圆周角综合练习题.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date圆周角综合练习题2018年10月19日546*0401的初中数学组卷圆周角1如图，已知：点A、B、C、D在O上，AB=CD，下列结论：AOC=BOD；BOD=2BAD；AC=BD；CAB=BDC；CAO+CDO=180其中正确的个数为（） A2B3C4D52如图，AB，BC是O的弦，B=60，点O在B内，点D为上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点若O的半

2、径为2，则PN+MN的长度的最大值是（） ABCD3如图，O中，弦CD与直径AB交于点H（1）当B+D=90时，求证：H是CD的中点；（2）若H为CD的中点，且CD=2，BD=，求AB的长4如图，已知AD是O的直径，BC切O于点E，交AD延长线于点B，过点A作ACBC交O于点G，交DE于点F（1）求证：AD=AF；（2）若DE=2CF，试说明四边形OEFG为菱形5如图，在以AB为直径的半圆中，将弧BC沿弦BC折叠交AB于点D，若AD=5，DB=7（1）求BC的长；（2）求圆心到BC的距离6如图，点A、B、C是圆O上的三点，ABOC（1）求证：AC平分OAB；（2）过点O作OEAB于E，交AC于

3、点P，若AB=2，AOE=30，求圆O的半径OC及PE的长7如图，在O中，AB是直径，CD是弦（不过圆心），ABCD（1）E是优弧CAD上一点（不与C、D重合），求证：CED=COB；（2）点E在劣弧CD上（不与C、D重合）时，CED与COB有什么数量关系？请证明你的结论8如图，已知ABC中，AB=AC，BAC=90，O经过点A和点B，与斜边BC交于点P（不与B、C重合），PE是O的直径，连接AE，BE（1）求证：AP=AE；（2）若PE=4，求PC2+PB2的值9如图（1），BC是O的直径，点A、D在O上，DBOA，BC=10，AC=6（1）求证：BA平分DBC；（2）求DB的长；（3）如图

4、（2），E是半圆CB的中点，连接AE，求AE的长10在O中，AB是O直径，AC是弦，BAC=50（）如图（1），D是AB上一点，AD=AC，延长CD交O于点E，求CEO的大小；（）如图（2），D是AC延长线上一点，AD=AB，连接BD交O于点E，求CEO的大小11已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆不与A，B重合的两点，且点N在弧BM上（1）如图1，MA=6，MB=8，NOB=60，求NB的长；（2）如图2，过点M作MCAB于点C，点P是MN的中点，连接MB、NA、PC，试探究MCP、NAB、MBA之间的数量关系，并证明12如图，D为RtABC斜边AB上一点，以CD为直径的圆分别交ABC三边于

5、E、F、G三点，连接FE，FG（1）求证：EFG=B；（2）若AC=2BC=4，D为AE的中点，求FG的长13如图1，在ABC中，以AB为直径作O分别交AC，BC于点D，E，且=（1）求证：AB=AC（2）若C=70，求的度数（3）如图2，点F在O上，=，连结DF，DE求证：ADF=CDE14如图1，AB是O的直径，OD弦BC于点E，过点D作DFAB于点F（1）求证：BC=2DF；（2）如图2，连接AE，过点C作AE的垂线交O于点M，垂足为G，过点B作CM的垂线，垂足为H，若EAB+ODF=45，AB=10，求弦CM的长15如图，A、B是O上的两个点，已知P为平面内一点，（P、A、B三点不在同

6、一条直线上）（1）若点P在O上，O的半径为1当APB=45时，AB的长度为 ，当AB=1时，APB= ；（2）若点P不在O上，直线PA、PB交O于点C、D（点C与点A、点D与点B均不重合），连接AD，设CAD=，ADB=，试用、表示APB（请直接写出答案，并画出示意图）16如图，A、P、B、C是O上四点，APC=CPB=60（1）判断ABC的形状并证明你的结论；（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由（3）求证：PA+PB=PC2018年10月19日546*0401的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共2小题）1（2017秋淅川县期末）如图，已知：点A、B、C、D在O

7、上，AB=CD，下列结论：AOC=BOD；BOD=2BAD；AC=BD；CAB=BDC；CAO+CDO=180其中正确的个数为（） A2B3C4D5【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理菁优网版权所有【分析】根据圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系逐个判断即可【解答】解：AB=CD，=，=，AOC=BOD，故正确；圆周角BAD和圆心角BOD都对着，BOD=2BAD，故正确；=，AC=BD，故正确；圆周角CAB和BDC都对着，CAB=BDC，故正确；延长DO交O于M，连接AM，D、C、A、M四点共圆，CDO+CAM=180，CAMCAO，CAO+CDO180，故

8、错误；即正确的个数是4个，故选：C【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键2（2018瓯海区一模）如图，AB，BC是O的弦，B=60，点O在B内，点D为上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点若O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（） ABCD【考点】KX：三角形中位线定理；M5：圆周角定理菁优网版权所有【分析】连接OC、OA、BD，作OHAC于H首先求出AC的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题；【解答】解：连接OC、OA、BD，作OHAC于HAOC=2ABC=120，OA=OC，OHAC，CO

9、H=AOH=60，CH=AH，CH=AH=OCsin60=，AC=2，CN=DN，DM=AM，MN=AC=，CP=PB，AN=DN，PN=BD，当BD是直径时，PN的值最大，最大值为2，PM+MN的最大值为2+故选：D【点评】本题考查圆周角定理、三角形的中位线的定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型二解答题（共14小题）3（2017秋白云区期末）如图，O中，弦CD与直径AB交于点H（1）当B+D=90时，求证：H是CD的中点；（2）若H为CD的中点，且CD=2，BD=，求AB的长【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理菁优网版权所有【

10、分析】（1）根据三角形内角和定理求出BHD=90，根据垂径定理得出即可；（2）根据垂径定理求出DH，根据勾股定理求出BH，根据勾股定理得出关于R的方程，求出R即可【解答】（1）证明：B+D=90，BHD=18090=90，即ABCD，AB过O，CH=DH，即H是CD的中点；（2）解：连接OD，H为CD的中点，CD=2，AB过O，DH=CH=CD=，ABCD，BHD=90，由勾股定理得：BH=1，设O的半径为R，则AB=2R，OB=OD=R，在RtOHD中，由勾股定理得：OH2+DH2=OD2，即（R1）2+（）2=R2，解得：R=，AB=2=3【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理，

11、能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键4（2018商南县一模）如图，已知AD是O的直径，BC切O于点E，交AD延长线于点B，过点A作ACBC交O于点G，交DE于点F（1）求证：AD=AF；（2）若DE=2CF，试说明四边形OEFG为菱形【考点】KQ：勾股定理；L9：菱形的判定；M5：圆周角定理菁优网版权所有【分析】（1）连接OE，根据切线的性质和平行线的判定和性质证明即可；（2）连接OG，利用等边三角形的性质和菱形的判定解答即可【解答】证明：（1）如图，连接OE，BC是O的切线，OE是半径，OEBC，BEO=90，ACB=90，OEAC，OED=F，OD=OE，OED=ODE，ODE=F，A

12、D=AF；（2）连接OG，OEAF，OD=OA，DE=EF，DE=2CF，EF=2CF，ACB=90，F=60，AD=AF，ADF是等边三角形，A=60，OA=OG，OGA=60，OGA=F，OGEF，OEAF，四边形OEFG是平行四边形，OE=OG，平行四边形OEFG是菱形【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据切线的性质和平行线的判定和性质解答5（2018岐山县一模）如图，在以AB为直径的半圆中，将弧BC沿弦BC折叠交AB于点D，若AD=5，DB=7（1）求BC的长；（2）求圆心到BC的距离【考点】M5：圆周角定理；PB：翻折变换（折叠问题）菁优网版权所有【分析】（1）根据折叠的性质知：=；

13、若连接CD、AC，则DBC+BCD=CAD，即CAD=CDA；过C作AB的垂线，设垂足为E，则DE=AD，由此可求出BE的长，进而可在RtABC中，根据射影定理求出BC的长（2）设圆心到BC的距离为h，利用勾股定理解答即可【解答】解：（1）连接CA、CD；根据折叠的性质，得：=；CAB=CBD+BCD；CDA=CBD+BCD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），CAD=CDA，即CAD是等腰三角形；过C作CEAB于E，则AE=DE=2.5；BE=BD+DE=9.5；在RtACB中，CEAB，根据射影定理，得：BC2=BEAB=9.512=114；故BC=（2）设圆心到BC的距离为h

14、，圆的半径为r=6，由（1）知，RtECB中，BE=9.5，BC=，h=，故圆心到BC的距离为【点评】此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及相似三角形的判定和性质；能够根据圆周角定理来判断出ACD是等腰三角形，是解答此题的关键6（2018思南县一模）如图，点A、B、C是圆O上的三点，ABOC（1）求证：AC平分OAB；（2）过点O作OEAB于E，交AC于点P，若AB=2，AOE=30，求圆O的半径OC及PE的长【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理；M5：圆周角定理菁优网版权所有【分析】（1）用平行线及角平分线的性质证明AC平分OAB（2）利用勾股定理解直角三角形即可【解答】（1）证明：AB

15、OC，C=BACOA=OC，C=OACBAC=OAC即AC平分OAB（2）OEAB，AE=BE=AB=1又AOE=30，PEA=90，OAE=60OA=2，EAP=OAE=30，PE=AEtan30=1=，即PE的长是【点评】本题考查圆周角问题，关键是利用的是平行线，角平分线的性质结合直角三角形的性质利用勾股定理解答，有一定的综合性7（2017秋包河区期末）如图，在O中，AB是直径，CD是弦（不过圆心），ABCD（1）E是优弧CAD上一点（不与C、D重合），求证：CED=COB；（2）点E在劣弧CD上（不与C、D重合）时，CED与COB有什么数量关系？请证明你的结论【考点】M2：垂径定理；M5

16、：圆周角定理菁优网版权所有【分析】（1）根据垂径定理知，=，推出COB=DOB=COD又CED=COD，可得CED=COB；（2）根据圆内接四边形的对角互补知，CPD=180CPD，而CPD=COB，故CPD+COB=180【解答】（1）证明：如图所示，连接OD、OCAB是直径，ABCD，=，COB=DOB=COD又CED=COD，CED=COB；（2）解：CED与COB的数量关系是CED+COB=180理由：CED=COD，CED=（360COD）=180COD，CED+CED=180由（1）知，CED=COB，CED+COB=180【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出

17、圆心角是解答此题的关键8（2018晋城三模）如图，已知ABC中，AB=AC，BAC=90，O经过点A和点B，与斜边BC交于点P（不与B、C重合），PE是O的直径，连接AE，BE（1）求证：AP=AE；（2）若PE=4，求PC2+PB2的值【考点】KW：等腰直角三角形；M5：圆周角定理菁优网版权所有【分析】（1）欲证明AP=AE，只要证明=，只要证明ABE=ABP=45即可；（2）作PMAC于M，PNAB于N可证PBN，PCM都是等腰直角三角形，推出PC2+PB2=2PN2+2PM2=2（AN2+PN2）=2PA2，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：PE是直径，EBP=90，AB=AC，BA

18、C=90，ABC=45，ABE=ABC=45，=，AE=AP（2）解：作PMAC于M，PNAB于NMAN=AMP=ANP=90，四边形AMPN是矩形，AN=PM，PBN=PCM=45，PBN，PCM都是等腰直角三角形，PC2+PB2=2PN2+2PM2=2（AN2+PN2）=2PA2，PE是直径，PE=4，EAP=90，2AP2=16，PC2+PB2=16【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型9（2017秋江都区校级月考）如图（1），BC是O的直径，点A、D在O

19、上，DBOA，BC=10，AC=6（1）求证：BA平分DBC；（2）求DB的长；（3）如图（2），E是半圆CB的中点，连接AE，求AE的长【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理；M5：圆周角定理菁优网版权所有【分析】（1）利用平行线的性质得ABD=OAB，加上OAB=OBA，所以OBA=ABD；（2）作AHBC于H，OEBD于E，如图1，则BE=DE，利用勾股定理计算出AB=8，再利用面积法得到AH=，接着利用勾股定理计算出OH=，然后证明AOHOBE得到BE=OH=，从而得到BD=2BE=；（3）作CFAE于F，连接CE、BE，如图2，证明CBE为等腰直角三角形得到CE=BC=5，利用ACF

20、为等腰直角三角形得到CF=AF=AC=3，然后利用勾股定理计算出EF，从而得到AE的长【解答】（1）证明：OABD，ABD=OAB，OA=OB，OAB=OBA，OBA=ABD，BA平分DBC；（2）解：作AHBC于H，OEBD于E，如图1，则BE=DE，BC为直径，CAB=90，AB=8，AHBC=ACAB，AH=，在RtOAH中，OH=，OABD，AOH=EBO，在AOH和OBE中，AOHOBE，BE=OH=，BD=2BE=；（3）作CFAE于F，连接CE、BE，如图2，E是半圆CB的中点，CE=BE，CAE=BAE=45，CBE为等腰直角三角形，CE=BC=5，在RtACF中，CF=AF=

21、AC=3，在RtEFC中，EF=4，AE=AF+EF=3+4=7【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径也考查了垂径定理10（2018北辰区二模）在O中，AB是O直径，AC是弦，BAC=50（）如图（1），D是AB上一点，AD=AC，延长CD交O于点E，求CEO的大小；（）如图（2），D是AC延长线上一点，AD=AB，连接BD交O于点E，求CEO的大小【考点】M5：圆周角定理菁优网版权所有【分析】（）由已知AD=AC，A=50，可求得C=ADC=65，由圆心角、圆周

22、角间关系，可得AOE的度数，利用三角形的外角内角关系，可求得CEO的度数（）由已知AD=AC，A=50，可求得D=B=65，由四边形ABEC是圆内接四边形，可得CEB的度数，利用角的和差关系，可求得CEO的度数【解答】解：（）AD=AC，A=50，C=ADC=65，ADE=180ADC=18065=115AOE=2C=130，CEO=AOEADE=130115=15（）AD=AB，A=50D=B=65，OB=OE，OEB=B=65，四边形ABEC是圆内接四边形，BEC=180A=130CEO=CEBOEB=13065=65【点评】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质等知识

23、点，难度中等圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半11（2017秋厦门期末）已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆不与A，B重合的两点，且点N在弧BM上（1）如图1，MA=6，MB=8，NOB=60，求NB的长；（2）如图2，过点M作MCAB于点C，点P是MN的中点，连接MB、NA、PC，试探究MCP、NAB、MBA之间的数量关系，并证明【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理菁优网版权所有【分析】（1）只要证明OBN是等边三角形即可解决问题；（2）结论：MCP+MBA+NAB=90方法一：如图2中，画O，延长MC交O于点Q，连接NQ，NB关键是证

24、明CPQN；方法二：如图21中，连接MO，OP，NO，BN关键是证明MCP=NBM；【解答】解：（1）如图1，AB是半圆O的直径，M=90，在RtAMB中，AB=，AB=10OB=5，OB=ON，又NOB=60，NOB是等边三角形，NB=OB=5 （2）结论：MCP+MBA+NAB=90理由：方法一：如图2中，画O，延长MC交O于点Q，连接NQ，NBMCAB，又OM=OQ，MC=CQ，即 C是MN的中点，又P是MQ的中点，CP是MQN的中位线，CPQN，MCP=MQN，MQN=MON，MBN=MON，MQN=MBN，MCP=MBN，AB是直径，ANB=90，在ANB中，NBA+NAB=90，M

25、BN+MBA+NAB=90，即MCP+MBA+NAB=90方法二：如图21中，连接MO，OP，NO，BNP是MN中点，又OM=ON，OPMN，且MOP=MON，MCAB，MCO=MPO=90，设OM的中点为Q，则 QM=QO=QC=QP，点C，P在以OM为直径的圆上，在该圆中，MCP=MOP=MQP，又MOP=MON，MCP=MON，在半圆O中，NBM=MON，MCP=NBM，AB是直径，ANB=90，在ANB中，NBA+NAB=90，NBM+MBA+NAB=90，即MCP+MBA+NAB=90【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、平行线的性质、直径的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是

26、学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题12（2017秋洪山区期中）如图，D为RtABC斜边AB上一点，以CD为直径的圆分别交ABC三边于E、F、G三点，连接FE，FG（1）求证：EFG=B；（2）若AC=2BC=4，D为AE的中点，求FG的长【考点】KQ：勾股定理；M5：圆周角定理菁优网版权所有【分析】（1）连接EC，则AEC=90，由同角的余角相等即可得出B=ECA，再根据圆周角定理即可得出ECA=EFG，由此即可证出EFG=B；（2）由AC、BC的长度利用勾股定理即可求出AB的长度，结合面积法即可得出CE的长度，由正切即可得出AE的长度，再利用勾股定理可求出CD的长度，连接FD、DG

27、，由矩形的判定定理即可证出四边形FCGD为矩形，利用矩形的性质即可得出FG=CD，此题得解【解答】（1）证明：连接EC，如图1所示CD为直径，AEC=90，BCE+B=90BCE+ECA=90，B=ECA又ECA=EFG，EFG=B；（2）解：在RtBCA中，AC=4，BC=2，AB=10BCAC=ABCE，CE=4tanA=，AE=2CE=8在RtDCG中，CE=4，ED=AE=4，CD=4连接FD、DG，如图2所示CD是直径，CFD=CGD=90，又FCG=90，四边形FCGD为矩形，FG=CD=4【点评】本题考查了圆周角定理、勾股定理、矩形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据同角的余角

28、相等找出B=ECA；（2）证出四边形FCGD为矩形13（2016秋龙湾区校级期中）如图1，在ABC中，以AB为直径作O分别交AC，BC于点D，E，且=（1）求证：AB=AC（2）若C=70，求的度数（3）如图2，点F在O上，=，连结DF，DE求证：ADF=CDE【考点】M5：圆周角定理菁优网版权所有【分析】（1）连接AE，根据圆周角定理得出AEB=90，即可得出答案；（2）连接OD，求出CAB度数，求出AOD，即可求出答案；（3）求出AE=AF，求出ADF=B，B=CDE，即可求出答案【解答】（1）证明：连结AE，AB是直径，AEB=90=AEC，=，CAE=EAB，AC=AB；（2）解：连接

29、OD，AB=AC，B=C=70，DAB=40，AO=0D，ADO=DAO=40，AOD=1804040=100，的度数是100；（3）连接AE、AF，=，BF=EB AB为直径的度数=的度数=180，AF=AE，ADF=B，又四边形ABED内接于圆O，CDE=B，ADF=CDE【点评】本题考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键14（2016秋南岗区校级期中）如图1，AB是O的直径，OD弦BC于点E，过点D作DFAB于点F（1）求证：BC=2DF；（2）如图2，连接AE，过点C作AE的垂线交O于点M，垂足为G，过点B作CM的垂线，垂足为H，若EA

30、B+ODF=45，AB=10，求弦CM的长【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理；M5：圆周角定理菁优网版权所有【分析】（1）根据垂径定理证得2BE=BC，根据AAS证得OEBOFD，得出DF=BE，即可证得BC=2DF；（2）连接AM、BM，由AECMBHCM证得AEBH，得出EAB=ABH，进一步证得CG=GH，进而证得CBH=C=45，得出CH=BH=BC，通过证得AMGMBH（AAS），得出MG=BH=CH，即MH=CM，BH=CM，根据圆周角定理证得ABM是等腰直角三角形，得出AM=BM=AB=5，然后根据勾股定理即可求得【解答】（1）证明：OD弦BC于点E，CE=BE，2BE=BC

31、，DFAB于点FOEB=OFD=90，在OEB和OFD中，OEBOFD（AAS），DF=BE，BC=2DF；（2）解：连接AM、BM，AECMBHCMAEBH，EAB=ABH，OEBOFD，ODF=ABC，EAB+ODF=45，ABH+ABC=45，即CBH=45，CHB=90，C=45，CH=BH=BC，AB是直径，AMB=90，MAB=C=45，ABM是等腰直角三角形，AM=BM=AB=10=5，AMC+BMC=90，GAM+AMC=90，GAM=HMB，在AMG和MBH中AMGMBH（AAS），MG=BH，MG=CH，CG=MH，AEBH，CE=BE，CG=GH，MH=CM，BH=CM，

32、在RTBMH中，MH2+BH2=BM2，（CM）2+（CM）2=（5）2，CM=3【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理以及三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建等腰直角三角形是解题的关键15（2016秋江都区期中）如图，A、B是O上的两个点，已知P为平面内一点，（P、A、B三点不在同一条直线上）（1）若点P在O上，O的半径为1当APB=45时，AB的长度为，当AB=1时，APB=30或150；（2）若点P不在O上，直线PA、PB交O于点C、D（点C与点A、点D与点B均不重合），连接AD，设CAD=，ADB=，试用、表示APB（请直接写出答案，并画出示意图）【考点】K8：三角形的外角

33、性质；M5：圆周角定理菁优网版权所有【分析】（1）由点P在O上，APB=45，根据圆周角定理，易证得AOB是等腰直角三角形，继而求得答案；由AB=1，OA=OB=1，可得OAB是等边三角新，然后分别从若点P在优弧上与若点P在劣弧上去分析求解即可求得答案；（2）分别从P在圆外与圆内去分析求解即可求得答案【解答】解：（1）点P在O上，APB=45，AOB=90，OA=OB=1，AB=；AB=1，OA=OB=1，OAB是等边三角新，AOB=90，若点P在优弧上，则APB=30，若点P在劣弧上，则APB=18030=150；综上可得：APB=30或150；故答案为：；30或150；（2）P在圆外时，如

34、图，若点C、D分别在线段PA、PB上，则APB=；如图，若点C在线段PA的延长线上，点D在线段PB上，则APB=+180；如图，若点C在线段PA上，点D在线段PB的延长线上，则APB=180；如图，若点C、D分别在线段PA、PB的延长线上，则APB=；P在圆内时，如图，APB=+【点评】此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及等边三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用16（2015秋枣阳市校级期中）如图，A、P、B、C是O上四点，APC=CPB=60（1）判断ABC的形状并证明你的结论；（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由（3）求

35、证：PA+PB=PC【考点】LA：菱形的判定与性质；M5：圆周角定理；M6：圆内接四边形的性质菁优网版权所有【分析】（1）利用圆周角定理可得BAC=CPB，ABC=APC，而APC=CPB=60，所以BAC=ABC=60，从而可判断ABC的形状；（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，通过证明OAP和OBP均为等边三角形，知OA=AP=OB=PB，四边形PBOA是菱形；（3）在PC上截取PD=AP，则APD是等边三角形，然后证明APBADC，证明BP=CD，即可证得【解答】解：（1）证明：（1）ABC是等边三角形证明如下：在O中，BAC与CPB是所对的圆周角，ABC与APC是所对的圆周角

36、，BAC=CPB，ABC=APC，又APC=CPB=60，ABC=BAC=60，ABC为等边三角形；（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，连接OP，AOB=2ACB=120，P是的中点，AOP=BOP=60又OA=OP=OB，OAP和OBP均为等边三角形，OA=AP=OB=PB，四边形PBOA是菱形；（3）如图2，在PC上截取PD=AP，又APC=60，APD是等边三角形，AD=AP=PD，ADP=60，即ADC=120又APB=APC+BPC=120，ADC=APB，在APB和ADC中，APBADC（AAS），BP=CD，又PD=AP，CP=BP+AP【点评】本题考查的是圆内接多边形的性质、菱形的性质，掌握圆内接四边形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键-