深圳市高中数学竞赛试题及答案.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流深圳市高中数学竞赛试题及答案.精品文档.2015年深圳市高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确请把正确选择支号填在答题卡的相应位置）1集合，若，则的值为A3侧视图正视图22（第2题图）2BCD2一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能是 长方形；正方形；圆；菱形. 其中正确的是 A B C D3设，则ABCD4. 平面上三条直线，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数的值为A.B.C.或D.，或（第5题图）5函数（其中）的图象如图所 示，为了得到的图像，

2、则只要将的图像 A向右平移个单位长度 B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D向左平移个单位长度6.在棱长为1的正四面体中，记，则不同取值的个数为（第8题图）A6 B5 C3 D2二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分请把答案填在答题卡相应题的横线上）7已知，若，则8如图，执行右图的程序框图，输出的T=.9. 已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为10.求值：11对任意实数，函数都满足等式，且，则.12.在坐标平面内，对任意非零实数，不在抛物线上但在直线 上的点的坐标为 .答 题 卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）题号123456答案二、填空题（本大题共6

3、小题，每小题6分，共36分）7 8 910 11 12三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）13.（本小题满分12分）为预防病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：b5E2RGbCAPA组B组C组疫苗有效673疫苗无效7790已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组的概率是0.375.（1）求的值；（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C组中抽取多少个？（3）已知,求该疫苗不能通过测试的概率.14（

4、本题满分12分）已知函数（1）求的最小正周期及单调增区间；（2）若，求的值15（本题满分13分）ACBB1A1C1FGE如图，在直三棱柱中，分别是的中点（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积.16（本题满分13分）已知函数.当时，记的最小值为.(1)求的表达式；(2)是否存在，使得？若存在，求出；若不存在，请说明理由.17（本题满分14分）已知圆和直线，点在圆上，过直线上一点作.（1）当点的横坐标为且时，求直线的方程；（2）求存在点使得成立的点的横坐标的取值范围.18（本题满分14分）在区间上，若函数为增函数，而函数为减函数，则称函数为区间上的“弱增”函数已知函数（1）判断函数在

5、区间上是否为“弱增”函数，并说明理由；（2）设，证明；（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围2014年深圳市高中数学竞赛决赛参考答案一、 选择题：C B A D D C 二、填空题：7. 89.10. 11 12.三、解答题：13. （本题满分12分）解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B组的概率0.375， 所以， 2分p1EanqFDPw即. 3分DXDiTa9E3d（2）C组样本个数为yz2000（6737766090）500， 4分RTCrpUDGiT 现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C组中抽取个数为个. 7分5PCzVD7HxA（3）设事件“疫苗不能

6、通过测试”为事件M.由（2）知 ，且,所以C组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有：（465，35）、（466，34）、（467，33）、（475，25）共11个. 9分jLBHrnAILg由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有， 10分xHAQX74J0X即，解得，所以事件M包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个.11分所以， 故该疫苗不能通过测试的概率为. 12分LDAYtRyKfE14. （本小题满分12分）解：1分2分. 4分Zzz6ZB2Ltk（1）的最小正周期为； 5分dvzfvkwMI1又由， 6分得， 7分从而的单

7、调增区间为 8分（2）由得， 9分所以， 10分又因为，所以或 12分15. （本题满分13分）ACBB1A1C1FGE解：（1）因为分别是的中点，所以；1分又，所以； 2分又平面，平面，所以平面 3分（2）直三棱柱中，因为，所以平面； 4分rqyn14ZNXI又，所以平面，即； 5分又因为，所以四边形是正方形，即； 6分又分别是的中点，所以，从而有， 7分由，所以平面，即 8分（3）因为平面，所以 10分由于平面，所以，且11分又由于，12分所以，即 13分16. （本题满分13分）1O解：（1） 1分当时，在时为增函数，所以在时的最小值为；3分当时，； 5分综上所述，6分（2）由（1）知，

8、当时， 所以当时， 7分EmxvxOtOco由得：， 8分即， 9分SixE2yXPq5整理得， 11分6ewMyirQFL解得：或. 12分kavU42VRUs又因为，所以.即存在，使得成立.13分17. （本题满分14分）解：（1）圆的方程可化为：，所以圆心（2，2），半径=. 1分由于点的横坐标为，所以点的坐标为（4，5），即. 2分若直线的斜率不存在，很显然直线与夹角不是，不合题意，故直线的斜率一定存在，可设直线的斜率为，则的直线方程为，即. 3分y6v3ALoS89由于所以到直线的距离为，此时，即这样的点存在. 4分M2ub6vSTnP 由，得，解得. 5分所以所求直线的方程为或.

9、6分(2)当时，过点的圆的两条切线成直角，从而存在圆上的点（切点）使得. 7分0YujCfmUCw设点的坐标为，则有， 8分解得或. 9分eUts8ZQVRdO记点为，点为，显然当点在线段上时，过的圆的两条切线成钝角，从而必存在圆上的一点使得；11分当点在线段的延长线或反向延长线上时，过的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的点使得， 13分所以满足条件的点为线段上的点，即满足条件的点的横坐标取值范围是.14分18（本题满分14分）解：（1）由可以看出，在区间上，为增函数. 1分又，3分显然在区间上为减函数，在区间为“弱增”函数. 4分（2）.6分，即，8分. 9分（3）当时,不等式显然成立.10分“当时，不等式恒成立”等价于“ 当时，不等式即恒成立” .11分 也就等价于:“ 当时，成立” .12分由(1)知在区间上为减函数,所以有.13分，即时，不等式对恒成立. 14分