二次三项式，小明得出如下结论：无论取什么实数，其值都不可能等于10您是否同意他的看法？请您说明理由12若，关于的方程有两个相等的的正实数根，求的值13已知关于的一元二次方程(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为，且满足，求的值14已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长(1) 取何值时，方程存在两个正实数根？(2) 当矩形的对角线长是时，求的值15已知关于的方程有两个不相等的实数根(1) 求的取值范围；(2) 是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请您说明理由16已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11求证：关于的方程有实数根17若是关于的方程的两个实数根，且都大于1(1) 求实数的取值范围；(2) 若，求的值练习答案: 1 B2 A3A4A5A67 38 9或91011正确124131415(2) 不存在16(1)当时，方程为，有实根；(2) 当时，也有实根17(1) ；(2) -