第五章 习题与复习题详解(矩阵特征值和特征向量)----高等代数.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流第五章 习题与复习题详解(矩阵特征值和特征向量)-高等代数.精品文档.习题5.11. (1) 若A2 = E，证明A的特征值为1或1;(2) 若A2 = A，证明A的特征值为0或1.证明（1）（2）2. 若正交矩阵有实特征值，证明它的实特征值为1或 1.证明3求数量矩阵A=aE的特征值与特征向量.解所以：特征值为a(n重), A属于a的特征向量为 k1(1,0,0)T + k2(0,1,0)T + kn(0,0,1)T ，(k1, k2, , kn不全为0)4求下列矩阵的特征值与特征向量.（1） （2）（3）（4）解（1）A属于特征值1的全部

2、特征向量为k(1,0,0)T ，(k0)A属于特征值2的全部特征向量为k(1，2，1)T，(k0)解（2）将其代入，求得特征向量：，不全为零解（3）代入，求得特征向量：A属于特征值-1的全部特征向量为k(1,-1,0)T ，(k0)；A属于特征值1的全部特征向量为k(1,-1,1)T ，(k0)；A属于特征值3的全部特征向量为k(0,1,-1)T ，(k0)解（4）特征值为-1，-1，-1；A属于特征值-1的全部特征向量为k(1,1,-1)T ，(k0)解（5）设为的任一特征值，的属于的特征向量为：，则 于是 而故 =0，因为特征向量，所以 ，即矩阵的所有特征值为0.解得基础解系：特征值为0（

3、n重）；A属于n重特征值0的全部特征向量为：k1+ k2+ + kn1（ k1，k2，kn1不全为零）解 (1）(2）6. 已知12是矩阵的一个特征值，求a的值.解7. 已知X = 是矩阵A = 的一个特征向量.求k及X所对应的特征值.解 习题5.21. 判断习题7.1第4题中各矩阵能否与对角矩阵相似.如果相似，求出相似变换矩阵与对角矩阵.1）2）二重根有两个线性无关的特征向量，可以对角化.相似变换矩阵为 对角阵为3）矩阵有三个互异的特征值，故可以对角化. 对角阵为4）不能对角化.5），所以可以对角化.2判断下列矩阵是否与对角阵相似，若相似，求出可逆矩阵P,使为对角阵.（1） （2）解 (1)

4、 代入解得对应的特征向量分别为：所以：可逆矩阵解 (2)3设A是一个3阶矩阵，已知A的特征值为1，1，0，A属于这3个特征值的特征向量分别为求A.解 A有三个互异的特征值，所以可以对角化.4计算解5设 A与B相似.（1） 求a,b的值；（2） 求可逆矩阵P,使=B.解 1）A与B相似，故A与B有相同的特征多项式，即： （2）最后解得可逆矩阵使得6. 设A =与对角阵相似，求x，y满足的条件.解由于与对角矩阵相似，7设A与B相似，f（x）= a0xn + a1xn1 + + an1x + an（a0 0），证明 f（A）与 f（B）相似证明故f（A）与 f（B）相似8若A与B相似，C与D相似，证

5、明 与 相似.证明习题5.31求正交矩阵Q，使为对角阵.(1) （2）解 （1）先求特征值和特征向量解得特征向量：于是构成正交矩阵解（2）先求特征值和特征向量单位化于是构成正交矩阵 2已知 = 6，= 3是实对称矩阵A的三个特征值，A的属于 = 3的特征向量为X2 = ， X3 = ，求A的属于= 6的特征向量及矩阵A 解 令的属于的特征向量为：且A的属于的特征向量为：解 （1）的另一特征值为0，令其相应的特征向量为，满足习题五(A)一、填空题1已知3阶矩阵A的特征值为1，3，-2，则A-E的特征值为 , 的特征值为 的特征值为 .解 A-E的特征值为A的特征值减1，故A-E的特征值为0，2，

6、-3.的特征值为2n阶矩阵A的特征值为1，2 ，3 ， ，n ，则 .解3. 已知3阶矩阵A的特征值为1，3，5，则= .解4. 设A为3阶方阵，且，则= ， =解由题意知：5若3阶方阵A与B相似，A的特征值为，则= . 解6已知3阶矩阵A-1的特征值为1，2，3，则的特征值为 . 解7. 已知矩阵的特征值为1,2,3,则x= .解8. 已知3阶矩阵A的特征值为1，3，2，则的特征值为 .解9. 设A，B均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，= 1，则= . 解10. 设有相同的特征值，则a= ， b = .解有相同的特征值，即11. 已知矩阵A的各行元素之和为2,则A有一个特征值为 .解显

7、然A有一个特征值为212已知0是的一个特征值，则a= . 解 由于0是的一个特征值，则：，即，即二、单项选择题1. 若4阶方阵A与B相似，A的特征值为，则（ ）. (A) 24 (B) -24 (C) -32 (D) 32解 选(A)2. 设A为n阶矩阵,为A的一个特征值,则A的伴随矩阵的一个特征值为( ).解 3. 设A为n阶矩阵, X为A属于的一个特征向量, 则与A相似的矩阵B=P-1AP的属于的一个特征向量为( ).(A) PX (B) P-1X (C) P TX (D) P nX解4. 已知X = 是矩阵A = 的一个特征向量,则a,b的值分别为( ).(A) 5, 2 (B) -1,

8、 3 (C) 1, -3 (D) -3, 1解选(D)5. 下列结论正确的是( ).（A） X1, X2是方程组()X=O的一个基础解系, 则k1X1+k2X2是A的属于的全部特征向量,其中k1, k2 是全不为零的常数（B） A, B有相同的特征值, 则A与B相似（C） 如果=0, 则A至少有一个特征值为零（D） 若同是方阵A与B的特征值, 则也是A+B的特征值解(C) 正确 （D）显然不是A+B的特征值6. 设1 ，2是矩阵A的两个不相同的特征值，是A的分别属于1 ，2的特征向量，则（ ）.（A）对任意k1 0 ，k2 0 ，k1 + k2都是A的特征向量（B）存在常数k1 0 ，k2 0

9、 ，使k1 + k2是A的特征向量（C）当k1 0 ，k2 0时 ，k1 + k2不可能是A的特征向量（D）存在唯一的一组常数k1 0 ，k2 0 ，使k1 + k2是A的特征向量解（A）显然不成立；（B）不存在；（C）正确；（D）不存在.所以选（C）7. 与矩阵相似的矩阵是（ ）.解是二重根，将分别代入,只有在(C)中，故选(C)8. 下列矩阵中,不能相似对角化的是( ).解 答案(C)中，是三重特征值，代回中，显然(C)不能对角化.9. 若A与B相似，则（ ）.（A） （B） （C） A=B （D） A*= B*解 因为存在可逆矩阵,使则选(B)10. 设向量=（a1 ，a2 ， ，an）

10、T ，=（b1 ，b2 ， ，bn）T都是非零向量，且满足条件T= 0，记n阶矩阵A =T,则( ). (A) A是可逆矩阵 (B) A2不是零矩阵 (C) A的特征值全为0 (D) A的特征值不全为0解故的特征值全为零，而若设A的特征值为，则的特征值为，显然有 选(C) (B)1设3阶矩阵A的特征值为1，2，3，对应的特征向量分别为解（1）由题意（2）化为线性方程组形式求解，得增广矩阵（3）解2设A为4阶方阵，且，=9，（1）求的一个特征值；（2）的一个特征值.解（1）由已知：（2）3已知向量X = 是可逆矩阵A = 的伴随矩阵的一个特征向量，求a,b与X所对应的特征值解 两边同乘以 得解得

11、：4. A是n阶正交矩阵，证明1是A的特征值.证明5. 设A是正交矩阵，证明故是的特征值，也是的特征值.6已知矩阵解7，已知A可相似对角化，求与它相似的对角阵和An.解 先求A的特征值：是二重特征值，则有：解得特征向量解得特征向量：所以得相似变换矩阵：8设A是3阶方阵，A有3个不同的特征值1，2，3，对应的特征向量依次为令证明：线性无关.解线性无关，（它们是不同特征值所对应的特征向量）故有：由于 （范德蒙行列式结论）所以方程只有零解.即线性无关9若A与B相似且A可逆，证明：A*与B*相似.证明 且存在可逆矩阵，使故A*与B*相似10设A =，B =，试判断A 、B是否相似，若相似，求出可逆矩阵

12、P，使得B = P1AP 解A 、B有相同的特征值且都可以对角化，所以要确定A 、B是否相似，先求A 、B的特征向量：构成可逆矩阵11设矩阵有一个2重特征根，求a的值并讨论A可否相似对角化.解代入 此时A 可以对角化此时A 不能对角化12A是3阶矩阵，是线性无关的3维列向量组，且满足（1） 求矩阵B,使；（2） 求A的特征值.解（2）因为是线性无关的3维列向量组，所以可逆所以 即矩阵 A 与 B 相似，由此可得矩阵 A 与 B 有相同的特征值.由得矩阵 B 的特征值，也即矩阵 A 的特征值 13.设矩阵，已知矩阵A与B相似，计算R(A-2E)+R(A-E). 解： 则A与B 有相同的特征值，先

13、求B 的特征值代入 2不是A的特征值，14A是3阶实对称矩阵，A的特征值为1， 0，-1，A属于1与0的特征向量分别为（1,a,1）T和(a,a+1,1)T，求A.解：A是3阶实对称矩阵，A的特征值互不相同，故这三个特征值所对应的特征向量正交.有：代入：设属于-1的特征向量，得属于-1的特征向量得相似变换矩阵15设A是n阶实对称矩阵，满足A3-3A2+3A-2E=O，求A的特征值.解：由于A是n阶实对称矩阵，所以A的特征值都是实数， 两边同乘以特征向量由于是实数，所以16设3阶实对称矩阵A的特征值的一个特征向量，B=A5-4A3+E. 求B的特征值和特征向量. 解 A是3阶实对称矩阵，互不相同，所以对应于的特征向量两两正交.令解得：B=f(A)=A5-4A3+E. 的特征值