含参量反常积分一致收敛的判别法.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date含参量反常积分一致收敛的判别法含参量反常积分一致收敛的判别法 题 目 含参量反常积分一致收敛的判别法 学生姓名 学 号 系 别 数学系 年 级 2010级 专 业 数学与应用数学 指导教师 职 称 完成日期 摘 要 含参变量的反常积分是研究和表达函数的的有力工具。要更好的研究含参量反常积分所表达的函数，关键问题在于判断他的一致收敛性。本文通过研究判断含参量反常积分一致

2、收敛的判别法,以帮助研究含参量反常积分所表达的函数。关键词：含参量反常积分;一致收敛;判别法AbstractImproper integral with variable is the study and expression tool function. To better function of parameter improper integral expression of the key problem lies in the judgment, the uniform convergence of his. Through the study of judging function

3、 discriminant method of parameter improper integral converges uniformly to help the study of parameter improper integral expression. Key words: Improper integral with variable; uniform convergence; discriminant analysis目 录1引言 (1)2基本概念(1)2.1含参量反常积分(1)2.2含参量反常积分一致收敛(2)3含参量反常积分一致收敛的判别方法(2)3.1定义法(2) 3.2

4、柯西准则法(3)3.3变上限积分的有界性法(3) 3.4确界法(4)3.5微分法(5) 3.6级数判别法(6)3.7维尔斯特拉斯判别法（简称判别法）(6) 3.8狄里克莱判别法(8)3.9阿贝尔判别法(8)4结束语 (1)参考文献(10)致谢(11)含参量反常积分一致收敛的判别法柯美蓉（闽江学院 数学系；福建 福州 350108）1.引言含参量反常积分是微积分学中一类重要的积分,是研究和表达函数，特别是非初等函数的有力工具.为了讨论含参变量反常积分的连续性、可微性和可积性，我们需要引进含参变量反常积分的一致收敛性的概念，它和函数项级数的一致收敛性的意义是相当的.现行的数学分析教材1-3、5给出

5、的含参量反常积分的一致收敛的判别法主要是一致收敛定义、柯西准则、维尔斯特拉斯判别法、狄里克莱判别法及阿贝尔判别法，它们都有一定的局限性，不适用于每种含参量反常积分的一致收敛性的判别. 为了更好的判别含参量反常积分的一致收敛性，本文研究、归纳了判别含参量反常积分的一致收敛性的九种方法:一致收敛定义、柯西准则法、变上限积分的有界法、确界法、微分法、级数辨别法、魏尔斯特拉斯M判别法、狄克雷判别法和阿贝尔判别法,并且给出了典型例子以说明每种判别法的特点，以便于人们的研究、理解.2.基本概念2.1 含参量反常积分设函数定义在无界区域上，其中I为区间,反常积分都收敛，则它的值是 在上取值的函数，当记这个函

6、数为时，则有 ， （2-1）称式为定义在I上的含参量的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分1.2.2 含参量反常积分一致收敛若含参量反常积分与函数对任给的正数e,存在某一实数，使得当时,对一切都有 ， （2-2） 即 ， （2-3） 则称含参量反常积分在I上一致收敛于，或者简单的说含参量积分在I上一致收敛.3.含参量反常积分一致收敛的判别方法3.1 定义法定义判别法：根据以上2.2 关于含参量反常积分一致收敛的定义进行判别.例3-1 证明：含参量反常积分在内不一致收敛，但是在上一致收敛（其中）2.分析 由含参量反常积分一致收敛定义可知，含参量反常积分在上不一致收敛指：存在对任何实数,总存在和，

7、 . （3-1）证明 1）当时， 取 ，取,有 ， 含参量反常积分在内不一致收敛.2) 由1）可知 ， ，可知，故可取，则当时，对所有的有 ， 从而含参量反常积分在上一致收敛.用含参量反常积一致收敛的定义证明含参量反常积分的一致收敛性，通常使用的方法是适量放大.3.2 柯西准则法定理3-1（一致收敛柯西准则） 含参量反常积分在区间上一致收敛，时，对，有 . （3-2）注：使用柯西准则讨论一致收敛性具有很大的优越性，难度大大减少，这是因为使用这方法只要考虑充分后的有限区间,而不要考虑充分后的无穷区间3.例3-2 设在无界区域上连续，对所有，含参量反常积分收敛，但时积分发散，证明：在上非一致收敛.

8、证明 1）发散， ，,.2）在无界区域上连续， 在有界闭区域上一直连续， 对，当， ， ，有 ， 当时，有 ， 3） 根据1）、2）可得 , ，,， . 所以在上非一致收敛.3.3 变上限积分的有界性法定理3-2 若函数在无界区域，连续，且，有 ， （3-3）即在R有界，则当,含参量反常积分在区间I上一致收敛4.（分析：由给定的条件可以推理出满足狄利克雷判别法的条件的）证明 1），有 ， 即在R有界；2）对所有的，当时，对于参变量，一致收敛于0，且关于是单调递减的；则由狄利克雷判别法可得到含参量反常积分在区间I上一致收敛.例3-3 判断含参量反常积分在区间的一致收敛性.解 依题意可得：，其中，

9、有而是定积分，所以必然有界，即，使得 ； 又含参量反常积分在区间是一致收敛的.3.4 确界法定理3-3 含参量积分在上一致收敛.例3-4 分析讨论含参量积分的一致收敛性5.解 1）当时，令，可得 ， ，即，含参量反常积分在内不一致收敛.2） 若任取，就能发现，从而含参量反常积分在上一致收敛.3.5 微分法定理3-4 设1）函数关于可微；2） 关于一致收敛；3） 存在一点，使得含参量积分收敛；则含参量反常积分在上一致收敛6.证明 对，在，对有关于一致收敛，关于也是一致收敛的，,对有含参量积分收敛,，对有令，则对，式子（2）、（3）同时成立，当时， ，即含参量积分关于一致收敛，同理可得含参量积分关

10、于也一致收敛，总结可得含参量积分关于一致收敛.例3-5 判断含参量积分在上的一致收敛性.解 对固定的，有，对固定的，含参量积分在上收敛，设，则，由一致收敛柯西判别法可知在内一致收敛，含参量积分在范围上的一致收敛.3.6 级数判别法定理3-5 含参量反常积分在上一致收敛函数项级数在上一致收敛，其中是数列的项，数列满足以下条件：1） ;2） 数列为递增数列；3） 数列趋于.7例3-6 证明含参量反常积分关于在是一致收敛的.证明 令，同时可知：二元函数关于在上单调递减，令函数项级数为，又，函数项级数为收敛，根据函数项级数一致收敛的维尔斯特拉斯判别法（M判别法）可得到：函数项级数关于在是一致收敛的，由

11、级数判别方法定理可知含参量反常积分关于在是一致收敛的.3.7 维尔斯特拉斯判别法（简称判别法）定理3-6 (维尔斯特拉斯判别法)： 设存在函数，满足以下条件：1） 使得，2） 收敛，则含参量反常积分在上一致收敛.8要点：使用M判别法关键在于将被积函数绝对值放大，从而找出符合条件的.值得注意的是:维尔斯特拉斯的M判别法虽然比较简单，但是有一定的局限性，能用M判别法证明是一致收敛的含参量反常积分一定是绝对一致收敛的，但是绝对一致收敛的含参量反常积分并不能全用M判别法证明它的一致收敛性，同时条件一致收敛的含参量反常积分也不能用M判别法来判别一致收敛性.例3-7 判断是否一致收敛.解 为奇点，而，故积

12、分收敛，从而一致收敛.例3-8 证明积分，在中一致收敛.证明 当时，当时，有，于是 .当时，有，当时，有，当时，有收敛，由维尔斯特拉斯判别法可知:积分在时一致收敛，当时，,对,有，综合上述得：，,当时，对每个成立.积分，在中一致收敛.3.8 狄利克莱判别法定理3-7（狄利克莱判别法）：设，若满足以下条件：1） 存在，对所有满足的实数以及，都有，即对所有对所有满足的实数，含参量正常积分对参量在上一致有界；2） 对于所有，函数关于是单调递减的，而且当时，对参量，一致收敛于0；则含参量反常积分在上一致收敛.例3-9 证明含参量积分在上一致收敛，其中.证明 ，函数关于单调下降，且，当时，函数关于在上一

13、致收敛于0，又，有，根据狄利克莱判别法可得到：含参量积分在上一致收敛.3.9 阿贝尔判别法定理3-8（阿贝尔判别法）：设，若满足以下条件：1） 对所有，函数是关于的单调函数，且对参量，在上一致有界；2） 在上一致收敛；则含参量反常积分在上一致收敛.9例3-10 证明含参量积分在范围上关于一致收敛. 证明 1）关于是单调函数， 关于是上的一致有界函数， 即，2）收敛，不含参数，关于一致收敛，综合1）、2），由阿贝尔判别法可得到含参量积分在范围上关于一致收敛.4. 结束语含参量反常积分是很重要的积分，研究它的连续性、可微性和可积性的关键在于研究它的一致收敛性.本文介绍一致收敛定义、柯西准则法、变上

14、限积分的有界法、确界法、微分法、级数辨别法、魏尔斯特拉斯M判别法、狄克雷判别法和阿贝尔判别法这九种判别方法，这些方法适用于不同含参量反常积分一致收敛的判定，每个判别法都有它的优点，同时也存在着一定的局限，选用恰当的方法能使判定过程变得方便、简单.然而，含参量反常积分一致收敛的判别法不只有这九种，还有很多方法等着人们去发现，去探讨，去挖掘. 参考文献1 华东师范大学数学系数学分析(第四版)M北京：高等教育出版社，2010.6. 2 洪毅数学分析M广州：华南理工大学出版社，2002.3. 3 罗俊，汪名杰，高敏.数学分析习题与解析M北京：兵器工业出版社，2008.9. 4 赵文强.关于含参量广义积分一致收敛性的教学研究J重庆工商大学学报：自然科学版，2011.28(5): 460-461. 5 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M北京：高等教育出版社，1993.5. 6张永峰 含参量反常积分局部一致收敛于连续J 咸阳师范学院学报，2006，21( 6) : 59-60. 7张振祺 含参量反常积分局部一致收敛的判别法J 榆林学院学报，2010，20( 6) : 1-3. 8张国才 王恕达 含参量积分的局部收敛性 （I ）J。牡丹江大学学报，2003，（8）. 9郭伟艳，张国才，王恕达 含参量积分局部一致收敛的判定J 牡丹江师范学院学报( 自然科学版) ，2006( 2) : 5-6-