高二理科数学寒假作业立体几何中的向量方法.doc

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1、寒假作业（25）立体几何中的向量方法1、在正方形中，若为的中点，则直线垂直于( )A.B.C.D.2、在三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，若，则二面角的大小为( )A.B.C.或D.或3、设直线与平面相交，且的方向向量为，的法向量为，若，则与所成的角为( )A.B.C.D.4、若异面直线的方向向量与的方向向量的夹角为，则与所成的角为( )A.B.C.或D.以上均不对5、在正方体中，是的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为( )A.B.C.D.6、如图所示，已知点为菱形外一点，且平面,点为的中点，则二面角的正切值为( )A.B.C.D.7、已知长方体中,是侧棱的中点,则直线与平面所成角的大小为

2、( )A.B.C.D.以上都不对8、如图，在空间直角坐标系中，四棱锥为长方体，,点分别为的中点,则二面角的余弦值为( )A.B.C.D.9、如图所示，正方体中，分别在上，且则( )A.至多与之一垂直B.C.与相交D.与异面10、已知直线过点,且平行于向量，平面过点直线与点，则平面的法向量不可能是( )A.B.C.D.11、在三棱锥中，已知两两垂直且相等，点分别是线段和上的动点，且满足,则和所成角的余弦的取值范围是_.12、在正四棱柱中，,则直线与平面所成角的正弦值为_.13、正方体的棱长为分别是，的中点，则点到平面的距离为_.14、如图,等边三角形与正方形有一公共边,二面角的余弦值为,分别是,

3、的中点,则所成角的余弦值等于_.15、如图，直三棱柱，底面中，棱分别是的中点.（1）求的长； （2）求的值；（3）求证： 答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则.,. 2答案及解析：答案：C解析：当二面角为锐角时，它就等于；当二面角为钝角时，它应等于. 3答案及解析：答案：C解析：如图所示，直线与平面所成的角. 4答案及解析：答案：A解析：直线与所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为.故选A. 5答案及解析：答案：B解析：如图，以为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则.设

4、平面的法向量为.，令，则.,设直线与平面所成角为，则. 6答案及解析：答案：D解析：如图，连接交于点，连接,四边形为菱形，为的中点，.为的中点，.平面,平面.以为原点，所在直线分别为x轴，y轴，轴建立空间直角坐标系，设,则，.结合图形可知，,且为平面的一个法向量.由，,可求得平面的一个法向量.，. 7答案及解析：答案：B解析：如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，轴，建立空间直角坐标系.由题意知，,所以.设平面的一个法向量为，则由得令，得，所以，.所以.所以直线与平面所成的角为. 8答案及解析：答案：C解析：设，则,因为分别为,的中点，所以，所以,设是平面的法向量，则所以所以取，则

5、，所以平面的一个法向量为.又平面，所以是平面的一个法向量，所以，又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为，故选C 9答案及解析：答案：B解析：如图，以为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为3，则，,故选B. 10答案及解析：答案：D解析：因为,直线平行于向量，若是平面的法向量，则必须满足把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D 11答案及解析：答案：解析：根据题意，以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设,则，.，,所以.因为，所以当时，取得最大值；当时，取得最小值，所以和所成角的余弦的取值范围是. 12答案及解析：答案：解析：以为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，轴建立空间直角坐标系，如图，连接,设,则.设平面的一个法向量为，则,所以有令，得.设与平面所成的角为，则. 13答案及解析：答案：解析：如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为x轴，y轴，轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则,即令，得.又，所求距离. 14答案及解析：答案：解析：设,过点作平面,则,为二面角的平面角,结合等边与正方形可知此四棱锥为正四棱锥,则,故所成角的余弦值为. 15答案及解析：答案：（1）以射线、分别为坐标系轴，则，|=（2）= （3），=（，0）， 解析：