升初二暑假数学学霸班讲义.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date升初二暑假数学学霸班讲义整式的乘法与因式分解第十四章 整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法知识点总结1 幂的运算性质：amanamn （m、n为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 amn （m、n为正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘 （n为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积 amn （a0，m、n都是正整数，且mn） 同底数幂相除，底数不变，指数相减

2、a01 （a0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于lap （a0，p是正整数）例题1：比较（a-b）2n和(b-a)2n的大小关系。例题2：计算（a-b）2n+1+(b-a)2n+1。例题3：下列各式计算正确的是（ ）A、 B、C、 D、例题4：的值是（ ）A、1 B、1 C、0 D、公式的反向使用：amn =aman amn = anbn=(ab)n例题5：已知10a=5,10b=7,求下列各式的值。（1）102a+3b (2)102a+103b例题6：利用简便方法进行计算。2353 2444（0.125）42、乘(除)法法则单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一

3、个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加 除法：商式=系数同底的幂被除数里单独有的幂。28x4y27x3y -5a5b3c15a4b 基础过关练习1：1、 计算(2a)2(3a2)3 (a5)5 (a2b)3 （ab）5（ab）2 （-a）7（-a）5 (-b) 5(-b)22、若成立，则满足什么条件？基础过关练习2： （2x2y）3（-7xy2）14x4y3 综合练习A：1计算2x 3(2xy)(xy) 3的结果是 2(3

4、10 8)(410 4) 3若n为正整数，且x 2n3，则(3x 3n) 2的值为 4如果(a nbab m) 3a 9b 15，那么mn的值是 5a 2(2a 3a) 6(4x 26x8)(x 2) 72n(13mn 2) 8若k(2k5)2k(1k)32，则k9(3x 2)(2x3y)(2x5y)3y(4x5y) 10在(ax 2bx3)(x 2x8)的结果中不含x 3和x项，则a，b 11一个长方体的长为(a4)cm，宽为(a3)cm，高为(a5)cm，则它的表面积为，体积为。12一个长方形的长是10cm，宽比长少6cm，则它的面积是，若将长方形的长和都扩大了2cm，则面积增大了。13计

5、算：（1）； （2）；（3） （4） （5）14计算：（1）；（2）若 (ax3my12)(3x3y2n)=4x6y8 , 则 a = , m = ,n= ;综合练习B：1、若n为正整数，且x 2n3，则(3x 3n) 2的值为2、如果(a nbab m) 3a 9b 15，那么mn的值是3、已知，则 4、已知则5、若，则等于（ ） （A）5 （B）3 （C）1 （D）16、计算:等于( )(A)2 (B)2 (C) (D)7、计算：8、已知 求的值9、若，则等于（ ） （A）5 （B）3 （C）1 （D）110如果，那么（ ） （A） （B） （C） （D）11、 在(ax 2bx3)(x

6、2x8)的结果中不含x 3和x项，则a，b 12、先化简，再求值：（每小题5分，共10分）（1）x（x-1）+2x（x+1）（3x-1）（2x-5），其中x=2（2），其中=（3），其中13、 已知：，化简的结果是14、甲乙两人共同计算一道整式乘法题(2x+a)(3x+b).由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x-10.由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2-9x+10.你能知道式子a、b的值各是多少？若知道，请计算出这道整式乘法题的正确结果.14.2 乘法公式知识点总结：平方差公式：（ab）（ab）a2b2 两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的

7、平方差完全平方公式：（ab）2a22abb2 （ab）2a22abb2两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍例题：(7+6x)(76x)； (3y x)(x3y)； (m2n)(m2n)19982002 (y-5)2 (-2x+5)2 综合练习:1、；（_）2、已知，那么=_；=_。3、若是一个完全平方式，那么m的值是_。，则=_3、证明x2+4x+6的值是一个非负数4、 当代数式x2+4x+8的值为7时,求代数式3x2+12x-5的值.14、3 因式分解知识点总结：m(a+b+c)=ma+mb+mc(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2a

8、b+b2填空：ma+mb+mc=（ ）(a+b+c) 提公因式法a2-b2=( )(a-b) 公式法因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解注意：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止1、提公因式法公因式：系数一各项系数的最大公约数；字母各项含有的相同字母；指数相同字母的最低次数；例：（1） （2）2、 公式法利用完全平常用的公式：平方差公式： a2b2 （ab）（ab）完全平方公式：a22abb2（ab）2 a22abb2

9、（ab）2完全平方公式和平方差公式分解因式，实质是将乘法公式反过来。例：（1）（2）（3） （4）注意：首选提公因式法，三项考虑完全平方公式，两项考虑平方差公式。综合练习:1、若是完全平方式，则的值等于_。2、则=_=_。3、与的公因式是 。4、若=，则m=_，n=_。5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的有_ ，其结果是 _。6、若是平方差公式，则m=_。7、8、已知则9、若是完全平方式M=_。10、， 11、若是完全平方式，则k=_。12、若的值为0，则的值是_。13、若则=_。14、若则_。15、方程，的解是_。16、分解因式： 。17、（2011广东）分解因式8(x22y2)x(7

10、xy)xy18、(2011 浙江)8因式分解：19、分解因式：20、 分解因式：本章测试一、选择题1、下列各式：xx4，（x）4，x4+x4，（x4），与x8相等的有（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、 4个2、计算的结果为（ ）A、2/3 B、2/3 C、3/2 D、3/23、下列各式：2a（3a2ab），（2a）（b3a），3a（2a4a2b4），a4（4b6a）中相等的两个是（ ）A、与 B、与 C、与 D、与4、下列各式可以用平方差公式计算的是（ ）A、（x+y）（xy） B、（2x3y）（3x+2y）C、（xy）（x+y） D、（1/2a+b）（1/2ab）5、下列计算结果正确的

11、是（ ）A、（x+2）（x4）=x8 B、（3xy1）（3xy+1）=3xy1 C、（3x+y）（3x+y）=9xy D、（x4）（x+4）=16x6、如果a=2000x+2001，b=2000x+2002，c=2000x+2003，那么a+b+cabbcac的值为（ ）A、0 B、1 C、2 D、37、已知x+y2x6y=10，则xy的值为（ ）A、1/9 B、9 C、1 D、998、若xax1可以分解为（x2）（x+b），则a+b的值为（ ）A、1 B、1 C、2 D、29、若a、b、c为一个三角形的三边，则代数式（ac）b的值为（ ）A、一定为正数 B、一定为负数C、可能为正数，也可能为

12、负数 D、可能为零10、下列计算错误的是（ ）A2m+3n=5mn Ba6a=a4 C(x)=x6 Daa=a11、化简(-3x)2x的结果是（ ）A-6x5 B-3x C2x5 D6x512、下列因式分解错误的是（ ）Ax-y=( x+y)( x-y) Bx+6x+9=( x+3) Cx+xy=x( x+y) Dx+y=( x+y) 13、( 2x+1)(-2x+1)的计算结果是（ ）A-4x-1 B1-4x C4x+1 D 4x-114、若( x+m)( x-8)中不含x的一次项，则m的值为（ ）A0 B-8 C8 D8或-815、把x+3x+c分解因式得：x+3x+c=( x+1)( x

13、+2)，则c的值为（ ）A2 B3 C-2 D -3二、填空题16、计算：(-x) x = ；17、计算：(-a3) = ；18、因式分解：x+4x+4= ；19、因式分解：a+ab= ； 20、计算(-2a) a= ；21、9x+6xy+ =(3x+ )；22、若x+y=1005，x-y=2，则代数式x-y的值是 ； 23、若多项式x+mx+9恰好是另一个多项式的平方，则m= ；24、按上图所示的程序计算，若开始输入的x值为30，则最后输出的结果是 ；若开始输入的x值为3，则最后输出的结果是 。25、若a+3b2=0，则3a27b= .26、已知（x+nx+3）（x3x+m）的展开式中不含x

14、和x项，则m= ，n= . 27、若（m+n）6（m+n）+9=0，则m+n= 三、解答题28、分解因式：（1）8（ab）12（ba） （2）（a+2b）a2ab.（3）2（mn）+3 （4）x（x5）+x（x5）（x+5）29、(3a)(4b) (6ab) 30、(x+2)(x-2)+(3x-1)(x-3)31、已知a+b=5，ab=3，求ab+2ab+ab32、先化简，再求值已知x（x1）（xy）=2，求xy的值33、先化简，再求值：(2a+1) - 2(2a+1)+3，其中a=34、先化简，再求值(xy+2)(xy-2)- 2xy+4xy ，其中x=4，y=-。35、如图，边长为a的正方

15、形内有一个边长为b的小正方形（1）请计算图1中阴影部分的面积；（2）小明把阴影部分拼成了一个长方形，如图2，这个长方形的长和宽分别是多少？面积又是多少？36、如图，某市有一块长为(3a+b) 米，宽为(2a+b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像。试用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？若a=3，b=2，请求出绿化面积。37、如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形. 用a、b、x表示纸片剩余部分的面积；当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长x的值。38、已知ABC三边长分别为a、b、c，

16、且a、b、c满足等式3（a+b+c）=（a+b+c），试判断ABC的形状整式的乘法与因式 学霸冲刺满分测试题一、选择题（20分）1、下列多项式中，可以提取公因式的是（ ） A、 B、 C、 D、2、化简的结果是（ ） A、 B、 C、 D、3、下列两个多项式相乘，不能用平方差公式的是（ ） A、 B、 C、 D、4、下列运算正确的是（ ） A、 B、 C、 D、5、下列多项式中，没有公因式的是（ ） A、和(xy) B、和 C、和 D、和6、若是完全平方式，则=（ ） A、12 B、24 C、12 D、247、下列四个多项式是完全平方式的是（ ） A、 B、 C、 D、8、已知a、b是ABC的

17、的两边，且a2b2=2ab，则ABC的形状是（ ） A、等腰三角形 B、等边三角形 C、锐角三角形 D、不确定9、下面是某同学的作业题：3a+2b=5ab 4m3n-5mn3=-m3n 4a3b(-2a2b)=-2a (a3)2=a5 (-a)3(-a)=-a2 ,其中正确的个数是（ ）A、1 B、2 C、3 D、410、的值是（ ） A、1 B、1 C、0 D、二、填空题（30分）11、计算：（-x3y）2= (x2)3x5= 12、分解因式： x2+y2-2xy= 13、计算：(8)2004 (0.125)2003，2200522004. 14、若A3x2，B12x，C5x，则ABAC.1

18、5、xn5，yn3，则(xy)2n ,若2xm，2yn，则8x+y. 16、已知x+y=1，那么的值为_.17、在多项式4x2+1中添加 ，可使它是完全平方式（填一个即可），然后将得到的三项式分解因式是 ；18、若且，则的值为_ ；19计算： (-2a)(a3)=_ ；20、化简 ；三、计算（15分）21、(2m-3)(2m+5) 22、20052-20062004 23、4(x+1)2-(2x+5)(2x-5) 24、 25、四、分解因式（20分）26、（m+1）(m-1)-(1-m) 27、 28、 29、(2a-b)2+8ab 30、 31、 32、 33、 34、五、解答下列问题（9分

19、）35、已知求的值；36、已知;求的值；37、先化简，再求值： 其中六、解答下列问题（6分） 38、计算：_. 39、阅读：分解因式x2+2x-3 解：原式x2+2x+1-1-3 (x2+2x+1)-4 (x+1)2-4 (x+1+2)(x+1-2) (x+3)(x-1)此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法。此题为用配方法分解因式。请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：4a2+4a-1第十五章 分式15.1 分式知识点总结：1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。例1.下列各

20、式，x+y，-3x2，0中，是分式的有（ ）个。注意：判断是否是分式，不需要约分；不是字母。2、 分式有意义的条件：分母不为0； 分式值为零的条件分子为零且分母不为零。 分式大于零的条件：A、B同号。例2.下列分式，当x取何值时有意义。（1）； （2）。例3.下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）。A B C D例4当x_时，分式无意义。当x_时，分式的值为零。例5.已知-=3，求的值。3、分式的基本性质分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。4、 分式的通分和约分通分：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式。约分：把分子分母的最大公因式约去。例6.不改变分式的

21、值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（ ）。例7.不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（ ）。5、最简分式：分子分母中不含有公因式，不能再约分。例8.分式，中是最简分式的有（ ）。例9.约分：（1）； （2）例10.通分：（1），； （2），例11.已知x2+3x+1=0，求x2+的值例12.已知x+=3，求的值15、2 分式的运算知识点总结：1、分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 2、分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 3、分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。4、分式的加减法则：同

22、分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。5、混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。例13.当分式-的值等于零时，则x=_。 例14.已知a+b=3，ab=1，则+的值等于_。例15.计算：-。6、任何一个不等于零的数的零次幂等于1 即；当n为正整数时， （7、正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂(m,n是整数)（1）同底数的幂的乘法：；（2）幂的乘方：;（3）积的乘方：；（4）同底数的幂的除法：( a0)；（5）商的乘方：(b0)8、科学记数法：把一个数表示成的形式（其中，n是整数）的记数方法叫做科学记数法

23、。例16.若,则等于( )。A. B. C. D.例17.若,则等于( )。A. 9 B. 1 C. 7 D. 11例18.计算:(1) (2)例19.人类的遗传物质就是DNA,人类的DNA是很长的链,最短的22号染色体也长达3000000个核苷酸,这个数用科学记数法表示是_。例20.计算。例21自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”，已知52个纳米的长度为0.000000052米,用科学记数法表示这个数为_。例22计算+-得（ ） A- B C-2 D2例23.计算a-b+得（ ） A Ba+b C Da-b例24.计算：-x-1例25.先化简，再求值:-+，

24、其中a=。综合练习：一、选择题1如果分式的值为0，那么x的值是（ ） A0 B5 C5 D52把分式中的x，y都扩大2倍，则分式的值（ ） A不变 B扩大2倍 C扩大4倍 D缩小2倍3下列分式中，最简分式有（ ）A2个 B3个 C4个 D5个4、若2x+y=0，则的值为（ ）A C1 D无法确定5、使分式等于0的x值为（ ） A2 B2 C2 D不存在6、下列各式中正确的是（ ） 7、下列计算结果正确的是（ ） 二、 填空题1若分式的值等于0，则y= _ 2在比例式9:5=4:3x中，x=_ 3计算:=_ 4当x _时，分式的值为正数5计算:=_ 6、已知分式:当x= _ 时，分式没有意义；当

25、x= _时，分式的值为0；当x=2时，分式的值为_三、解答题1计算题: 2化简求值（1）（1+）（1），其中x=； （2），其中x=15、3 分式方程知识点总结：分式方程：分母中含未知数的方程。1、解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。2、解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。(将整式方程的解带入最简公分母)3、解分式方程的步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。（2）解这个整式方程。（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母

26、为零的根是原方程的增根，必须舍去。（4）写出原方程的根。增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 例26.解方程。(1) （2） （3） （4）例27. X为何值时，代数式的值等于2？例28.若方程 有增根，则增根应是（ ） 分式的运算技巧归类：（一） 通分约分 例题：化简分式 练习：1.计算： 2.计算：（二）裂项或者拆项或者分组运算例题：练习：1、 2、（三）参数法已知，求的值（四）整体代入法已知，求的值.（五） 倒数法已知：，求的值分式方程的应用：例题1：甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖.甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙

27、进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？练习：1.甲开汽车，乙骑自行车，从相距180千米的A地同时出发到B若汽车的速度是自行车的速度的2倍，汽车比自行车早到2小时，那么汽车及自行车的速度各是多少？2.A、B两地路程为150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达B后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A地，求甲车原来的速度和乙车的速度综合练习：一、填空题1.当x= 时，与相等.2.方程的解是 .3.若关于x的方程的解为x=，则m .4.若方

28、程有增根，则增根是 .5.如果，则 .6.已知，那么= .7.全路全长m千米，骑自行车b小时到达，为了提前1小时到达，自行车每小时应多走 千米.二、解方程8. 9.10. 11.12.关于x的分式方程有增根x=-2，则k= .13、某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走45分钟后，乙班的师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达.已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求两种车的速度各是多少？14、若关于x的方程有增根,求增根和k的值.15、若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值。（分类讨论）本章检测一、选择1、下列运算正确的是（ ）A -40=1 B （-3）-1= C （-2

29、m-n）2=4m-n D （a+b）-1=a-1+b-12、分式的最简公分母是（ ）A 72xyz2 B 108xyz C 72xyz D 96xyz23、用科学计数法表示的树-3.610-4写成小数是（ ）A 0.00036 B -0.0036 C -0.00036 D -360004、如果把分式中的x,y都扩大3倍，那么分式的值（ ）A 扩大3倍 B 不变 C 缩小3倍 D 扩大2倍5、若分式的值为0，则x的值为（ ）A 2 B -2 C 2或-2 D 2或36、计算的结果是（ ）A 1 B x+1 C D 7、工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动

30、力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x人挖土，其它的人运土，列方程 72-x= x+3x=72 上述所列方程，正确的有（ ）个A 1 B 2 C 3 D 48、在中，分式的个数是（ ）A 2 B 3 C 4 D 59、若分式方程有增根，则a的值是（ ）A -1 B 0 C 1 D 210、若的值是（ ）A -2 B 2 C 3 D -311、把分式方程，的两边同时乘以x-2，约去分母，得（ ）A 1-(1-x)=1 B 1+(1-x)=1 C 1-(1-x)=x-2 D 1+(1-x)=x-212、已知 ，则直线y=kx+2k一定经过（ ）A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3

31、、4象限 D 第 1、4象限二、填空1、2、7m=3,7n=5,则72m-n= 3、一组按规律：，其中第7个式子是 第n个式子是 4、= 5、方程的解是 6、若= 三、 化简1、 2、3、四、解下列各题。1、已知 的值 2、若0x1,且 的值 五、化简代数式六、解方程1、 2、分式 学霸冲刺满分测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1下列式子是分式的是（ ）A B C D2下列各式计算正确的是（ ）A B C D3下列各分式中，最简分式是（ ）A B C D4化简的结果是（ ）A. B. C. D.5若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）A扩大2倍 B不变 C缩小2倍 D缩小4倍6

32、若分式方程有增根，则a的值是（ ）A1 B0 C1 D27已知，则的值是（ ）A B. C.1 D.8一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x千米/时，则可列方程（ ）A B C D9某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快20% ，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。设原计划行军的速度为xkm/h，则可列方程（ ）A B. C. D. 10.已知 ，则直线一定经过（ ）A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限二、填空题（每小题3分，共18分）11计算= 12用科学记数法表示0.000 000 0314= 13计算