大学物理第6章气动理论.ppt

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1、 大学物理第大学物理第6 6章气动理论章气动理论 Four short words sum up what has lifted most successful Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. individuals above the crowd: a little bit more. -author -author -date-date 汇集全球三分之一智慧的照片汇集全球三分之一智慧的照片: (1927年，第五届索尔

2、维会议，比利时布鲁塞尔，参加这次会议的29人中有17人获得或后来获得诺贝尔奖) 大学物理学大学物理学本学期教学内容本学期教学内容 热学热学6-76-7章章 大学物理学大学物理学上册上册振动与波动振动与波动 大学物理学大学物理学下册下册光学光学 大学物理学大学物理学下册下册近代物理近代物理 大学物理学大学物理学下册下册 总成绩评定总成绩评定（1）平时成绩）平时成绩 15% （作业情况（作业情况5%、到课率、到课率10%）（2）随堂测验）随堂测验 15% （4-5次）次）（3）期末考试）期末考试 70%交作业规定：每周第一次上课之前交。交作业规定：每周第一次上课之前交。重修生和刷新考试的同学总成绩

3、也按上面执行。重修生和刷新考试的同学总成绩也按上面执行。 1.1.什么是热学什么是热学? ? 研究与热现象有关的研究与热现象有关的宏观性质和微观本质宏观性质和微观本质的学科。的学科。2.2.研究对象研究对象 由大量由大量微观粒子微观粒子( (原子、分子等原子、分子等) )所构成的物质系统所构成的物质系统( (热力学系统热力学系统) )。系统的粒子在做杂乱无章、但有规律可寻的。系统的粒子在做杂乱无章、但有规律可寻的热运动热运动。大学物理中只。大学物理中只研究气体的热学问题。研究气体的热学问题。 热运动：无规则热运动：无规则热学热学 机械运动：定向运动机械运动：定向运动力学力学微观量：微观量：描述

4、描述单个粒子单个粒子运动状态的物理量。运动状态的物理量。( (如分子质量、速度等如分子质量、速度等) )宏观量：宏观量：描述描述系统整体特性系统整体特性的可观测物理量。（一般可用仪器测量）的可观测物理量。（一般可用仪器测量） 3.3.研究方法研究方法: : （1）气体动理论）气体动理论：应用：应用统计和概率学方法统计和概率学方法来研究大量微观来研究大量微观粒子的热运动规律。主要是研究状态特性。粒子的热运动规律。主要是研究状态特性。 （2）热力学）热力学：从能量出发，不过问物质的微观结构，以：从能量出发，不过问物质的微观结构，以大大量实验观测为基础量实验观测为基础来研究物质的热运动的来研究物质的

5、热运动的宏观基本规律及宏观基本规律及其应用。其应用。主要是研究变化过程中的规律。主要是研究变化过程中的规律。 一一 平衡态平衡态1）定义：）定义：将气体存放在一个与将气体存放在一个与外界外界既没有能量交换也没有既没有能量交换也没有物质交换（孤立系）物质交换（孤立系）的容器的容器中足够长的时间，气体所达中足够长的时间，气体所达到一种状态叫到一种状态叫平衡态平衡态。2）特点：）特点：宏观性质不变，微观宏观性质不变，微观状态在不停地改变；动态平状态在不停地改变；动态平衡，是一种平均的效果。衡，是一种平均的效果。第六章 气体动理论孤立系：从热学角度讲外界对系统既不孤立系：从热学角度讲外界对系统既不做功

6、也不传热。做功也不传热。 描写处于平衡态系统宏观性质的物理量叫描写处于平衡态系统宏观性质的物理量叫状态参量（状态状态参量（状态量）量）。常用的气体状态量有三个：。常用的气体状态量有三个： V V、 p p、 T T2 压强：压强： 用用p表示。宏观上看，压强表示容器内的表示。宏观上看，压强表示容器内的气体对容器壁单位面气体对容器壁单位面积上的压力。积上的压力。微观上看，压强表示容器内分子热运动对容器壁微观上看，压强表示容器内分子热运动对容器壁单位面积上的平均冲力。单位面积上的平均冲力。 单位：帕（斯卡），单位：帕（斯卡），Pa。1atm=1.013105Pa。二二 气体的状态参量气体的状态参量

7、1 体积体积： 用用V表示。宏观上讲体积表示容表示。宏观上讲体积表示容器的容积。微观上看是容器中分器的容积。微观上看是容器中分子所能够到达的区域。子所能够到达的区域。单位：立方米，单位：立方米，m3。 3 温度温度： 用用T表示。宏观上看，温度表示气体的冷热程度。表示。宏观上看，温度表示气体的冷热程度。微观上看表微观上看表示气体热运动的剧烈程度。示气体热运动的剧烈程度。单位：开（尔文），单位：开（尔文），K。 温度是我们引入的温度是我们引入的第一个第一个热学状态量。热学状态量。热力学第零定律热力学第零定律如果系统如果系统A A与系统与系统B B都与系统都与系统C C处于热平衡，则处于热平衡，则

8、系统系统A A与系统与系统B B互相处于热平衡。互相处于热平衡。注意：注意：1) p V T 1) p V T 在热学公式中带在热学公式中带国际单位制国际单位制。 2)2)气体的标准条件：气体的标准条件：1atm & 273K1atm & 273K（0 0o oC C）。 3)3)状态量与过程量、强度量与广延量。状态量与过程量、强度量与广延量。 三、理想气体及其状态方程三、理想气体及其状态方程我们把严格遵守玻意尔定律、盖我们把严格遵守玻意尔定律、盖- -吕萨克定律和查里定律的气体称吕萨克定律和查里定律的气体称为为理想气体理想气体。理想气体一般是指理想气体一般是指密度足够低，温度足够高，压强不太

9、大密度足够低，温度足够高，压强不太大的气体。的气体。pVConstant玻意尔定律玻意尔定律VConstantTpConstantT盖盖- -吕萨克定律吕萨克定律查里定律查里定律热力学系统涉及热力学系统涉及的的几个实验规律几个实验规律1.1.理想气体理想气体 气体摩尔数气体摩尔数RTpV118.31RJ molK普适气体常量普适气体常量Equation of state 平衡态下，气体的温度、压强、体积之间的函数关系，称为平衡态下，气体的温度、压强、体积之间的函数关系，称为气体的气体的状态方程状态方程。ANNMM0M M 表示气体总质量表示气体总质量 M M0 0 表示气体摩尔质量表示气体摩尔

10、质量N N 表示气体总分子数目表示气体总分子数目 N NA A表示气体阿伏加德罗常数表示气体阿伏加德罗常数2.2.状态方程状态方程 3.3.状态方程的其他形式状态方程的其他形式VNn 分子数密度分子数密度玻尔兹曼常量玻尔兹曼常量TNRVNpRTNNpVAA1231038. 1KJNRkAnkTp 当然也可利用摩尔数与气体质量的关系，导出其他形式。当然也可利用摩尔数与气体质量的关系，导出其他形式。nmVmNVM 一、统计规律及其基本特征 孤立系统中，大量分子无休止的运动和彼此频繁的碰撞，孤立系统中，大量分子无休止的运动和彼此频繁的碰撞，使得动使得动量、能量以及分子自身在系统各处平均化，从而温度、

11、压强等宏观量量、能量以及分子自身在系统各处平均化，从而温度、压强等宏观量也趋于相等，系统自发达到热力学平衡。也趋于相等，系统自发达到热力学平衡。q统计规律统计规律大量随机偶然事件中的确定性规律。大量随机偶然事件中的确定性规律。分子热运动反映了随机分子热运动反映了随机性性，相互作用会带来必然性（确定性）。，相互作用会带来必然性（确定性）。 除碰撞的瞬间外，分子间的相互作用力可忽略不计。因此在除碰撞的瞬间外，分子间的相互作用力可忽略不计。因此在两次碰撞之间分子的运动可以当作两次碰撞之间分子的运动可以当作匀速直线运动匀速直线运动。气体分子。气体分子与分子之间的碰撞以及分子与容器壁之间的碰撞可以看作是

12、与分子之间的碰撞以及分子与容器壁之间的碰撞可以看作是完全弹性碰撞（碰撞过程无能量损失）完全弹性碰撞（碰撞过程无能量损失）。二、理想气体的微观模型与统计性假设1.1.理想气体分子的微观模型（理想气体分子的微观模型（一群无相互作用的弹性质点集合体一群无相互作用的弹性质点集合体）分子总在无规则热运动，分子与分子总在无规则热运动，分子与分子、分子与容器壁之间发生频分子、分子与容器壁之间发生频繁碰撞。繁碰撞。分子本身的大小与分子间平均距分子本身的大小与分子间平均距离相比可以忽略不计，分子可以离相比可以忽略不计，分子可以看成是看成是质点（来自于实验）质点（来自于实验）。 分子朝各个方向运动的几率相等，分子

13、朝各个方向运动的几率相等，即（宏观上）朝各个方向运动的分即（宏观上）朝各个方向运动的分子数是一样多的。子数是一样多的。222213xyzvvvv平衡态时，分子出现在各处的几率相等，即平衡态时，分子出现在各处的几率相等，即分子数密度处处相等。分子数密度处处相等。2.2.理想气体的统计性理想气体的统计性假设假设（各向同性）（各向同性）推论：分子沿各个方向的速度分量的各种统计平均值相等。推论：分子沿各个方向的速度分量的各种统计平均值相等。222222111,xzNNNixiyiziiiyvvvvvvNNN显然有：显然有：2222222333xyzxyzvvvvvvv 根据统计假设，可以推导出分子沿各

14、个方向速度分量的各种根据统计假设，可以推导出分子沿各个方向速度分量的各种平均值的关系，以速度的平均值的关系，以速度的方均值方均值为例子为例子: : 三、理想气体的压强公式1.1.压强的微观解释压强的微观解释 大量气体分子单位时间内给予器壁单位面积上的平均冲力。大量气体分子单位时间内给予器壁单位面积上的平均冲力。2.2.推导过程推导过程单次碰撞给予单次碰撞给予S 的的冲量冲量为：为：ixmv2与与S 发生连续两次发生连续两次碰撞时间碰撞时间为：为：12ixlv分子与分子与S 发生碰撞的发生碰撞的频率频率为：为：12ixvlxyz, ,N V TvmS1l2l3lo( (单位时间内发生的碰撞次数单

15、位时间内发生的碰撞次数) ) 单位时间内单位时间内该分子该分子给予给予S 的冲量：的冲量：单位时间内单位时间内所有分子所有分子给予给予S 的总冲量：的总冲量：单位时间单位时间 内气体对于内气体对于S 的平均冲力的平均冲力xyz, ,N V TvmS1l2l3lo12122lvmlvmvixixix21121112xNiixNiixvNlmvlmlvm2131vNlmtpF动量定理动量定理2131vNlmF 1ts 压强压强平均平动动能平均平动动能最后得：最后得：223213131vmVNvmll lNSFp231vnmp 微观解释微观解释：分子运动越剧烈，越稠密，越重的气体压强越大。：分子运动

16、越剧烈，越稠密，越重的气体压强越大。这只是一个统计规律，这只是一个统计规律，只对大量分子才成立。只对大量分子才成立。tEnp32221122tEmvmv 四、理想气体的温度公式nkTp 23kpnE上式表明上式表明: : 温度是热运动的剧烈程度的反映，为什么？温度是热运动的剧烈程度的反映，为什么？ 平均平动动能为平均平动动能为 ，不是说每一个分子的动能。不是说每一个分子的动能。1.1. 只具有统计意义。即只要当组成系统的分子数目很大时只具有统计意义。即只要当组成系统的分子数目很大时, ,温度才温度才具有意义。几个分子构成的系统，温度是没有意义的。具有意义。几个分子构成的系统，温度是没有意义的。

17、或：或：kT23思考:H2H2和和N2N2温度都是温度都是300K300K，谁的分子速度快？，谁的分子速度快？kTEt23kETt32 例例1 1、A B CA B C三个容器装有同一种理想气体，且已知三个容器装有同一种理想气体，且已知 求它们的压强之比值。求它们的压强之比值。1:2:4:CBAnnn4:2:1:CBAEEEtEnp32解解1:1:1:CBAppp例例2 2、温度为温度为300K300K的气体分子的平均平动动能为多少电子伏特，的气体分子的平均平动动能为多少电子伏特，反过来当分子平均平动动能为反过来当分子平均平动动能为1 1电子伏特时，折算气体温度有多电子伏特时，折算气体温度有多

18、高？高？eVkTEt21088. 323KkETt31074. 732解解 1 质点自由度质点自由度(1)一个质点在空间自由运动，需要用三个独立坐标确定其位置，所以自由质点有三个平动自由度 i=t=3.(2)如果对质点的运动加以限制(约束)，自由度将减小： 若质点限制在平面或曲面上运动i=t=2. 若质点限制在直线或平面曲线上运动i=t=1(空间曲线i=2).一、自由度一、自由度 i=t+ri=t+r确定一个物体位置所需的确定一个物体位置所需的独立坐标数独立坐标数，称为，称为物体的自由度物体的自由度。 实际气体分子具有平动、转动、振动。作为一种近似，将分实际气体分子具有平动、转动、振动。作为一

19、种近似，将分子看成是由原子质点刚性连接的，忽略振动自由度。因而仅考虑子看成是由原子质点刚性连接的，忽略振动自由度。因而仅考虑平动和转动（振动对能量影响很小）。平动和转动（振动对能量影响很小）。 2 刚体自由度 一个刚体在空间任意运动时，可分解为质心的平动和绕过质心轴的转动。它既有平动自由度还有转动自由度。（1）质心 t=3 （2）质心轴三个方位角，但有一个约束; 但刚体绕质心轴转过一个角度，因而 r=3。 i=t+r=6 飞机在天空中飞行，自由度为飞机在天空中飞行，自由度为3 3； 轮船在大海上航行，自由度为轮船在大海上航行，自由度为2 2； （均看成质点）（均看成质点） 火车在铁道上运行，自

20、由度为火车在铁道上运行，自由度为1 1； 3 分子自由度(1)单原子分子：氦He、氖Ne、氩Ar i=t=3(2)刚性双原子分子 O2、H2、CO 质心 t=3 质心轴 r=2 i=t+r=5(3)刚性三原子分子或多原子分子 H2O、NH3。 只要各原子不是直线排列就可看成刚体，共有六个自由度。i=6 另一方面，根据平均平动动能的定义另一方面，根据平均平动动能的定义和前式比较，可得：和前式比较，可得： 即：当理想气体处于即：当理想气体处于平衡态平衡态时，分子的时，分子的每个平动自由度平均每个平动自由度平均分得分得kT/2kT/2的能量的能量。统计规律统计规律2222222212121)(212

21、1zyxzyxtvmvmvmvvvmmvEkTvmvmvmzyx21212121222由温度公式可知分子的平均平动动能为由温度公式可知分子的平均平动动能为kTEt231.1.推导及说明推导及说明二、能量均分定理 如果气体是双原子或多原子分子时，分子的热运动将使分子的如果气体是双原子或多原子分子时，分子的热运动将使分子的平动动能和转动动能不断地相互转化。比如：平动动能和转动动能不断地相互转化。比如：V平动能量转化为转动能量平动能量转化为转动能量V转动能量转化为平动能量转动能量转化为平动能量2.2.能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 当理想气体处于平衡态时，分子的每个平动自由度和每个转动当理

22、想气体处于平衡态时，分子的每个平动自由度和每个转动自由度平均分得的能量自由度平均分得的能量kT/2kT/2。 3.3.理想气体平衡态分子的几个平均能量理想气体平衡态分子的几个平均能量 根据能量按自由度均分定理，我们可以得到如下分子平均能量根据能量按自由度均分定理，我们可以得到如下分子平均能量的计算公式：的计算公式：分子平均平动动能：分子平均平动动能：分子平均转动动能：分子平均转动动能：分子平均动能：分子平均动能：注意：注意： 这里没有考虑振动自由度。这里没有考虑振动自由度。kTkTtEt232kTrEr2kTrkTrtkTiEk2322当气体处于平衡态时，其中的平动动能与转动动能谁更多？当气体

23、处于平衡态时，其中的平动动能与转动动能谁更多？思考: 三、理想气体的内能1.1.内能的定义内能的定义pkEEE 虽然热运动的内能在微观上看是一种机械能，但是和单个物虽然热运动的内能在微观上看是一种机械能，但是和单个物体机械能不同，内能是不可能为零的。体机械能不同，内能是不可能为零的。 实验发现的任何物体的热运动是实验发现的任何物体的热运动是不可能停止不可能停止的。热力学温度的。热力学温度也不能达到（绝对）零度，只能接近零度。也不能达到（绝对）零度，只能接近零度。 系统中全部分子与热运动有关的各种动能和势能总和，称为系统中全部分子与热运动有关的各种动能和势能总和，称为系统的系统的内能内能。我们常

24、常用。我们常常用E E表示内能。表示内能。 2.2.理想气体平衡态的内能理想气体平衡态的内能 由于由于理想气体平衡态分子理想气体平衡态分子之间只有在碰撞时才有相互作用，因之间只有在碰撞时才有相互作用，因此没有分子之间的势能存在此没有分子之间的势能存在( (只有动能只有动能) )；又由于在平衡态下，能量；又由于在平衡态下，能量按自由度均分，所以理想气体内能为：按自由度均分，所以理想气体内能为：ANRk NkTiENEEkk2RTNNiTNRNiEAA22RTiE2pViE2注意：相同温度下的注意：相同温度下的1 1摩尔摩尔H2H2和和1 1摩尔摩尔O2O2，它们的内能是相等的。，它们的内能是相等

25、的。)(22pViTRiE 例例1 1、比较下面三种温度相同气体的平均平动动能、平均转动动能、平均比较下面三种温度相同气体的平均平动动能、平均转动动能、平均动能以及内能。动能以及内能。He2H2H O答案：答案：平均平动动能：都相等！因为平动自由度都是平均平动动能：都相等！因为平动自由度都是3 3。平均转动动能：水蒸汽最大，因为它的转动自由度最大。平均转动动能：水蒸汽最大，因为它的转动自由度最大。平均动能：水蒸汽最大，因为它的自由度最大（平均动能：水蒸汽最大，因为它的自由度最大（6 6）。）。内能：不能确定！因为三种气体的摩尔数还不知到，只知道自由内能：不能确定！因为三种气体的摩尔数还不知到，

26、只知道自由度是不能确定内能的。度是不能确定内能的。 例例2 2、1 1摩尔温度为摩尔温度为T T1 1氢气与氢气与2 2摩尔温度为摩尔温度为T T2 2氦气混合后的温度为多少？氦气混合后的温度为多少？解：解：混合前后内能相等就可以求解此题。混合前后内能相等就可以求解此题。氢气的自由度为氢气的自由度为5 5，氦气的自由度为，氦气的自由度为3 3，则混合前的总内能为：，则混合前的总内能为：2122325RTRTE前设混合后温度为设混合后温度为T T，则混合后的总内能为：，则混合后的总内能为：RTRTE22325后混合前后内能相等，则有：混合前后内能相等，则有：116521TTT NdvdNvf)(

27、 速率密度分布函数速率密度分布函数f(v)f(v)的物理意义是的物理意义是: :速率速率v v附近单位速率区间内的附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比分子数占总分子数的百分比。（一个分子的速率出现在。（一个分子的速率出现在v v处单位速率区处单位速率区间内的概率。）间内的概率。）二、速率密度分布函数1.1.速率分布函数定义速率分布函数定义其中：其中： dv dv 为为v v附近一个区间的宽度；附近一个区间的宽度； dN dN 为为v,v+dvv,v+dv区间内的分子数目；区间内的分子数目； N N 为气体分子总数。为气体分子总数。 f v200vdvv)/(smv500 根据定义根据定

28、义 可以得出以下结论可以得出以下结论1) v1) v到到v+dvv+dv内的分子数。内的分子数。2211( )vvvvNdNf v dvNN4) v4) v1 1到到v v2 2速率区间内的分子数占总速率区间内的分子数占总分子数的比例。分子数的比例。2211( )vvvvNdNNf v dv3) v3) v1 1到到v v2 2速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。1)(00NdNdvvf5) 5) 速率分布函数满足速率分布函数满足归一化条件归一化条件，即函数曲线下面积恒等于即函数曲线下面积恒等于1 1。2.2.讨论讨论NdvdNvf)(dvvNfdN)(dvvfNdN)(vdvv)/(sm

29、v)(vf1v2v2) v2) v到到v+dvv+dv内的分子数占总分子内的分子数占总分子数的比例。数的比例。 1) 1) 离散的情况离散的情况实际上是一个分子实际上是一个分子速度为速度为v vi i的概率的概率 测量测量N N个气体分子的速率，测量结果为速率为个气体分子的速率，测量结果为速率为v1v1的分子数目的分子数目N1N1个，速率为个，速率为v2v2的分子数目的分子数目N2N2个，个，速率为速率为vkvk的分子数目为的分子数目为NkNk个。个。 3.3.利用分布函数求平均值利用分布函数求平均值Nvvvvvvvkk).(.).().(2211平均速率平均速率 NvNvNvNkk.2211

30、kkvNNvNNvNN.2211NNWiikkvWvWvW.2211kiiivWv1求速率求速率v v平均值的公式平均值的公式求求v v2 2 ,v,v3 3 平均值怎么算？平均值怎么算？ 2) 2) 连续的情况连续的情况实际上是一个分子速率为实际上是一个分子速率为v,v+dvv,v+dv的概率的概率 测量气体分子总数测量气体分子总数N N很大时，必须使用积分的思路进行计算。很大时，必须使用积分的思路进行计算。000)()(dvvvfNdvvvNfNdNvv平均速率平均速率 dwdvvf)(0)(dvvvfv求速率求速率v v平均值的公式平均值的公式求求v v2 2 ,v,v3 3 平均值怎么

31、算？平均值怎么算？ 一个分子的平均平动动能怎么算？一个分子的平均平动动能怎么算？v,v+dvv,v+dv区间内的分子数目区间内的分子数目 其速率近似为其速率近似为v这部分分子速率加起来这部分分子速率加起来dvvNfdN)(dvvvNfdNv)(022)(dvvfvv033)(dvvfvv022)(2121dvvfvmmv 0)(dvvvfv1 1）平均速率）平均速率2 2）方均速率）方均速率方均根速率方均根速率为了描述气体分子的速率特征，使用以下三个速率为了描述气体分子的速率特征，使用以下三个速率022)(dvvfvv022)(dvvfvv3 3）最概然速率）最概然速率pv)/(smv)(vf

32、pv 例例1 1、已知已知N N个粒子组成的系统，平衡态下速率分布函数曲线如图所示，个粒子组成的系统，平衡态下速率分布函数曲线如图所示，求：求：1)1)速率分布函数；速率分布函数；2)2)速率在速率在0,v0,v0 0/2/2范围内的粒子数；范围内的粒子数；3)3)粒子的平均速率、方均根速率粒子的平均速率、方均根速率 和最概然速率；和最概然速率；4)4)速度在速度在0,v0,v0 0/2/2范围内粒子的平均速率。范围内粒子的平均速率。解：解：)(vf0vv)(0)0()(00vvvvkvvf1) 1) 速率分布函数速率分布函数根据归一化条件可定出根据归一化条件可定出k200021)(21vkk

33、vv)(0)0(2)(0020vvvvvvvf 2)2)速率在速率在0,v0,v0 0/2/2范围内的粒子数范围内的粒子数3)3)粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率；粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率；4)4)速度在速度在0,v0,v0 0/2/2范围内粒子的平均速率。范围内粒子的平均速率。0120( )4vNNNf v dv)(vf0vv2/0v002020322)(0vdvvvdvvvfvv00203022222)(0vdvvvdvvfvvv0vvp122)(02/02022/000vdvvvdvvvfvvv对吗？对吗？3)()(02/02/000vdvvfdvvvfvvv 例例2

34、 2、已知某气体的分子速率分布函数为：已知某气体的分子速率分布函数为：000sin,( )0avvvvf vvv试求：试求：系数系数a a分子速率平均值分子速率平均值速率平方的平均值？速率平方的平均值？解：解：速率分布函数曲线如图速率分布函数曲线如图根据分子速率分布函数的归根据分子速率分布函数的归一化特性，我们有：一化特性，我们有：vv0 f v 0200( )2vvf v dvavv120)sin(1)(000000avdvdvvvadvvfvv02av220202( )4(1)2vv f v dvv 18591859年年MaxwellMaxwell用用概率论概率论导出了气体分子速率分布律，

35、后由导出了气体分子速率分布律，后由BoltzmannBoltzmann使用经典统计力学理论导出。使用经典统计力学理论导出。 我们可以从理论和实验手段确定处于我们可以从理论和实验手段确定处于平衡态的理想气体分子速率平衡态的理想气体分子速率分分布的规律布的规律MaxwellMaxwell速率分布函数。速率分布函数。三、麦克斯韦速率分布律1.1.麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数其中：其中：m m是气体分子质量，是气体分子质量，T T是是平衡温度。平衡温度。kTmvevkTmvf222/32)2(4)(v f v 我们常常画出我们常常画出麦克斯韦速率麦克斯韦速率分布函数曲线分布函数曲线（1 1

36、）存在唯一极大值；）存在唯一极大值；（2 2）分布函数除了速率外还受分）分布函数除了速率外还受分子质量和气体温度两个参数控制子质量和气体温度两个参数控制 对于平衡态理想气体，由麦克斯韦速率分布函数，可得：对于平衡态理想气体，由麦克斯韦速率分布函数，可得：mkTvp2平均速率平均速率方均根速率方均根速率最概然速率最概然速率mkTv32mkTv8MpVMRTMRTmNTkNvAAp222200pmnknTvp22kTvm232122 2、特征速率、特征速率/MMMnmnVN nN 对于同一种平衡态理想气体，处于对于同一种平衡态理想气体，处于相同温度时相同温度时73. 1:60. 1:41. 1:2

37、vvvpv2v f vmaxfpvv处于处于不同温度不同温度的同一种理想气体的同一种理想气体温度越高，温度越高，v vp p越大；越大；质量越大，质量越大，v vp p越小；越小；处于相同温度的不同种理想气体处于相同温度的不同种理想气体v)(vfv)(vf 例例1 1、氢气氢气H2H2在在300K300K时的分子最概然速率与氦气时的分子最概然速率与氦气HeHe在多少温度下的最概然在多少温度下的最概然速率相同速率相同解：解：利用最概然速率公式利用最概然速率公式mkTvp2HeHeHHmkTmkT2222所以所以KTmmTHHHeHe6003002422例例2 2：求求 27 27 C C 的空气

38、方均根速率。（空气的摩尔质量为的空气方均根速率。（空气的摩尔质量为 29 g/mol 29 g/mol ）smMRTv/8 .507102930031. 833302解：解：利用公式利用公式 例例3 3、如图，两条曲线分别表示氢气如图，两条曲线分别表示氢气H2H2和和氧气氧气O2O2在相同温度下的速率分布函数曲在相同温度下的速率分布函数曲线，求氧气分子的最概然速率和方均根线，求氧气分子的最概然速率和方均根速率？速率？解：解：利用最概然速率公式利用最概然速率公式mkTvp241322)()(2222HHppmmHvOv可以知道黑色曲线是表示氢气，红色曲线表示氧气。可以知道黑色曲线是表示氢气，红色

39、曲线表示氧气。同时注意到这是相同温度下不同气体的比较同时注意到这是相同温度下不同气体的比较v)(vf20020022HpmkTv所以氧气所以氧气5022HpmkTv氧气的方均根速率氧气的方均根速率2:3:2pvv6252v 一、分子的平均碰撞频率 在一个热运动气体分子系统中，分子之间有非常频繁的碰撞。单位时在一个热运动气体分子系统中，分子之间有非常频繁的碰撞。单位时间内一个分子平均与其它分子发生碰撞的次数叫分子的间内一个分子平均与其它分子发生碰撞的次数叫分子的平均碰撞频率平均碰撞频率。 为了计算平均碰撞频率，可以为了计算平均碰撞频率，可以“跟踪跟踪”一个分子，先计算它在一个分子，先计算它在tt

40、时时间内与其它分子碰撞的次数，再求出结果。间内与其它分子碰撞的次数，再求出结果。 为方便计算，可以先假定被为方便计算，可以先假定被碰撞的其它分子都不动，只有被碰撞的其它分子都不动，只有被“跟踪跟踪”的那个气体分子以速率的那个气体分子以速率 u 相对其它分子运动。并设气体相对其它分子运动。并设气体分子都是一些分子都是一些有效直径有效直径d d完全相完全相同的小球。同的小球。 在在t 时间内，时间内，tul能够与它发生碰撞的那些分子的中能够与它发生碰撞的那些分子的中心，分布在长度为心，分布在长度为l l，横截面积为，横截面积为dd2 2（碰撞截面碰撞截面）的圆柱体内）的圆柱体内, ,其中其中的分子

41、数为的分子数为: : tudn2所以分子所以分子平均碰撞频率平均碰撞频率为：为：udnttudnZ22上式中的速度上式中的速度u u是不是平均速率呢？考虑到热运动系统中各个分子运动速是不是平均速率呢？考虑到热运动系统中各个分子运动速度的不同，和实际情况下这些分子是不可能固定不动的事实，麦克斯韦度的不同，和实际情况下这些分子是不可能固定不动的事实，麦克斯韦证明这个速度就是证明这个速度就是: :2u所以最后的分子平均碰撞频率公式为：所以最后的分子平均碰撞频率公式为：vdnZ22 二、平均自由程1.1.平均自由程平均自由程ndZv2211) 1) 数量级估算数量级估算 取平均速率取平均速率10103

42、 3米米/ /秒秒 平均碰撞频率平均碰撞频率Z: 10Z: 109 9次次/ /秒秒 平均自由程平均自由程: 10: 10-6 -6 米米 分子在连续两次碰撞之间自由飞行的路程，称为分子在连续两次碰撞之间自由飞行的路程，称为自由程自由程。分子在。分子在多次碰撞后其多次碰撞后其自由程的平均值自由程的平均值叫叫平均自由程平均自由程。 平均自由程可认为等于一个分子在平均碰撞时间间隔以内以平均平均自由程可认为等于一个分子在平均碰撞时间间隔以内以平均速率运动的路程，即速率运动的路程，即: :2 2. .讨论讨论 思考:2) 2) 影响平均自由程的因素影响平均自由程的因素 平均自由程平均自由程正比于正比于

43、T/pT/p，如果对室温下的气体，想增大，如果对室温下的气体，想增大平均自由程怎么办？平均自由程怎么办？3) 3) 真空近似定义真空近似定义 系统内分子自由程系统内分子自由程 系统线度系统线度( (尺寸尺寸) )NdVpdkTnd2222221 例例1 1、已知压强已知压强 ，温度，温度 状态下的氢分子的有状态下的氢分子的有效直径效直径 。试求：平均自由程和平均碰撞频率。试求：平均自由程和平均碰撞频率。21.01310pPa0 Cot 102.0 10dm解：解：由平均自由程公式，可得由平均自由程公式，可得23221021.38102732.121.413.142.0101.01310kTmd

44、 p由理想气体的平均速率公式，可得由理想气体的平均速率公式，可得338.312731.601.601.710/2.010molRTvmsM则平均碰撞频率为则平均碰撞频率为3211.7108.0102.1vZs 例例2 2、氮气氮气N2N2在标准状态下平均碰撞频率在标准状态下平均碰撞频率Z=5.42Z=5.42* *10108 8，平均自由程，平均自由程6 6* *1010-8-8m m。若温度不变，气体压强下降为。若温度不变，气体压强下降为0.1atm0.1atm，则分子的平均碰撞频，则分子的平均碰撞频率和平均自由程变为多少？率和平均自由程变为多少？解：解：由平均自由程公式由平均自由程公式pd

45、kTnd22221温度不变，平均速率不变。温度不变，平均速率不变。nkTp 所以数密度下降所以数密度下降1/10vdnZ22平均碰撞频率公式平均碰撞频率公式温度不变，压强下降为温度不变，压强下降为1/10m710671042. 5Z则平均自由程变则平均自由程变成原来的成原来的1010倍倍则平均碰撞频率则平均碰撞频率变成原来的变成原来的1/101/10 例例3 3、一定质量的理想气体，先经过等体变化使得热力学温度升高一一定质量的理想气体，先经过等体变化使得热力学温度升高一倍，再经过等温变化使其体积膨胀为原来两倍。则分子平均自由程如倍，再经过等温变化使其体积膨胀为原来两倍。则分子平均自由程如何变化

46、？何变化？解：解：由平均自由程公式由平均自由程公式NdVnd22221气体体积变为气体体积变为2倍，所以分子平均自由程变为原来倍，所以分子平均自由程变为原来2倍倍TVpTVp22TVp22等体过程等体过程等温过程等温过程平均自由程平均自由程正比于正比于T/PT/P 例例1 1：下列各式中哪一种式表示气体分子的平均平动动能？（式中下列各式中哪一种式表示气体分子的平均平动动能？（式中 M M 为为气体的质量气体的质量,m ,m 为气体分子的质量为气体分子的质量, N , N 为气体分子总数目为气体分子总数目, n , n 为气体分子为气体分子密度密度, N, No o 为阿伏加德罗常数为阿伏加德罗

47、常数, M, Mmolmol为摩尔质量。）为摩尔质量。） A （A）（C）（B）（D）3;2mPVM3;2molMPVM3.2moloMN PVM3;2nPV0333222molkMmEkTPVPVMNM附加例题 例例2 2：一瓶氦气一瓶氦气 He He 和一瓶氮气和一瓶氮气 N N2 2 密度相同密度相同, ,分子平均平动动能相同分子平均平动动能相同, ,而而且都处于平衡状态且都处于平衡状态, ,则它们：则它们： C （A A）温度相同、压强相同。）温度相同、压强相同。（B B）温度、压强都不同。）温度、压强都不同。（C C）温度相同）温度相同, ,但氦气的压强大于氮气的压强。但氦气的压强大

48、于氮气的压强。（D D）温度相同）温度相同, ,但氦气的压强小于氮气的压强。但氦气的压强小于氮气的压强。22NNHHnmnmee122eeHNNHmmnn附加例题 例例3 3：一定量的理想气体贮于某一容器中一定量的理想气体贮于某一容器中, ,温度为温度为 T ,T ,气体分子质量为气体分子质量为 m m。根据理想气体分子的分子模型和统计假设根据理想气体分子的分子模型和统计假设, ,分子速度在分子速度在 x x 方向的分量平方方向的分量平方的平均值为的平均值为mkTvx32mkTvx3312mkTvx/32mkTvx/2(A)(B)(C)(D) D 2213xmolkTRTvvmM附加例题 例例

49、4 4：已知氢气与氧气的温度相同，请判断下列说法哪个正确？已知氢气与氧气的温度相同，请判断下列说法哪个正确？（A A）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气的压强一定大于氢）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气的压强一定大于氢气的压强。气的压强。（B B）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气密度一定大于氢气）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气密度一定大于氢气的密度。的密度。（C C）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧分子的速率大。分子的速率大。（D D）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的方均根速率一）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的方均根速率一定比氧分子的方均根速率大。定比氧分子的方均根速率大。 D mkTv32附加例题 例例5 5：已知某种理想气体已知某种理想气体, ,其分子方均根速率为其分子方均根速率为 400m/s,400m/s,当其压强为当其压强为 1atm 1atm 时时, ,求气体的密度。求气体的密度。221133pnmvv2231.90/pkg mv解：解：附加例题