分式、因式分解整式乘除综合知识点及练习.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date分式、因式分解整式乘除综合知识点及练习分式、因式分解整式乘除综合知识点及练习整式的乘除法。因式分解和分式复习基本概念一整式的除乘法1.同底数幂的乘法：，（m,n都是正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。2.幂的乘方：，（m,n都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。3.积的乘方：，（n为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘

2、。 4.整式的乘法： （1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 可用下式表示：m(a+b+c)=ma+mb+mc(a、b、c都表示单项式)（3）多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加5.乘法公式： （1）平方差公式:平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差”，即用字母表示为：(a+b)(ab)=

3、a2b2；其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差. （2）完全平方公式：完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：(a+b)2=a2+2ab+b2；(ab)2=a22ab+b2；其结构特征是：左边是“两个数的和或差”的平方，右边是三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是2ab，且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中，字母a、 b都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一

4、个单项式、一个多项式或代数式（3）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。 乘法公式的几种常见的恒等变形有：（1）a2+b2(a+b)22ab(ab)2+2ab.（2）ab(a+b)2（a2+b2） (a+b)2(ab)2.（3）(a+b)2+(ab)22a2+2b2.（4）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.利用上述的恒等变形，我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题，并且还会收到事半功倍的效果.6.整式的除法：，（，m，n都是正整数，并且），即同底数幂相除，底数不变，指数相减。（1），任何不等于0的数

5、的0次幂都等于1.（2）单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。（3）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。二因式分解7.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。8常用的因式分解方法：（1）提公因式法：把，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。 i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 ii 公

6、因式的构成：系数：各项系数的最大公约数； 字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。（2）公式法： （1）常用公式 平 方 差： 完全平方： （2）常见的两个二项式幂的变号规律：；（为正整数）（3）十字相乘法 二次项系数为1的二次三项式中，如果能把常数项分解成两个因式的积，并且等于一次项系数中，那么它就可以分解成 二次项系数不为1的二次三项式中，如果能把二次项系数分解成两个因数的积，把常数项分解成两个因数的积，并且等于一次项系数，那么它就可以：。（4）分组分解法 定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，

7、把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如： =， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。 有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。三分式：1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。（分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零）2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 （） 3.分式的通分和约分：关键先是分解因式4.分式的运算：分式乘法法则:分式乘分式，

8、用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则: 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则: 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 分式的加减法则:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减 混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1,即； 当n为正整数时， 6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂(m,n是整数)（1）同底数的幂的乘法：；（2）幂的乘方：;（3）积的乘方：；（4）同底数的幂的除法：( a0)；（5）商的乘方：(b0)

9、;7、分式的约分(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分(2)分式约分的依据：分式的基本性质(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式8、分式的通分把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。分数通分的方法及步骤是： 先求出几个异分母分数的分母的最小公倍数，作为它们的公分母，把原来的各分数化成用这个公分母做分母的分数。分式的通分和分数的通分是一样的：通分的关键是确定几个分式的公分母。9、最简公分母：各分式分母中的系数是最小公倍数与所有的字母

10、（或因式）的最高次幂的积，叫做最简公分母。找最简公分母的步骤：（1）取各分式的分母中系数最小公倍数；（2）各分式的分母中所有字母或因式都要取到；（3）相同字母（或因式）的幂取指数最大的；（4）所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。回顾分解因式找公因式的步骤：（1） 找系数：找各项系数的最大公约数；（2） 找字母：找相同字母的最低次幂；1约分的主要步骤：先把分式的分子，分母分解因式，然后约去分子分母中的相同因式的最低次幂，（包括分子分母中系数的最大公约数）。2约分的依据是分式的基本性质：约去分子与分母的公因式相当于被约去的公因式同时除原分式的分

11、子分母，根据分式的基本性质，所得的分式与原分式的值相等。3若分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，则约去分子、分母中相同因式的最低次幂，分子、分母的系数约去它们的最大公约数4若分式的分子、分母中有多项式，则要先分解因式，再约分注意：1.当分式的分子与分母的因式只差一个符号时，要先处理好符号再约分，因式变号规则如下：（其中n为自然数）。 2分式的分子，分母的多项式中有部分项不同时，不得将其中的一部分相同的项约去（约分只能约分子分母中相同的因式）。二、通分 同分的关键是找最简公分母：最简公分母：各分式分母中的系数是最小公倍数与所有的字母（或因式）的最高次幂的积，叫做最简公分母。找最简公分母的步骤

12、：（1）取各分式的分母中系数最小公倍数；（2）各分式的分母中所有字母或因式都要取到；（3）相同字母（或因式）的幂取指数最大的；（4）所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。回顾分解因式找公因式的步骤：(1)、找系数：找各项系数的最大公约数；(2)、找字母：找相同字母的最低次幂； 通分：把分母不同的几个分式化为分母相同的分式叫通分。通分时先确定各分母的最简公分母，再利用分式的基本性质把不同分母的分式化为相同分母分式。注意：1) 通分时如果分母是多项式，一般先将分母分解因式，这样便于找到最简公分母。2) 通分与约分的异同：通分与约分的根据都是分式的

13、基本性质，通分是把分式的分子、分母同时乘上一个不等于零的整式；而约分是把分式的分子分母都除以同一个不等于零的整式，使分式的值不变，两者是一个互逆的运算过程。3） “通分”是异分母加减运算的重要步骤，把它安排在学生学习同分母加减法之后，在异分母加减法之前，使知识更具有系统性，学习通分的目的性更强。跟踪练习一填空题1若，则 .2已知：，求、的值。3已知：，则=_。4的结果为 .5已知：、是三角形的三边，且满足，则该三角形的形状是_.6如果（2a2b1）(2a2b1)=63，那么ab的值为_。7已知：，求的值。8若则9已知，求的值。10已知，则代数式的值是_。11已知：，则_，_。12若三角形的三边

14、长分别为、，满足，则这个三角形是_。13已知、是ABC的三边，且满足关系式，试判断ABC的形状。14.分组分解因式1）分解因式：a21b22ab_。2）分解因式：_。15分式方程=3的解是_；分式方程的解是_二选择题1、下列分式的运算中，其中结果正确的是（ ）A、+ B、 C、=a+b D、 2、下列各式从左到右的变形正确的是（ ）A.B.C. D.3、当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）A B C D4、若有m人a天完成某项工程，则（m+n）个同样工作效率的人完成这项工程需要的天数是（ ） BA、a+m B、 C、 D、5、已知两个分式：，其中，则A与B 的关系是（ ）A.相等B.

15、互为倒数C.互为相反数D.A大于B6一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作20小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（ ） A小时 B小时 C小时 D小时7（数学与生产）我市要筑一水坝，需要规定日期内完成，如果由甲队去做，恰能如期完成，如果由乙队去做，需超过规定日期三天，现由甲、乙两队合做2天后，余下的工程由乙队独自做，恰好在规定日期内完成，求规定的日期x，下面所列方程错误的是（ ）A+=1 B=C（+）2+（x-2）=1 D+=1三、化简：1.（ 2. （-x-2），3. ）， 4. 作业题：1当x_时，分式没有意义 2、当_时，分式的值为03、化简= ，4定义一种对正整数n的“F”运算

16、：当n为奇数时，结果为3n5；当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行例如，取n26，则：26134411第一次F第二次F第三次F若n449，则第449次“F运算”的结果是_5、按下列程序计算，把答案写在表格内：n平方+nn-n答案 (1)填写表格： 输入n 3 2 3输出答案 111 1 (2)请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简6、化简() 化简(x). （6）6先化简，再求值： 请你先化简，再选取一个你喜欢的数代入并求值: .：（-1） ，其中=-2 ，其中.，7已知：m2n2，n2m2(mn)，求：m32mnn3的值。8计算：9、已知。试说明不论x为何值，y的值不变。 10（综合题）物理学中，并联电路中总电阻R和各支路电阻R1、R2满足关系=+，若R1=10，R2=15，求总电阻R-