高考理科数学解答题专题训练（四）概率与统计.docx

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1、大题专项练(四)概率与统计A组基础通关1.袋子里有除颜色外完全相同的3只红球和4只黑球,今从袋子里随机取球.(1)若有放回地取3次,每次取一个球,求取出2个红球1个黑球的概率;(2)若无放回地取3次,每次取一个球,若取出每只红球得2分,取出每只黑球得1分,求得分的分布列和数学期望.解(1)从袋子里有放回地取3次球,相当于做了3次独立重复试验,每次试验取出红球的概率为37,取出黑球的概率为47,设事件A=“取出2个红球1个黑球”,则P(A)=C3237247=394947=108343.(2)的取值可以是3,4,5,6.P(=3)=C30C43C73=435,P(=4)=C31C42C73=18

2、35,P(=5)=C32C41C73=1235,P(=6)=C33C40C73=135.3456P43518351235135从而得分的数学期望E=3435+41835+51235+6135=307.2.为了适应高考改革,某中学推行“创新课堂”教学.高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课,高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课,为了比较教学效果,期中考试后,分别从两个班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析,结果如表:(记成绩不低于120分者为“成绩优秀”)分数80,90)90,100)100,110)110,120)120,130)130,140)140,150甲班频数114543

3、2乙班频数0112664(1)由以上统计数据填写下面的22列联表,并判断是否有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”?甲班乙班总计成绩优秀成绩不优秀总计(2)现从上述样本“成绩不优秀”的学生中,抽取3人进行考核,记“成绩不优秀”的乙班人数为X,求X的分布列和期望.参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.临界值表P(K2k0)0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.828解(1)补充的22列联表如下表:甲班乙班总计成绩优秀91625成绩不优秀11415总计202040根据22列联表中的数据,得

4、K2的观测值为k=40(94-1611)2251520205.2273.841,所以有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.(2)X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C113C153=165455=3391,P(X=1)=C112C41C153=220455=4491,P(X=2)=C111C42C153=66455,P(X=3)=C43C153=4455,所以X的分布列为X0123P33914491664554455E(X)=03391+14491+266455+34455=45.3.自来水公司对某镇居民用水情况进行调查,从该镇居民中随机抽取50户作为样本,得到他们10月份

5、的用水量(单位:吨),用水量分组区间为5,15,(15,25,(25,35,(35,45,由此得到样本的用水量频率分布直方图如图.(1)求a的值,并根据样本数据,试估计该镇居民10月份用水量的众数与平均值;(2)以样本的频率作为概率,从该镇居民中随机抽取3户,其中10月份用水量在5,15内的用户数为X,求X的分布列和数学期望.解(1)由题意得,(0.02+0.032+a+0.018)10=1,解得a=0.03.由最高矩形中点的横坐标为20,可估计该镇居民10月份用水量的众数为20吨.50户居民10月份用水量的平均值x=0.210+0.3220+0.330+0.1840=24.6(吨),故估计该

6、镇居民10月份用水量的平均值为24.6吨.(2)利用样本估计总体,该镇居民10月份用水量在5,15内的概率为0.2,则XB3,15,X=0,1,2,3.P(X=0)=C30453=64125;P(X=1)=C3145215=48125;P(X=2)=C3245152=12125;P(X=3)=C33153=1125.X的分布列为X0123P6412548125121251125E(X)=064125+148125+212125+31125=35.4.甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司的底薪80元,每单抽成4元;乙公司无底薪,40单以内(含40单)的部分每单抽成6元,超出40单

7、的部分每单抽成7元,假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同,现从两家公司各随机抽取一名送餐员,并分别记录其50天的送餐单数,得到如下频数表:甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数51010205(1)现从甲公司记录的50天中随机抽取3天,求这3天送餐单数都不小于40的概率;(2)若将频率视为概率,回答下列两个问题:记乙公司送餐员日工资为X(单位:元),求X的分布列和数学期望;小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为小王作出选择,并说明理由.解(1)

8、记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M,则P(M)=C253C503=23196.(2)设乙公司送餐员送餐单数为a,则当a=38时,X=386=228,当a=39时,X=396=234,当a=40时,X=406=240,当a=41时,X=406+17=247,当a=42时,X=406+27=254.所以X的所有可能取值为228,234,240,247,254.故X的分布列为:X228234240247254P110151525110所以E(X)=228110+23415+24015+24725+254110=241.8.依题意,甲公司送餐员日平均送餐单数为380.2+390.3+400.2+

9、410.2+420.1=39.7,所以甲公司送餐员日平均工资为80+439.7=238.8元.由得乙公司送餐员日平均工资为241.8元.因为238.80,q0(1)已知甲、乙两人分别选择了产品A和产品B投资,如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于35,求实数p的取值范围;(2)若丙要将家中闲置的10万元人民币进行投资,以一年后投资收益的期望值为决策依据,则选用哪种产品投资较理想?解(1)记事件A为“甲选择产品A且盈利”,事件B为“乙选择产品B且盈利”,事件C为“一年后甲,乙两人中至少有一人投资获利”,则P(A)=23,P(B)=1-p.所以P(C)=1-P(AB)=1-23(1-p)=13+

10、2p335,解得p25.又因为p+13+q=1,q0,所以p23.所以25p23.(2)假设丙选择产品A进行投资,且记X为获利金额(单位:万元),则随机变量X的分布列为X40-2P131216则E(X)=413+012+(-2)16=1.假设丙选择产品B进行投资,且记Y为获利金额(单位:万元),则随机变量Y的分布列为Y20-1Pp13q则E(Y)=2p+013+(-1)q=2p-q=2p-23-p=3p-230p23.讨论:当p=59时,E(X)=E(Y),选择产品A和产品B一年后投资收益的数学期望相同,可以在产品A和产品B中任选一个;当0pE(Y),选择产品A一年后投资收益的数学期望较大,应选产品A;当59p23时,E(X)E(Y2),该医院选择延保方案二较合算.