D522高阶偏导数方向导数与梯度.ppt

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1、一、高阶偏导数一、高阶偏导数设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数),(, ),(yxfyzyxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx )(xzy 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导22xz);,(yxfxxxyz2),(yxfyxx数:2/30);,(),(212yxfyxfyxzxy),(),()(2222yxfyxfyzyzyyy类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为3322)(xzxzxz = f (x , y) 关于 x 的 n 1

2、 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶) (y偏导数为11nnxz3/301nnxyzyxe22例例1. 求函数yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此处,22xyzyxz但这一结论并不总成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24的二阶偏导数及 4/300,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1)

3、,(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx5/30例例2. 证明函数222,1zyxrru满足拉普拉斯0222222zuyuxu证：证：xu22xu利用对称性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r06/30（偏微分方程）,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则定理定理.例如例如, 对三元函数 u =

4、f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序. (与求导次序无关. ),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续连续时, 有而初等(证明在P29-30) 7/30l),(zyxP二、方向导数二、方向导数定义定义: 若函数),(zyxff0lim则称lflf,)()()(222zyx,cosx,cosycosz为函数在点 P

5、 处沿方向 l 的方向导数方向导数.),(),(lim0zyxfzzyyxxf在点 ),(zyxP处沿方向 l (方向角为, ) 存在下列极限: P记作记作 8/30,),(),(处可微在点若函数zyxPzyxf),(zyxPl定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在 ,flf0limcoscoscoszfyfxflf.,的方向角为其中l证明证明: 由函数),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在点 P 可微 , 得P故coscoscoszfyfxf9/30对于二元函数, ),(yxf为, ) 的方向导数为方处沿方向在点(),(l

6、yxP),(),(lim0yxfyyxxflfcos),(cos),(yxfyxfyx,)()(22yx)cos.,cosyxPlxyoxflf特别特别: : 当 l 与 x 轴同向有时,2,0 当 l 与 x 轴反向有时,2,xflfl向角10/30例例3. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2, 1,2(l3) 的方向导数 .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx解解: 向量 l 的方向余弦为11/30例例4. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线223yyxz12 xy朝 x 增大方向的方向导数.解解:

7、将已知曲线用参数方程表示为2)2, 1 (xxPlz它在点 P 的切向量为,171cos1760 xoy2P1 2xyxx1716xy174)23(2yx)3,2()4, 1 (174cos112/30例例5. 设是曲面n在点 P(1, 1, 1 )处指向外侧的法向量,解解: 方向余弦为,142cos,143cos141cos而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方向导数.Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在点P 处沿求函数nn13/30三、梯度三、梯度 方向导数公式coscoscoszfy

8、fxflf令向量这说明方向：f 的值增长最快的那个方向;模 : f 的最大方向导数的值.方向导数取最大值：)cos,cos,(cos0l14/30zfyfxfg,),cos(00lgglglf方向一致时，与0lg10lgglf)max(1. 定义定义, fadrg即fadrg同样可定义二元函数),(yxf),(yxPyfxfjyfixff,grad称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度kzfjyfixf记作(gradient),在点处的梯度 G说明说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2. 梯度的几何意义梯度的几何意义15/30zfyfxfPf,)(面上的投在曲线xoyCzyxf

9、z),(CyxfL),(:*影称为函数 f 的等值线等值线(P5) . ,不同时为零设yxff则L*上点P 处的法向量为 Pyxff),(Pfgradoyx1cf 2cf 3cf )(321ccc设P同样, 对应函数, ),(zyxfu 有等值面(等量面),),(Czyxf当各偏导数不同时为零时, 其上 点P处的法向量为.gradPf, ),(yxfz 对函数16/30（等值线实质就是曲面 z=f(x,y）与平面z=C 的交线在xoy坐标平面上的投影.）3. 梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式0grad(1)CuCuCgrad)(grad(2)vuvugradgrad)(grad(3)uvv

10、uvugradgrad)(grad(4)uufufgrad)()(grad(6)17/30函数在一点的梯度垂直于等值面(或等值线) 在该点的切线(或梯度与等值线在相应点的法线平行),指向函数增大的方向.grad1)(grad(5)2vuvgraduvvu例例6.,)(可导设rf),(222zyxPzyxr为点其中证证:xrf)()(rf yrf)()( gradrf)(1)(kzjyixrrfrrrf1)( rzrfzrf)()(0)(rrfjyrf)(kzrf)(xrrf)(222zyxxPxozy,)(ryrf ixrf)(试证rxrf)( .)()(radg0rrfrf处矢径 r 的模

11、,r18/30例例7. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点),(4222zyxrrqu),(zyxP试证证证: 利用例4的结果 这说明场强:处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.Eugrad)4(02rrqE 场强04gradrrqu024rrqE0)()(gradrrfrf19/30内容小结内容小结 混合偏导数连续与求导顺序无关 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)1. 高阶偏导数20/302. 方向导数方向导数 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l (方向角),为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数

12、),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l (方向角为yfxfcossin21/303. 梯度梯度 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP处的梯度为zfyfxff,grad 二元函数 ),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(, ),(gradyxfyxffyx22/305. 方向导数的几何意义方向导数的几何意义(P26)4. 几个概念之间的关系几个概念之间的关系方向导数存在偏导数存在 可微0gradlflf梯度在方向 l 上的投影.23/30思考与练习思考与练习1. 设函数zyxzyxf2),(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线

13、12 32tztytx在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度梯度与(1)中切线方向切线方向 的夹角 .24/30,),(2zyxzyxf曲线 12 32tztytx1. (1)在点)3,4, 1 (1dd,dd,ddttztytx)1 , 1 , 1(coscoscoszyxMffflf266解答提示解答提示:函数沿 l 的方向导数lM (1,1,1) 处切线的方向向量25/30)0,1,2(grad)2(MfMMflfgrad13061306arccosMfgradl cosMfgradl26/30备用题备用题 1. 函数)ln(222zyxu在点)2

14、,2, 1 (M处的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令则xu21rx2注意 x , y , z 具有轮换对称性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(92考研考研)27/30指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点Axd d2. 函数)ln(22zyxu提示提示:31,32,32则cos,cos,cosAxu) 1ln( x1x,21yd dAyu) 11ln(2y0y,0(96考研考研), ) 1 ,2,2(AB0ABl 2121Azuc

15、oscoscoszuyuxulu2128/30证证: :令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),()(00yxfyyxfx则),(yxFxxx)(10 xyxxfyyxxfxx ),(),(010010yxyyxxfyx),(2010),(),(0000yxfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)10(1)1,0(21,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则)()(00 xxx定理定理.令29/30补充内容补充内容),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),(0000yxfyyxf同样

16、)()(00yyyyxyyxxfxy),(4030) 1,0(43),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfxyyx, 0 x故令),(4030yyxxfxy),(2010yyxxfyx在点)(00yx ，连续,得0y30/30数学实验安排第12周（5月13号）主B-304上数学实验理论课第13周上机实验，地点:理科楼226 1.核工程01,建环01,土木01 时间: （5月18号）星期三3-4节10:00-12:00; 2.核工程02,03, 地环01 时间:(5月20号)星期五3-4节10:00-12:00;第14周（5月27号）主B-304上数学实验理论课第15周上机实验，地点:理科楼226 1.核工程01,建环01,土木01 时间: （6月1号）星期三3-4节10:00-12:00 2.核工程02,03, 地环01 时间:(6月3号)星期五3-4节10:00-12:00;