初二小班第三讲-等边三角形.doc
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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date初二小班第三讲-等边三角形第三讲 等边三角形的相关问题 第三讲 等边三角形的相关问题教学目标1.进一步掌握等边三角形的性质和判定.2.根据等边三角形的性质和判定,推理、验证等边三角形的性质和判定并灵活运用。3.对于等边三角形构成的较复杂的图形,能通过图形变换或添加辅助线解题。教学重点及相应策略1. 对等边三角形组合成的图形进行旋转及对称变换,并用等边三角形的性质解题。
2、2. 构造等边三角形解决相关问题。教学难点及相应策略1.对等边三角形组合成的图形进行旋转及对称变换,并用等边三角形的性质解题。2.构造等边三角形解决相关问题。教学方法建议选择典型例题、练习题,在讲授相关知识同时,给学生布置相关练习题给予巩固选材程度及数量课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业A类( 3 )道( 4 )道( 5 )道B类( 5 )道( 5 )道( 6 )道C类( 2 )道( 2 )道( 2 )道一、知识梳理/提炼1. 等边三角形的定义:有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.2. 等边三角形的性质:(1)等边三角形的内角都相等,且均为60。(三线合一)(2) 等边三角形每条边上的中线
3、、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一) (3) 等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。 (4)等边三角形重心、内心 、外心、垂心重合于一点,称为等边三角形的中心。(四心合一)3.等边三角形的判定(1)三边相等的三角形是等边三角形(定义) (2)三个内角都相等的三角形是等边三角形 (3)有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形 二、课堂精讲例题例题1题目:有两个角等于60;有一个角等于60的等腰三角形;三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形其中是等边三角形的有( ) A B C D-
4、难度分级:A类- 试题来源:课时训练- 选题意图(对应知识点):等腰三角形的性质、等边三角形的判定。- 解题思路:等边三角形是特殊的等腰三角形,故它具备了等腰三角形的一切性质。但又因为等边三角形是特殊的等腰三角形,故等边三角形所拥有的一些性质是等腰三角形所都具有的。- 解法与答案:D搭配课堂训练题题目:若一个三角形有两条边相等,且有一内角为60,那么这个三角形一定为( )A 等边三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形- 解析:这道题考查了等边三角形的判定。- 答案:A例题2题目:如图,D、E、F分别是等边ABC各边上的点,且AD=BE=CF,则DEF的形状是( )A等边三角形
5、B腰和底边不相等的等腰三角形 C直角三角形 D不等边三角形- 难度分级:A类- 试题来源:培优班- 选题意图(对应知识点):等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定。- 解题思路:根据题意证得以ADFBEDCFE即可求证- 解法与答案:- 解:ABC为等边三角形,且AD=BE=CF- AF=BD=CE- 又A=B=C=60- ADFBEDCFE- DF=ED=EF- DEF是一个等边三角形- 故选A搭配课堂训练题题目:如图所示,在等边ABC中,AD=BE=CF,D,E,F不是中点,连结AE,BF,CD.构成一些全等三角形,如果将三个全等三角形组成一组,那么图中全等三角形的组数是( )A.3 B
6、.4 C.5 D.6- 解析:这题是例2的变形,考查的知识点仍然是等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定。- 答案:C例题3题目:如图,BD为等边ABC的边AC上的中线,E为BC延长线上一点,且DB=DE,若AB=6cm,则CE= cm- 难度分级::A类- 试题来源:课时训练- 选题意图(对应知识点):等边三角形的性质;直角三角形的性质- 解题思路:求CE的长,题中给出DB=DE,由角相等可求出CD=CE,所以CE为边长AC的一半- 解法与答案:- BD为等边ABC的边AC上的中线,- BDAC,- DB=DE,- DBC=E=30- ACB=E+CDE=60- CDE=30- CDE=E
7、,- 即CE=CD=AC=3cm- 故填3- 点评:本题考查了等边三角形的性质;要熟练掌握等边三角形的性质,得到CDE=30是正确解答本题的关键搭配课堂训练题题目:如图:已知等边ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD,DMBC,垂足为M,求证:M是BE的中点- 解析:要证M是BE的中点,根据题意可知,证明BDE为等腰三角形,利用等腰三角形的高和中线重合即可得证- 答案:- 解:在等边ABC中,D是AC的中点,- 连接BD,且CE=CD,DMBC;- 所以DBC=E=30,- 则BD=ED,又DMBC,- M是BE的中点例题4题目:在等边ABC中,D是AC的中点,E是BC
8、延长线上一点,且CE=CD,(1)请说明DB=DE的理由(2)若等边ABC的边长为6cm,求BDE的面积- 难度分级:B类- 试题来源:课时训练- 选题意图(对应知识点):等边三角形的性质;三角形的面积;三角形的外角性质;直角三角形的性质- 解题思路:- (1)根据等边三角形三线合一的性质可得BD是ABC的角平分线,即可得CBD=30,根据三角形外角性质即可得DCE=120,根据CD=CE,可得CDE=CED=30,即可得CED=CBD=30,即DB=DE- (2)过A作AGBC,过D作DFBC,则DF=AG,根据直角三角形的性质可以求得BE的长,根据BE、DF的长,即可计算BDE的面积- 解
9、法与答案:- 解:- (1)D是等边ABC的边AC的中点,- BD是ABC的角平分线,CBD=30,- DCE=120,且CD=CE,- CDE=CED=30,- CBD=CED,- DB=DE- (2)过A作AGBC,过D作DFBC- D为AC中点,- CE=CD=3cm,- BE=3cm+6cm=6cm,- AG= AB=cm,- DFBC,AGBC,- DF= AG= cm,- = BEDF= 9 =cm- 点评:本题考查了等边三角形边长与高线长的关系,考查了三角形面积的计算,考查了等边三角形三线合一的性质,本题中正确计算DF的值是解题的关键搭配课堂训练题题目:如图,等边ABC的边长为8
10、,点P是边AB的中点,F为BC延长线上一点,CF=BC,过P作PEAC于E,连PF交AC边于D,求DE的长解析:本题主要考查了等边三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,平行线的性质,全等三角形的性质和判定等知识点,灵活运用等边三角形的性质和判定进行证明是解此题的关键,题型较好,有一点难度- 答案:解:过P点作PGBC,交AC于G点- 等边ABC的边长为8,- 点P是边AB的中点,CF=BC,- AP=CF,- PGCF,- APG是等边三角形- PEAC,- EG=AG,- APG是等边三角形,AP=CF,- PG=CF- PGCF,- PFB=DPG,PGD=DCF,- PG=CF,- PD
11、GFDC,- DG=CD,- DG=CG,- DE=EG+DG=AG+CG=AC,- ED=4- 答:DE的长是4例题5题目:如图,已知C是线段AB上的任意一点(端点除外),分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边ACD和等边BCE,连接AE交CD于M,连接BD交CE于N给出以下三个结论:AE=BDCN=CMMNAB其中正确结论的个数是() - 难度分级:B类- 试题来源:课时训练- 选题意图(对应知识点):平行线分线段成比例;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质- 解题思路:- 由ACD和BCE是等边三角形,根据SAS易证得ACEDCB,即可得正确;由ACEDCB,可得EAC=NDC
12、,又由ACD=MCN=60,利用ASA,可证得ACMDCN,即可得正确;又可证得CMN是等边三角形,即可证得正确- 解法与答案:- ACD和BCE是等边三角形,- ACD=BCE=60,AC=DC,EC=BC,- ACD+DCE=DCE+ECB,- 即ACE=DCB,- ACEDCB(SAS),- AE=BD,故正确;- EAC=NDC,- ACD=BCE=60,- DCE=60,- ACD=MCN=60,- AC=DC,- ACMDCN(ASA),- CM=CN,故正确;- CMN是等边三角形,- NMC=ACD=60,- MNAB,故正确- 故选D- 方法归纳:这个基本图形的特点是两个等边
13、三角形有一个公共点,绕着公共顶点,图形可以进行旋转变换。但无论图形怎样旋转,ACEDCB的结论都是成立的但其他的不一定会相等。搭配课堂训练题题目:如图所示,已知线段BD上一点C,分别以BC和CD为边作等边ABC和等边CDE,连结AD和BE,在AD和BE上截取AG=BF.连结CF,FG,CG。证明CFG是正三角形- 解析:本题主要考查了等边三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定等知识点,灵活运用等边三角形的性质和判定进行证明是解此题的关键,题型很典型,是在基本图形上变化出来的图形,我们可以通过基本图形的结论来得出新的结论- 答案:- ABC和CDE是等边三角形,- ACB=DCE=60,AC
14、=BC,CD=CE,- ACB+ACE=DCE+ACE,- 即BCE=ACD,- BCEACD,- DAC=EBC,- 又AC=BC,AG=BF- BFCAGC,- CG=FC,FCB=GCA,- FCB+ACF=GCA+ACF,即ACB=GCF=60- CFG是等边三角形.-例题6:题目:如图,点O是等边ABC内一点,AOB=100,BOC=将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC,连接OD当 = 时,AOD是等腰三角形 - 难度分级:B类- 试题来源:课时训练- 选题意图(对应知识点):三角形的性质;等边三角形的性质;等腰三角形的判定- 解题思路:要使AOD为等腰三角形,应有OA=OD,
15、或OD=DA或OA=AD,只要相关角相等由已知条件利用等边三角形的性质即可得结论- 解法与答案:- BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC,- COD为一等边三角形,- COD=60- 假设OD=OA,则+100+60+AOD=360,AOD=180-2(-60),解得=100;- 当OD=AD时,+100+60+AOD=360,AOD= ,解得=160;- 当OA=AD时,+100+60+AOD=360,AOD=-60,解得,=130搭配课堂训练题题目:如图,设E是正ABC内的一点,EB=3,EC=4,EA=5,,求BEC的度数。- 解析:本题三个ABE、AEC、BEC都可以旋转,通过旋转
16、可以构造等边三角形,并注意3、4、5这组数据的特殊性。- 答案:150 例题7:题目:如图所示,等边ABC的边长为2,BDC是顶角BDC=120的等腰三角形,以D为顶点作一个60的角,角的两边分别交AB于M,交AC于N,连接MN,形成一个AMN,则AMN的周长为 - 难度分级:B类- 试题来源:课时训练- 选题意图(对应知识点):等边三角形的性质;全等三角形;截长补短法;数形结合思想- 解题思路:- 这道题目设计到了线段的和,AMN的周长=AM+AN+MN,故我们也可以考虑截长补短法。由于BDM+CDN=60,MDN=60,BD=CD,在NDM内是可以作出DE=BD=CD,且ECN=CDN,且
17、EDM=BDM的,解题的关键是证明点E在线段MN上,根据DEN=DCN=90,DEM=DBM=90,DEM+DEN=180,从而证明点E在线段MN上,于是再利用EN=NC,EM=MB证得AMN的周长=AB+AC=4- 解法与答案:- 截长补短法- 解:MDN=60,BDC=120,- BDM+CDN=60,- BD=CD,- DCB=DBC= (180-120)/2=30,- ABC=ACB=60,ABD=ACD=90,- 又BD=CD,DM=DN,- RtMBDRtNCD(HL),- BDM=CDN=(BDC-MDN)= (120-60)=30,- 过D作DEMN,又三角形MDN为等边三角形
18、,- DE为MDN的平分线,即MDN=30,- MDB=EDM=30,MBD=DEM=90,且MD=MD,- DEMDBM,ME=BM,- 同理EDNCDN,EN=CN,- AMN的周长=AN+AM+MN=AM+MB+AN+NC=AB+AC=2+2=4- 故填4搭配课堂训练题题目:(1)用旋转变换处理例题7(2)在等边的两边AB,AC所在直线上分别有两点M,N,D为外一点,且,探究:当点M,N分别在直线AB,AC上移动时,BM,NC,MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系如图,当点M,N在边AB,AC上,且DM=DN时,BM,NC,MN之间的数量关系式_;此时=_如图,当点M,N在边
19、AB,AC上,且时,猜想(1)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明;如图,当点M,N分别在边AB,CA的延长线上时,若AN=x,则Q=_(用x,L表示)- 解析:(1)由DM=DN,MDN=60,可证得MDN是等边三角形,又由ABC是等边三角形,CD=BD,易证得RtBDMRtCDN,然后由直角三角形的性质,即可求得BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN,此时 Q/L=2/3;- (2)在CN的延长线上截取CM1=BM,连接DM1可证DBMDCM1,即可得DM=DM1,易证得CDN=MDN=60,则可证得MDNM1DN,然后由全等三角形的性质,即可得结论仍然成立;- (3)首
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- 初二 小班 第三 等边三角形
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